三角形與全等三角形復(fù)習(xí)

三角形與全等三角形復(fù)習(xí)要點(diǎn)梳理

1．三角形的邊、角關(guān)系三角形的任意兩邊之和

第三邊；三角形的內(nèi)角和等于

．2．三角形的分類按角可分為

和

，按邊可分為

和

．180°大于直角三角形斜三角形不等邊三角形等腰三角形要點(diǎn)梳理

3．三角形的主要線段(1)角平分線：一個(gè)角的頂點(diǎn)和這個(gè)角的平分線與對(duì)邊的交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線；三角形三條角平分線的交點(diǎn)，則叫三角形的內(nèi)心，它到各邊的距離相等．(2)中線：連接三角形的一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線；三角形三條中線的交點(diǎn)，叫三角形的重心．要點(diǎn)梳理

(3)高：三角形的一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊所在直線的垂線段叫做三角形的高；三角形三條高線的交點(diǎn)，叫三角形的垂心．(4)中位線：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段，叫做三角形的中位線．(5)垂直平分線：三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫三角形的外心，它到各頂點(diǎn)的距離相等；銳角三角形的外心在形內(nèi)，鈍角三角形的外心在形外，直角三角形的外心在斜邊中點(diǎn)．要點(diǎn)梳理

4．全等三角形的性質(zhì)和判定(1)性質(zhì)：全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．注意：全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高、中線相等；對(duì)應(yīng)角的平分線相等；全等三角形的周長(zhǎng)、面積也相等．要點(diǎn)梳理

(2)判定：①

(SAS)；②

(ASA)；③

.(AAS)；④

對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SSS)；⑤

對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(HL)．兩邊和夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等兩角和夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等三邊斜邊和一條直角邊要點(diǎn)梳理

兩種思考途徑(1)當(dāng)圖形明顯具有對(duì)稱性(軸對(duì)稱或中心對(duì)稱)或旋轉(zhuǎn)性時(shí)，思考途徑是：從居于對(duì)稱位置的線、角或部分證相等或全等入手，或由前一次全等為后一次全等提供所缺的條件，或利用特殊三角形、特殊四邊形的性質(zhì)提供所缺的條件；1．如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AB＝AD，CB＝CD，若連接AC，BD相交于點(diǎn)O，則圖中全等三角形共有(C)A．1對(duì) B．2對(duì)C．3對(duì) D．4對(duì)

隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)2．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D在邊AB上，使DB＝BC，過點(diǎn)D作EF⊥AC，分別交AC于點(diǎn)E，CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：AB＝BF.

3．(2013·陜西)如圖，∠AOB＝90°，OA＝OB，直線l經(jīng)過點(diǎn)O，分別過A，B兩點(diǎn)作AC⊥l交l于點(diǎn)C，BD⊥l交l于點(diǎn)D.求證：AC＝OD.三角形的三邊關(guān)系【例1】

(1)(2013·宜昌)下列每組數(shù)分別表示三根木棒的長(zhǎng)度，將它們首尾連接后，能擺成三角形的一組是(

)A．1，2，6

B．2，2，4

C．1，2，3

D．2，3，4(2)(2013·德陽)如果三角形的兩邊分別為3和5，那么連接這個(gè)三角形三邊中點(diǎn)所得的三角形的周長(zhǎng)可能是(

)A．5.5B．5C．4.5D．4DA【點(diǎn)評(píng)】三角形三邊關(guān)系性質(zhì)的實(shí)質(zhì)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，已知三角形的兩邊a，b，可確定三角形第三邊長(zhǎng)c的取值范圍|a－b|＜c＜a＋b.1．(1)(2014·宜昌)已知三角形兩邊長(zhǎng)分別為3和8，則該三角形第三邊的長(zhǎng)可能是(

)

A．5

B．10

C．11

D．12

(2)(2013·濱州)若從長(zhǎng)度分別為3，5，6，9的四條線段中任取三條，則能組成三角形的概率為(

)

A.12

B.34

C.13

D.14

BA三角形的內(nèi)角、外角的性質(zhì)

【例2】

(1)(2014·赤峰)如圖，把一塊含有30°角(∠A＝30°)的直角三角板ABC的直角頂點(diǎn)放在矩形桌面CDEF的一個(gè)頂點(diǎn)C處，桌面的另一個(gè)頂點(diǎn)F與三角板斜邊相交于點(diǎn)F，如果∠1＝40°，那么∠AFE＝(

)A．50°B．40°C．20°D．10°D(2)一個(gè)零件的形狀如圖所示，按規(guī)定∠A＝90°，∠B和∠C分別是32°和21°，檢驗(yàn)工人量得∠BDC＝148°，就斷定這個(gè)零件不合格，請(qǐng)說明理由．解：(2)延長(zhǎng)BD交AC于E.∵∠DEC是△ABE的外角，∴∠DEC＝∠A＋∠B＝90°＋32°＝122°.

同理∠BDC＝∠C＋∠DEC＝21°＋122°＝143°≠148°，∴這個(gè)零件不合格

2．(1)(2013·寧夏)如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折疊△CBD，使點(diǎn)B恰好落在AC邊上的點(diǎn)E處，若∠A＝22°，則∠BDC等于()A．44°B．60°C．67°D．77°C(2)如圖，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)D，用“＞”表示∠BPC，∠BDC，∠BAC之間的關(guān)系．解：∵∠BPC是△PCD的外角，∴∠BPC＞∠BDC，同理∠BDC＞∠BAC，∴∠BPC＞∠BDC＞∠BAC全等三角形判定的運(yùn)用【例3】

(1)(2014·深圳)如圖，△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF，添加下列哪一個(gè)條件無法證明△ABC≌△DEF()A．AC∥DFB．∠A＝∠DC．AC＝DFD．∠ACB＝∠FC(2)(2013·婁底)如圖，AB＝AC，要使△ABE≌△ACD應(yīng)添加的條件是

．(添加一個(gè)條件即可)∠B＝∠C或AE＝AD【點(diǎn)評(píng)】判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．3．(1)(2013·綏化)如圖，A，B，C三點(diǎn)在同一條直線上，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)適當(dāng)?shù)臈l件

，使得△EAB≌△BCD.AE＝CB(2)(2014·邵陽)如圖，已知點(diǎn)A，F(xiàn)，E，C在同一直線上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.①?gòu)膱D中任找兩組全等三角形；②從①中任選一組進(jìn)行證明．解：(2)①△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB；②∵AB∥CD，∴∠1＝∠2，∵AF＝CE，∴AF＋EF＝CE＋EF，即AE＝FC，

在△ABE和△CDF中，??í?ì∠1＝∠2，∠ABE＝∠CDF，AE＝CF，∴△ABE≌△CDF(AAS)

運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)【例4】已知：如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，ED⊥DF，求證：BE＋CF＞EF.解：證明：延長(zhǎng)ED到M，使DM＝ED，連接CM，F(xiàn)M.∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD.在△EDB與△MDC中，??í?ìBD＝DC，∠EDB＝∠CDM，ED＝DM，∴△EDB≌△MDC(SAS)，∴BE＝CM.在△FMC中，CF＋CM＞MF，又∵ED⊥DF，ED＝DM，∴EF＝FM.∴CF＋CM＞EF，即CF＋BE＞EF

【點(diǎn)評(píng)】利用中線加倍延長(zhǎng)法，把BE，CF，EF集中在一個(gè)三角形中，利用三角形的兩邊之和大于第三邊來證．4．(2014·重慶)如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E.在△ABC外有一點(diǎn)F，使FA⊥AE，F(xiàn)C⊥BC.(1)求證：BE＝CF；(2)在AB上取一點(diǎn)M，使BM＝2DE，連接MC，交AD于點(diǎn)N，連接ME.求證：①M(fèi)E⊥BC；②DE＝DN.①

如圖，過點(diǎn)E作EH⊥AB于H，則△BEH是等腰直角三角形，∴HE＝BH，

②

∠BEH＝45°，∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，∴DE＝HE，∴DE＝BH＝HE，∵BM＝2DE，∴HE＝HM，∴△HEM是等腰直角三角形，∴∠MEH＝45°，∴∠BEM＝45°＋45°＝90°，∴ME⊥BC

②由題意得，∠CAE＝45°＋12×45°＝67.5°，∴∠CEA＝180°－45°－67.5°＝67.5°，∴∠CAE＝∠CEA＝67.5°，∴AC＝CE，在Rt△ACM和Rt△ECM中，??í?ìCM＝CM，AC＝CE，∴Rt△ACM≌Rt△ECM(HL)，∴∠ACM＝∠ECM＝12×45°＝22.5°，又∵∠DAE＝12×45°＝22.5°，∴∠DAE＝∠ECM，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD＝CD＝12BC，在△ADE和△CDN中，?íì∠DAE＝∠ECM，AD＝CD，∠ADE＝∠CDN，∴△ADE≌△CDN(ASA)，∴DE＝DN

試題如圖，已知D是△ABC的邊BC上的一點(diǎn)，E是AD上的一點(diǎn)，EB＝EC，∠1＝∠2.求證：∠BAE＝∠CAE.

錯(cuò)解證明：在△AEB和△AEC中，∵AE＝AE，EB＝EC，∠1＝∠2，∴△AEB≌△AEC(SSA)，∴∠BAE＝∠CAE.

剖析(1)先看一個(gè)事實(shí)，如圖，將等腰△ABC的底邊BC延長(zhǎng)線上的任一點(diǎn)和頂點(diǎn)A相連，所得的△DAB和△DAC無疑是不全等的，由此可知，有兩邊及其一邊的對(duì)