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17.
蒙特卡羅(MonteCarlo)模擬蒙特卡羅方法,或稱(chēng)計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法,是一種基于“隨機(jī)數(shù)”的計(jì)算方法。該方法源于美國(guó)在WWI后研制原子彈的“曼哈頓計(jì)劃”。S.M.Ulam(1908-1984)和該計(jì)劃的主持人之一、數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼(J.vonNeumann)用馳名世界的賭城—摩納哥的MonteCarlo—來(lái)命名這種方法。蒙特卡羅模擬其基本思想很早以前就被人們所發(fā)現(xiàn)和利用:17世紀(jì),用事件發(fā)生的“頻率”來(lái)決定事件的“概率”;19世紀(jì)人們用投針試驗(yàn)的方法來(lái)決定π。高速計(jì)算機(jī):用數(shù)學(xué)方法在計(jì)算機(jī)上大量模擬這樣的試驗(yàn)必要性科技計(jì)算及社會(huì)中的問(wèn)題比計(jì)算π要復(fù)雜得多。比如金融衍生產(chǎn)品(期權(quán)、期貨、掉期等)的定價(jià)及交易風(fēng)險(xiǎn)估算,問(wèn)題的維數(shù)(即變量的個(gè)數(shù))可能高達(dá)數(shù)百甚至數(shù)千。對(duì)這類(lèi)問(wèn)題,難度隨維數(shù)的增加呈指數(shù)增長(zhǎng),這就是所謂的“維數(shù)的災(zāi)難”(CurseofDimensionality),傳統(tǒng)的數(shù)值方法難以對(duì)付(即使使用速度最快的計(jì)算機(jī))。MonteCarlo方法能很好地用來(lái)對(duì)付維數(shù)的災(zāi)難,因?yàn)樵摲椒ǖ挠?jì)算復(fù)雜性不再依賴(lài)于維數(shù)。以前那些本來(lái)是無(wú)法計(jì)算的問(wèn)題現(xiàn)在也能夠計(jì)算量。為提高方法的效率,科學(xué)家們提出了許多所謂的“方差縮減”技巧。另一類(lèi)形式與MonteCarlo方法相似,但理論基礎(chǔ)不同的方法—“擬蒙特卡羅方法”(Quasi-MonteCarlo方法)—近年來(lái)也獲得迅速發(fā)展。我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚、王元提出的“華—王”方法即是其中的一例。這種方法的基本思想是“用確定性的超均勻分布序列(數(shù)學(xué)上稱(chēng)為L(zhǎng)owDiscrepancySequences)代替MonteCarlo方法中的隨機(jī)數(shù)序列。對(duì)某些問(wèn)題該方法的實(shí)際速度一般可比MonteCarlo方法提出高數(shù)百倍,并可計(jì)算精確度。/gkjqy/rkx/rd2.htm擬蒙特卡羅模擬許多計(jì)算機(jī)系統(tǒng)都有隨機(jī)數(shù)生成函數(shù)F90:callrandom_seedcallrandom_number(a)計(jì)算程序產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)不是真正的隨機(jī)數(shù),它們是確定的,但看上去是隨機(jī)的,且能通過(guò)一些隨機(jī)性的檢驗(yàn),故常稱(chēng)為偽隨機(jī)數(shù)若采用當(dāng)前時(shí)刻作隨機(jī)數(shù)種子,則也是不可重復(fù)的隨機(jī)數(shù)如對(duì)32位字長(zhǎng)的計(jì)算機(jī)realprocedurerandom((xi))integerarray(li)nrealarray
(xi)nl0anyintegerthat1<l0<231-1fori=1tondoli=(231-1)除以16807li-1的余數(shù)xi
=li/(231-1)endfor其它算法1.取初值x0(0,1),letxi
bethefractionalpartof(π+xi-1)52.Letu0=1.Fori=1,2,3,…,letui
betheremainderof(8t-3)ui-1dividedby28,andxi
=ui/2i.Heretcanbeanylargeinteger注意:上述隨機(jī)數(shù)序列均具周期性,如上頁(yè)random子程序的周期約230。Maplehasacollectionofrandomnumbergenerators.如:With(stats)x
:=uniform(0..1):seq(x(),i=1..10);Matlab:x=rand(10,1)產(chǎn)生10個(gè)隨機(jī)數(shù)
x=rand(N)產(chǎn)生元素在(0,1)間隨機(jī)分布的N*N矩陣
s=rand(‘state’,0)重設(shè)該生成函數(shù)到初始狀態(tài)如(b-a)r+a
x
(a,b)integer((n+1)r)x
{0,1,2,……n}試產(chǎn)生1000個(gè)在橢圓x2+4y2=4內(nèi)均勻分布的隨機(jī)點(diǎn):方法:在中均勻產(chǎn)生足夠多隨機(jī)點(diǎn),當(dāng)位于橢圓內(nèi)的點(diǎn)數(shù)為1000時(shí)停止??捎呻S機(jī)數(shù)序列r
(0,1)構(gòu)造一系列隨機(jī)數(shù)序列有時(shí)隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生函數(shù)通不過(guò)嚴(yán)格的隨機(jī)性測(cè)試。而在一些計(jì)算(如MC積分)中隨機(jī)性非常重要。故使用更長(zhǎng)字節(jié)的計(jì)算機(jī)更好。應(yīng)用之一估計(jì)面積和體積Numericalintegration選取(0,1)中隨機(jī)數(shù)序列x1,x2,x3,……
xn。則誤差約,它并不能和一些高級(jí)的數(shù)值積分算法比擬,但對(duì)多維情況,MC方法卻很有吸引力。我們可產(chǎn)生一系列隨機(jī)數(shù)可簡(jiǎn)單取3個(gè)隨機(jī)數(shù)構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)點(diǎn),即相應(yīng)地,一般地,例如:求其中在該區(qū)域中取5000個(gè)點(diǎn),可得該積分約0.57.計(jì)算體積Pseudo-codeProgramvolume_regionIntegerparametern5000,iprt1000Realarrayintegeri,mRealvol,x,y,zCallrandom((rij))ForI=1tondoxri1yri2zri3Ifthenmm+1Ifmod(I,iprt)=0thenVolreal(m)/real(I)OutputI,volEndifEndforEndprogram計(jì)算體積之作業(yè):冰淇淋的體積應(yīng)用之二MC模擬生日問(wèn)題假設(shè)有n個(gè)人在一起,各自的生日為365天之一,根據(jù)概率理論,與很多人的直覺(jué)相反,只需23個(gè)人便有大于50%的幾率人群中至少有2個(gè)人生日相同。n理論幾率模擬幾率0.1170.1100.4110.4120.5070.5200.7060.6920.9410.936500.9860.987Realfunctionprob(n,npts)Integeri,nptsLogicalbirthRealsumSum=0ForI=1tonptsdoIfbirth(n)thensumsum+1EndforProbsum/real(npts)EndfunctionLogicalfunctionbirth(n)……蒲豐的投針問(wèn)題Buffon’sNeedleproblem蒲豐證明在相距d的一系列平行線(xiàn)上投長(zhǎng)為l針。針與線(xiàn)的交點(diǎn)數(shù)除以投的次數(shù)等于2l/(πd)。Realfunctionprob(n,npts)Integeri,nptsLogicalbirthRealsumSum=0ForI=1tonptsdoIfbirth(n)thensumsum+1EndforProbsum/real(npts)Endfunction不妨取d=l。產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)u和,其中u為針中心距最近的線(xiàn)的距離,故u小于等于0.5,為夾角,根據(jù)對(duì)稱(chēng)性,可取0到π/2。算時(shí)需要用上是否不自洽(姜冰)作業(yè)中子屏蔽問(wèn)題NeutronShieldingproblem假設(shè)鉛墻長(zhǎng)為5,中子在鉛中的平均自由程為1,中子與鉛原子碰撞后各向同性散射。令碰撞8次后中子能量耗盡,試求穿透鉛墻的中子的比例。暫不考慮垂直紙面的運(yùn)動(dòng),則中子的水平位移是。入口鉛墻(長(zhǎng)為5)21點(diǎn)問(wèn)題Blackjack21problem牛刀小試參數(shù)擬合問(wèn)題Parameterfittingproblem輻射轉(zhuǎn)移問(wèn)題Radiativetransferproblem[1]Ahn,S.-H.,Lee,H.-W.&Lee,H.-M.2000,JKAS,33,p29.[2]
ZhengZheng&JordiMiralda-Escude.2002,ApJ,578,p33.[3]Watson,A.M.&Henney,W.J.2001,RMxAA,37,p221.[4]LorneW.Avery&LewisL.H.,1968,ApJ,152,p493.[5]LawrenceJ.C.,PeterD.N.&JefferyD.S.1972,ApJ,176,439.[6]DavidA.Neufeld,1990,ApJ,350,p216.輻射轉(zhuǎn)移問(wèn)題對(duì)三維輻射轉(zhuǎn)移問(wèn)題,蒙特卡羅模擬幾乎是必須的計(jì)算方法將空間劃分為Nx*Ny*Nz個(gè)網(wǎng)格選取空間中的隨機(jī)點(diǎn)產(chǎn)生光子包(photonpackage),并此向隨機(jī)方向傳播考慮光子與粒子的隨機(jī)碰撞產(chǎn)生具有某種分布的隨機(jī)數(shù)試驗(yàn)粒子數(shù)值模擬研究粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)研究粒子加速等全粒子試驗(yàn)粒子研究微觀(guān)
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