高中數(shù)學(xué)蘇教版(2023)必修第一冊(cè)第4章指數(shù)與對(duì)數(shù)指數(shù) 第4章 指數(shù) 學(xué)案

指數(shù)學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．理解根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化．(重點(diǎn))2．掌握有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則．(重點(diǎn))3．了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義.1．借助根式的性質(zhì)對(duì)根式運(yùn)算，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)．2．通過(guò)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、運(yùn)算性質(zhì)的推導(dǎo)，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)．3．借助指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)代數(shù)式化簡(jiǎn)或求值，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).我們已經(jīng)知道，eq\f(1,2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3，…是正整數(shù)指數(shù)冪，它們的值分別為eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，….那么，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))的意義是什么呢？這正是我們將要學(xué)習(xí)的知識(shí)．下面，我們一起將指數(shù)的取值范圍從整數(shù)推廣到實(shí)數(shù)．為此，我們需要先學(xué)習(xí)根式的知識(shí)．知識(shí)點(diǎn)1基本概念1．平方根與立方根的概念如果x2＝a，那么x稱為a的平方根；如果x3＝a，那么x稱為a的立方根．根據(jù)平方根、立方根的定義，正實(shí)數(shù)的平方根有2個(gè)，它們互為相反數(shù)，一個(gè)數(shù)的立方根只有一個(gè)．2．a(chǎn)的n次方根(1)定義：一般地，xn＝a(n>1，n∈N*)，那么稱x為a的n次方根，式子eq\r(n,a)叫作根式，其中n叫作根指數(shù)，a叫作被開(kāi)方數(shù)．(2)幾個(gè)規(guī)定：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，這時(shí)，a的n次方根只有一個(gè)，記作x＝eq\r(n,a)；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，這時(shí)，正數(shù)a的正的n次方根用符號(hào)eq\r(n,a)表示，負(fù)的n次方根用符號(hào)－eq\r(n,a)表示，它們可以合并寫(xiě)成±eq\r(n,a)(a>0)的形式；③0的n次方根等于0(無(wú)論n為奇數(shù)，還是為偶數(shù))．\r(3,8)是根式嗎？根式一定是無(wú)理式嗎？[提示]eq\r(3,8)是根式，根式不一定是無(wú)理式．1.思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)16的四次方根為2.()(2)eq\r(π－42)＝π－4.()(3)eq\r(4,－16)＝－2.()[提示](1)16的四次方根有兩個(gè)，是±2；(2)eq\r(π－42)＝|π－4|＝4－π；(3)eq\r(4,－16)沒(méi)意義．[答案](1)×(2)×(3)×知識(shí)點(diǎn)2根式的性質(zhì)(1)eq\r(n,0)＝0(n∈N*，且n>1)；(2)(eq\r(n,an))＝a(n為大于1的奇數(shù))；(3)(eq\r(n,an))＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0))(n為大于1的偶數(shù))．(4)(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1，a使得eq\r(n,a)有意義)．\r(n,an)＝a對(duì)任意實(shí)數(shù)a都成立嗎？[提示]不都成立．當(dāng)n為不小于3的正奇數(shù)時(shí)，a為任意實(shí)數(shù)，等式eq\r(n,an)＝a恒成立．當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝|a|.2.若n是偶數(shù)，eq\r(n,x－1n)＝x－1，則x的取值范圍為_(kāi)_______．[1，＋∞)[由題意知x－1≥0，∴x≥1.]知識(shí)點(diǎn)3分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義一般地，我們規(guī)定：(1)a＝eq\r(n,am)(a>0，m，n均為正整數(shù))；(2)a＝eq\f(1,a)(a>0，m，n均為正整數(shù))；(3)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義，0的0次冪沒(méi)有意義．3.(1)eq\r(5,a－2)可化為()A．a(chǎn) B．a(chǎn)C．a(chǎn) D．－a(2)3可化為_(kāi)_______．(1)A(2)eq\r(3,9)[(1)eq\r(5,a－2)＝a.(2)3＝eq\r(3,32)＝eq\r(3,9).]知識(shí)點(diǎn)4有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)asat＝as＋t；(2)(as)t＝ast；(3)(ab)t＝atbt，(其中s，t∈Q，a>0，b>0)．4.化簡(jiǎn)[(－eq\r(3))2]的結(jié)果為_(kāi)_______．eq\f(\r(3),3)[原式＝[(eq\r(3))2]＝(eq\r(3))－1＝eq\f(\r(3),3).]類型1根式的性質(zhì)【例1】求下列各式的值．(1)eq\r(3,－23)；(2)eq\r(4,－32)；(3)eq\r(8,3－π8)；(4)eq\r(a6)；(5)eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋6x＋9)，x∈(－3,3)．[解](1)eq\r(3,－23)＝－2.(2)eq\r(4,－32)＝eq\r(4,32)＝eq\r(3).(3)eq\r(8,3－π8)＝|3－π|＝π－3.(4)eq\r(a6)＝eq\r(a32)＝|a3|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3，a≥0，,－a3，a<0.))(5)原式＝eq\r(x－12)－eq\r(x＋32)＝|x－1|－|x＋3|，當(dāng)－3<x≤1時(shí)，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2；當(dāng)1<x<3時(shí)，原式＝x－1－(x＋3)＝－4.因此，原式＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x－2，－3<x≤1，,－4，1<x<3.))化簡(jiǎn)根式的依據(jù)是什么？應(yīng)注意什么問(wèn)題？[提示]化簡(jiǎn)的依據(jù)是根式的性質(zhì)．化簡(jiǎn)時(shí)要注意是奇次還是偶次根式．另外注意eq\r(n,an)與(eq\r(n,a))n的區(qū)別．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．化簡(jiǎn)求值．(1)eq\r(－π2)＋eq\r(＋π2)；(2)eq\r(4,m－n4)＋eq\r(3,m－n3)；(3)若eq\r(x2－2x＋1)＋eq\r(y2＋6y＋9)＝0，求yx.[解](1)eq\r(－π2)＋eq\r(＋π2)＝|－π|＋|＋π|＝2π.(2)原式＝|m－n|＋(m－n)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－n，m≥n，,0，m<n.))(3)由題知0＝|x－1|＋|y＋3|∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝0,y＋3＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－3，))∴yx＝(－3)1＝－3.類型2根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化【例2】將下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式．(1)eq\r(a\r(a))(a>0)；(2)eq\f(1,\r(3,x·\r(5,x2)2))；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(4,b)))(b>0)．[解](1)原式＝(2)原式＝.(3)原式＝.1．根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化時(shí)應(yīng)熟練應(yīng)用a＝eq\r(n,am)和a＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)．當(dāng)所求根式含有多重根號(hào)時(shí)，要搞清被開(kāi)方數(shù)，由里向外用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪寫(xiě)出，然后再用性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)．2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪不表示相同因式的乘積，而是根式的另一種寫(xiě)法，但二者在應(yīng)用時(shí)各有所側(cè)重，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪計(jì)算較為靈活，而根式求字母的范圍更常用．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示下列各式．(1)eq\r(\f(b3,a)·\r(\f(a2,b6)))(a>0，b>0)；(2)eq\r(a－4b2\r(3,ab2))(a>0，b>0)．[解](1)eq\r(\f(b3,a)·\r(\f(a2,b6)))＝eq\r(\f(b3,a)·\f(a,b3))＝1.類型3分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算【例3】(1)計(jì)算：－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,8)))0＋[(－2)3]＋16－＋|－|；(2)化簡(jiǎn)：．[思路點(diǎn)撥]將各個(gè)根式化成指數(shù)冪的形式，按照冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算．[解](1)原式＝－1＋(－2)－4＋(24)－＋＝－1－1＋eq\f(1,16)＋eq\f(1,8)＋＝eq\f(143,80).指數(shù)冪與根式運(yùn)算的技巧(1)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算技巧①運(yùn)算順序：有括號(hào)的，先算括號(hào)里面的，無(wú)括號(hào)的先做指數(shù)運(yùn)算．②指數(shù)的處理：負(fù)指數(shù)先化為正指數(shù)．③底數(shù)的處理：底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定冪的符號(hào)；底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先化成假分?jǐn)?shù)，然后再把底數(shù)盡可能用冪的形式表示．(2)根式運(yùn)算技巧①各根式(尤其是根指數(shù)不同時(shí))要先化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再運(yùn)算．②多重根式可以從內(nèi)向外逐層變換為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(1)化簡(jiǎn)：(a·b·c)÷(a·b·c)＝________.(2)計(jì)算：①eq\r(6\f(1,4))＋eq\r(3,43)＋1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))－2＝________.②2＋eq\f(－20,2)－eq\f(1,\r(2)－1)＋2eq\r(3)×12×eq\r(3,\f(3,2))＝________.(1)ac(2)①②5[(1)原式＝a·b·c＝ab0c＝ac.(2)①原式＝eq\r(\f(25,4))＋4＋4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))×eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))2)＝eq\f(5,2)＋4＋eq\f(10,3)×9＝.②原式＝eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(2))－(eq\r(2)＋1)＋2×3×(2×2×3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝eq\r(2)－eq\r(2)－1＋2·3＝－1＋2×3＝5.]類型4指數(shù)冪運(yùn)算中的條件求值【例4】已知a＋a＝4，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.a與a及a與a－1之間有怎樣的關(guān)系？a、a及a·a－1a2·a[提示]平方關(guān)系，乘積為1.[解](1)將a＋a＝4兩邊平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.(2)將a＋a－1＝14兩邊平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.1．(變結(jié)論)在本例條件不變的條件下，求a－a－1的值．[解]令a－a－1＝t，則兩邊平方得a2＋a－2＝t2＋2，∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8eq\r(3)，即a－a－1＝±8eq\r(3).2．(變結(jié)論)在本例條件不變的條件下，求a2－a－2的值．[解]由上題可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±8eq\r(3)×14＝±112eq\r(3).3．(變條件)已知x＋x＝eq\r(5)，求x2＋x－2.[解]將x＋x＝eq\r(5)，兩邊平方，得x＋x－1＋2＝5，則x＋x－1＝3，兩邊再平方，得x2＋x－2＋2＝9，所以x2＋x－2＝7.條件求值問(wèn)題的常用方法(1)整體代入：從已知條件中解出所含字母的值，然后再代入求值，這種方法一般是不可取的，而應(yīng)設(shè)法從整體尋求結(jié)果與條件的聯(lián)系，進(jìn)而整體代入求值．(2)求值后代入：所求結(jié)果涉及的某些部分，可以作為一個(gè)整體先求出其值，然后再代入求最終結(jié)果．1．把根式aeq\r(a)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是()A．(－a) B．－(－a)C．－a D．a(chǎn)D[由題意知a≥0，所以aeq\r(a)＝a·a＝a.]2．已知x＋x＝5，則eq\f(x2＋1,x)的值為()A．5 B．23C．25 D．27B[由xeq\f(1,2)＋x－eq\f(1,2)＝5得x＋x－1＝23，所以eq\f(x2＋1,x)＝x＋x－1＝23.]3．設(shè)5x＝4,5y＝2，則52x－y＝________.8[52x－y＝eq\f(52x,5y)＝eq\f(5x2,5y)＝eq\f(42,2)＝8.]4．計(jì)算：(1)eq\r(x2－2x＋1)＝________.(x<1)(2)[(－eq\r(2))2]的結(jié)果是________．(1)1－x(2)eq\f(\r(2),2)[(1)原式＝eq\r(x－12)＝|x－1|＝1－x.(2)[(－eq\r(