高中數(shù)學(xué)北師大版第二章平面向量 獲獎(jiǎng)作品

18平面向量數(shù)量積習(xí)題課時(shí)間：45分鐘滿(mǎn)分：80分班級(jí)________姓名________分?jǐn)?shù)________一、選擇題：(每小題5分，共5×6＝30分)1．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b與a垂直，則λ＝()A．－1B．1C．－2D．2答案：A解析：a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，∴λa＋b＝λ(1，－3)＋(4，－2)＝(λ＋4，－3λ－2)，∵λa＋b與a垂直，∴λ＋4＋(－3)(－3λ－2)＝0，∴λ＝－1，故選A.2．設(shè)向量a，b均為單位向量，且|a＋b|＝1，則a與b的夾角為()\f(π,3)\f(π,2)\f(2π,3)\f(3π,4)答案：C解析：∵|a＋b|＝1，∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，∴cos〈a，b〉＝－eq\f(1,2)，∴〈a·b〉＝eq\f(2π,3).3．已知向量a＝(3,4)，b＝(6，t)，若a與b的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()A．(8，＋∞)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，8))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，＋∞))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，8))∪(8，＋∞)答案：D解析：由題意，得a·b>0，即18＋4t>0，解得t>－eq\f(9,2).又當(dāng)t＝8時(shí)，兩向量同向，應(yīng)去掉，故選D.4．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝120°，∠C＝150°，且AB＝3，BC＝1，CD＝2，則AD的長(zhǎng)所在的區(qū)間為()A．(2,3)B．(3,4)C．(4,5)D．(5,6)答案：C解析：由向量的性質(zhì)，知eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))，其中eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))的夾角為60°，eq\o(BC,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))的夾角為30°，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))的夾角為90°，于是|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＋|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝9＋1＋4＋2×3×1×eq\f(1,2)＋2×1×2×eq\f(\r(3),2)＋0＝17＋2eq\r(3)∈(16,25)，所以AD∈(4,5)．5．在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD是邊BC上的高，則eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的值等于()A．0B．4C．8D．－4答案：B解析：因?yàn)椤螦BC＝30°，AD是邊BC上的高，所以∠BAD＝60°，AD＝2，則eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝－2×4×cos120°＝4，所以選B.6．已知a、b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿(mǎn)足(a－c)·(b－c)＝0，則|c|的最大值是()A．1B．2\r(2)\f(\r(2),2)答案：C解析：由(a－c)·(b－c)＝0得a·b－(a＋b)·c＋c2＝0，即c2＝(a＋b)·c，故|c|·|c|≤|a＋b|·|c|，即|c|≤|a＋b|＝eq\r(2)，故選C.二、填空題：(每小題5分，共5×3＝15分)7．已知向量a，b滿(mǎn)足b＝(1，eq\r(3))，b·(a－b)＝－3，則向量a在b方向上的投影為_(kāi)_________．答案：eq\f(1,2)解析：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2且由b·(a－b)＝－3，解得a·b＝1，所以a在b方向上的投影為：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))cos<a，b>＝eq\f(a·b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))＝eq\f(1,2).8．△ABO三頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，滿(mǎn)足eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))≤0，eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))≥0，則eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的最小值為_(kāi)_________.答案：3解析：∵eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，∴x≤1.∴－x≥－1，∵eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，∴y≥2.∴eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x，y)·(－1,2)＝2y－x≥3.9．已知向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，設(shè)向量c滿(mǎn)足(2a－c)·(3b－c)＝0，則|c|的最大值為_(kāi)_________.答案：eq\r(26)解析：設(shè)c＝(x，y)，則由題意得(2－x)·(－3－x)＋(2－y)·(3－y)＝0，即(x＋eq\f(1,2))2＋(y－eq\f(5,2))2＝eq\f(13,2)，所以|c|的最大值為直徑eq\r(26).三、解答題：(共35分，11＋12＋12)10．已知在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝c，eq\o(DA,\s\up6(→))＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，判斷四邊形ABCD的形狀．解析：在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))四個(gè)向量順次首尾相接，則其和向量為零向量，故有a＋b＋c＋d＝0，∴a＋b＝－(c＋d)，∴(a＋b)2＝(c＋d)2，即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|c|2＋2c·d＝|d|又a·b＝c·d，∴|a|2＋|b|2＝|c|2＋|d|2.①同理有|a|2＋|d|2＝|c|2＋|b|2，②由①②可得|a|＝|c|，|b|＝|d|，即此四邊形兩組對(duì)邊分別相等．故四邊形ABCD為平行四邊形．另一方面，由a·b＝b·c，有b·(a－c)＝0，由平行四邊形ABCD得a＝－c，代入上式得b·(2a)＝0，即a·b＝0，故有a⊥b，即AB⊥BC綜上，四邊形ABCD是矩形．11．已知在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，k)，且△ABC是直角三角形，求實(shí)數(shù)k的值．解析：(1)若∠BAC＝90°，即AC⊥AB，即eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，從而2＋3k＝0，解得k＝－eq\f(2,3)；(2)若∠BCA＝90°，即AC⊥BC，即eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，而eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，k－3)，故－1＋k(k－3)＝0，解得k＝eq\f(3±\r(13),2)；(3)若∠ABC＝90°，即AB⊥BC，即eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，而eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1，k－3)，故－2＋3(k－3)＝0，解得k＝eq\f(11,3).綜合可知，k＝－eq\f(2,3)或k＝eq\f(3±\r(13),2)或k＝eq\f(11,3).12．已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，a與b滿(mǎn)足|ka＋b|＝eq\r(3)|a－kb|，其中k>0.(1)用k表示a·b；(2)求a·b的最小值，并求出此時(shí)a，b的夾角．解析：(1)將|ka＋b|＝eq\r(3)|a－kb|兩邊平方，得|ka＋b|2＝(eq\r(3)|a－kb|)2，k2a2＋b2＋2ka·b＝3(a2＋k2b2－2ka·b)∴8ka·b＝(3－k2)a2＋(3k2－1)b2，a·b＝eq\f(3－k2a2＋3k2－1b2,8k).∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，∴a2＝1，b2＝1，∴