一建、工程造價(jià)單利復(fù)利計(jì)算

利息與利率累積函數(shù)（本息）,終值實(shí)際利率單利復(fù)利名義利率利息力利息：貼現(xiàn)：實(shí)際貼現(xiàn)率名義貼現(xiàn)率貼現(xiàn)力1、利息：利息（interest)是在一定時(shí)期內(nèi)借款為了一筆資金而付給出借者的報(bào)酬。（1）資金擁有者角度：希望從自己的出借中得到補(bǔ)償；（2）資金使用者角度：必須付給出借者一定的報(bào)酬以獲得使用資金的權(quán)利。因此，利息可被視為借款者所繳納的租金，用以補(bǔ)償出借者因?yàn)椴荒苁褂眠@筆資金而蒙受的損失。1.1累積函數(shù)（accumulationfunction):指期初的一元本金在t時(shí)刻的本金累積值，通常記為a(t)，具有以下性質(zhì)：a(0)=1;a(t)為時(shí)間t的遞增函數(shù)，即利息是非負(fù)的。若期初本金不為1，為A(0)，則在t時(shí)刻的累積函數(shù)為：A(t)=A(0)a(t)，a(t)=A(t)/A(0).用I(t)表示0～t時(shí)刻的利息額，則I(t)=A(t)-A(0).1.1.2實(shí)際利率(effectiverateofinterest)實(shí)際利率指的是一元本金在期末時(shí)賺取的利息，通常用百分?jǐn)?shù)表示，例如i=5％。

用累積函數(shù)表示：1.1.3單利（simpleinterest)定義：指只對(duì)本金計(jì)算利息，而對(duì)前期已經(jīng)產(chǎn)生的利息在后期不再產(chǎn)生利息。在單利條件下，每期的利息都是常數(shù)。若a(0)=1，則a(t)=1+it，t=0,1,2,…。a(t)1+i101t1+it圖1單利的累積函數(shù)單利與實(shí)際利率的關(guān)系：在單利條件下，從t時(shí)刻起的實(shí)際利率為：由右式可以看到，隨著時(shí)間t的增大，實(shí)際利率越來越低。1.1.4復(fù)利（compoundinterest)定義復(fù)利指前期賺取的利息在后期會(huì)繼續(xù)產(chǎn)生利息。這意味著前期的利息將自動(dòng)進(jìn)行投資。設(shè)年利率為i，那么1元本金在第一年末的利息為i，本息累積值a(1)=1+i，作為第二年的本金進(jìn)行投資;第二年末賺取的利息為i(1+i)，累積值為(1+i)*(1+i)，做為第二年的本金進(jìn)行投資;……第n年末賺取的利息為i(1+i)n-1，累積值為(1+i)*(1+i)n-1=(1+i)n

，做為第n+1年的本金進(jìn)行投資.實(shí)際上，對(duì)非整數(shù)的t年末，累積值a(t)＝(1＋i)t

也成立。（將月，日轉(zhuǎn)化為年做單位）。例2若復(fù)利的年利率為5%，初始本金為2000元，試計(jì)算（1）9個(gè)月后的累積值；（2）在2年零三個(gè)月后的累積值。解：9個(gè)月等于0。75年，故9個(gè)月的累積值為2年3個(gè)月等于2.25年，故2年3個(gè)月后的累積值為復(fù)利與實(shí)際利率的關(guān)系：在復(fù)利條件下，從t時(shí)刻起的實(shí)際利率為：由右式可以看到，在復(fù)利條件下，實(shí)際利率等于實(shí)際利率。例3小張從銀行借款20000元，4年后需償還25249.54元，請(qǐng)計(jì)算該筆借款的年實(shí)際利率。解令（年）實(shí)際利率為i，則根據(jù)題意得1.1.5名義利率（nominalrateofinterest)名義利率指給定一年的年利率，但是該利率是分多次結(jié)轉(zhuǎn)。給出名義利率是為了給出不足一年的區(qū)間的實(shí)際利率。例如，銀行的貸款利率為12％（一般指年利率），如果借款人從銀行借得期限為1年，金額為100元的貸款，則一年的利息為12元。如果銀行要求年末支付利息，則12％為實(shí)際利率。如果銀行要求每個(gè)月末支付一次利息1元，那么12％就為名義利率，一個(gè)月的實(shí)際利率為1％。反之，如果一個(gè)月的實(shí)際利率為1％，則年名義利率為12％。如果一個(gè)季度的實(shí)際利率為2％，則年名義利率為8％。年名義利率必須與一年所包含的小區(qū)間（月，季度等）相聯(lián)系例年名義利率為12％，每年結(jié)轉(zhuǎn)4次（或每個(gè)季度復(fù)利一次），則月實(shí)際利率為12％/4=3％，年實(shí)際利率為(1+3%)4-1=12.55%如果年名義利率為i，復(fù)利m次，則年實(shí)際利率為令則年實(shí)際利率年累積值（本息）為t年累積值（本息）為例42000元的本金按每年復(fù)利4次的年名義利率6％投資，試計(jì)算2年零6個(gè)月后的累積值。解名義利率為6％，每年復(fù)利4次，即每季度復(fù)利一次，季度利率為6％/4=1.5%.(法一)2年零6個(gè)月等于10季度，故10個(gè)季度后累積值為2000*(1+1.5%)10=2321.08(元)(法二)年實(shí)際利率為(1+1.5%)4－1=6.137%.故2年零6個(gè)月后的累積值為2000*(1+6.137%)2.5=2321.08(元)表1年實(shí)際利率隨復(fù)利次數(shù)的變化情況

（年名義利率為10％）復(fù)利次數(shù)年實(shí)際利率年初1000元本金年末的本息(累積值）1(每年復(fù)利1次)0.100001100.002(每半年復(fù)利1次)0.102501102.504(每季度復(fù)利1次)0.103811103.8112(每月復(fù)利1次)0.104711104.7152(每周復(fù)利1次)0.105071105.07365(每天復(fù)利1次)0.105161105.161.1.6利息力（forceofinterest)定義利息力指的是資本在任意一個(gè)時(shí)間點(diǎn)上獲取利息的能力。

t時(shí)刻的利息力可用累積值來表示：上式中，表示的是在區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生的利息。每個(gè)區(qū)間的實(shí)際利率與一年所包含的區(qū)間個(gè)數(shù)相乘就是年名義利率一年內(nèi)包含的區(qū)間個(gè)數(shù)為意味著連續(xù)結(jié)轉(zhuǎn)利息(即連續(xù)復(fù)利).因此，利息力是連續(xù)結(jié)轉(zhuǎn)利息時(shí)的名義利率。由利息力得到累積函數(shù)：由利息力的定義式關(guān)于s在[0，t]上進(jìn)行積分得用s代替t，若初始資本不為1，為A(0)，t時(shí)刻累積值為A(t)，有

表示金額A(s)在ds時(shí)段內(nèi)因利息力的作用而賺取的利息。將其在[0,t]上積分，得到在t個(gè)度量期內(nèi)賺取的利息總額。1.2終值、現(xiàn)值與貼現(xiàn)由于貸出貨幣具有收益（獲得利息），持有貨幣具有成本（需要支付或損失利息），因此，在不同時(shí)間獲得的貨幣其價(jià)值是不同的?，F(xiàn)在獲得的一定量的貨幣比未來獲得的等量貨幣具有更高的價(jià)值。這就是貨幣的時(shí)間價(jià)值（TimeValueofMoney）。這種貨幣的時(shí)間價(jià)值可以通過計(jì)算現(xiàn)金流的現(xiàn)值或終值來反映。1.2.1終值與終值系數(shù)終值(FutureValue)是用復(fù)利計(jì)息方法計(jì)算的一筆投資在未來某個(gè)時(shí)間獲得的本息和，計(jì)算公式為:式中，A(t)為t年后的本息和，即以復(fù)利計(jì)算的t年終值。A（0）為初始本金。與初始本金A（0）相乘的系數(shù)(1+i)t稱為終值系數(shù)，本質(zhì)是1元本金在t年后的累積值,故為

a(t)。利率相同，期限相同的投資的終值系數(shù)是相同的，因此，不同金額的投資的終值是其投資額與同一終值系數(shù)的乘積。如果現(xiàn)在的X在1年后的終值為Y，意味著如果想在1年后想得到的價(jià)值為Y的資金，必須在當(dāng)前投資X。即：Y的現(xiàn)在價(jià)值為X,簡(jiǎn)稱現(xiàn)值。例如：年實(shí)際利率為5%，則當(dāng)前的1000元在一年后的終值為1050元，而一年末的1050元，在當(dāng)前的現(xiàn)值為1000元。如果在t期末獲得1元的累積值，期初的本金應(yīng)該是多少？這是一個(gè)求現(xiàn)值的問題。求現(xiàn)值的過程也被稱作貼現(xiàn)過程。顯然貼現(xiàn)過程與累積過程是互逆的。1.2.2現(xiàn)值與貼現(xiàn)系數(shù)復(fù)利的貼現(xiàn)系數(shù)為：

a-1(t)=1/(1+i)t=v

t

v=1/(1+i)稱為貼現(xiàn)因子。v的意義：第一期末的一元錢的期初本金。期初的x元在t期末的累積值為x(1+i)t,t期末的y元在期初的現(xiàn)值為yv

t=y(1+i)-t。如果在t期末希望獲得1元終值,期初的本金就應(yīng)該是a-1(t)。稱a-1(t)為貼現(xiàn)系數(shù)（discountfactor)。例

假設(shè)復(fù)利的年利率為5%。（1）如果希望在9個(gè)月末獲得2000元；（2）如果希望在2年零3個(gè)月后獲得2000元，試分別計(jì)算期初的本金應(yīng)為多少？解：貼現(xiàn)的本質(zhì)是預(yù)付利息：0時(shí)刻1時(shí)刻1元1+i