高中數(shù)學(xué)人教A版3第一章計(jì)數(shù)原理 優(yōu)秀獎(jiǎng)

章末綜合測(cè)評(píng)(一)計(jì)數(shù)原理(時(shí)間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．用1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有()A．24個(gè) B．30個(gè)C．40個(gè) D．60個(gè)【解析】將符合條件的偶數(shù)分為兩類，一類是2作個(gè)位數(shù)，共有Aeq\o\al(2,4)個(gè)，另一類是4作個(gè)位數(shù)，也有Aeq\o\al(2,4)個(gè)．因此符合條件的偶數(shù)共有Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,4)＝24(個(gè))．【答案】A2．5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方法共有()A．10種 B．20種C．25種 D．32種【解析】5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方法共有25＝32種．【答案】D3．已知Ceq\o\al(6,n＋1)－Ceq\o\al(6,n)＝Ceq\o\al(7,n)(n∈N*)，則n＝()A．14 B．15C．13 D．12【解析】由組合數(shù)性質(zhì)知，Ceq\o\al(6,n)＋Ceq\o\al(7,n)＝Ceq\o\al(7,n＋1)，所以Ceq\o\al(6,n＋1)＝Ceq\o\al(7,n＋1)，所以6＋7＝n＋1，得n＝12.【答案】D4．某外商計(jì)劃在4個(gè)候選城市投資3個(gè)不同的項(xiàng)目，且在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過(guò)2個(gè)，則該外商不同的投資方案有()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：29472041】A．16種 B．36種C．42種 D．60種【解析】分兩類．第一類：同一城市只有一個(gè)項(xiàng)目的有Aeq\o\al(3,4)＝24種；第二類：一個(gè)城市2個(gè)項(xiàng)目，另一個(gè)城市1個(gè)項(xiàng)目，有Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,2)＝36種，則共有36＋24＝60種．【答案】D5．記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有()A．1440種 B．960種C．720種 D．480種【解析】先將5名志愿者排好，有Aeq\o\al(5,5)種排法，2位老人只能排在5名志愿者之間的4個(gè)空隙中，先將2位老人排好，有Aeq\o\al(2,2)種排法，再把它作為一個(gè)元素插入空隙中，有4種插法．所以共有不同排法4Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(2,2)＝960種．【答案】B6．關(guān)于(a－b)10的說(shuō)法，錯(cuò)誤的是()A．展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為1024B．展開式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大C．展開式中第5項(xiàng)和第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大D．展開式中第6項(xiàng)的系數(shù)最小【解析】由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，二項(xiàng)式系數(shù)之和為210＝1024，故A正確；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是中間一項(xiàng)，故B正確，C錯(cuò)誤；D也是正確的，因?yàn)檎归_式中第6項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)且其絕對(duì)值最大，所以是系數(shù)中最小的．【答案】C7．設(shè)f(x)＝(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1，則f(x)等于()A．(2x＋2)5 B．2x5C．(2x－1)5 D．(2x)5【解析】f(x)＝Ceq\o\al(0,5)(2x＋1)5(－1)0＋Ceq\o\al(1,5)(2x＋1)4·(－1)1＋Ceq\o\al(2,5)(2x＋1)3(－1)2＋Ceq\o\al(3,5)(2x＋1)2(－1)3＋Ceq\o\al(4,5)(2x＋1)1(－1)4＋Ceq\o\al(5,5)(2x＋1)0(－1)5＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5.【答案】D8．某計(jì)算機(jī)商店有6臺(tái)不同的品牌機(jī)和5臺(tái)不同的兼容機(jī)，從中選購(gòu)5臺(tái)，且至少有品牌機(jī)和兼容機(jī)各2臺(tái)，則不同的選購(gòu)方法有()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：29472042】A．1050種 B．700種C．350種 D．200種【解析】分兩類：(1)從6臺(tái)不同的品牌機(jī)中選3臺(tái)和從5臺(tái)不同的兼容機(jī)中選2臺(tái)；(2)從6臺(tái)不同的品牌機(jī)中選2臺(tái)和從5臺(tái)不同的兼容機(jī)中選3臺(tái)．所以不同的選購(gòu)方法有Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(3,5)＝350種．【答案】C9．設(shè)(1－3x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，則|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值為()A．29 B．49C．39 D．59【解析】由于a0，a2，a4，a6，a8為正，a1，a3，a5，a7，a9為負(fù)，故令x＝－1，得(1＋3)9＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝|a0|＋|a1|＋…＋|a9|，故選B.【答案】B10．由1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，按從小到大的順序排成一個(gè)數(shù)列{an}，則a72等于()A．1543 B．2543C．3542 D．4532【解析】千位數(shù)為1時(shí)組成的四位數(shù)有Aeq\o\al(3,4)個(gè)，同理，千位數(shù)是2,3,4,5時(shí)均有Aeq\o\al(3,4)(個(gè))數(shù)，而千位數(shù)字為1,2,3時(shí)，從小到大排成數(shù)列的個(gè)數(shù)為3Aeq\o\al(3,4)＝72，即3542是第72個(gè)．【答案】C11．袋中共有15個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有10個(gè)白球，5個(gè)紅球．從袋中任取2個(gè)球，所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球，1個(gè)紅球的概率為()\f(5,21) \f(10,21)\f(11,21) D．1【解析】從15個(gè)球中任取2個(gè)球共有Ceq\o\al(2,15)種取法，其中有1個(gè)紅球，1個(gè)白球的情況有Ceq\o\al(1,10)·Ceq\o\al(1,5)＝50(種)，所以P＝eq\f(50,C\o\al(2,15))＝eq\f(10,21).【答案】B12．設(shè)(1＋x)n＝a0＋a1x＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an＝63，則展開式中系數(shù)最大項(xiàng)是()A．15x3 B．20x3C．21x3 D．35x3【解析】令x＝0，得a0＝1，再令x＝1，得2n＝64，所以n＝6，故展開式中系數(shù)最大項(xiàng)是T4＝Ceq\o\al(3,6)x3＝20x3.【答案】B二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在題中的橫線上)13．某科技小組有女同學(xué)2名、男同學(xué)x名，現(xiàn)從中選出3名去參加展覽．若恰有1名女生入選時(shí)的不同選法有20種，則該科技小組中男生的人數(shù)為________．【解析】由題意得Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(2,x)＝20，解得x＝5.【答案】514．在(1－2x)6的展開式中，x2的系數(shù)為________．(用數(shù)字作答)【解析】由二項(xiàng)式定理得含x2的項(xiàng)為Ceq\o\al(2,6)(－2x)2＝60x2.【答案】6015．將5位志愿者分成3組，其中兩組各2人，另一組1人，分赴某大型展覽會(huì)的三個(gè)不同場(chǎng)館服務(wù)，不同的分配方案有________種．(用數(shù)字作答)【解析】先分組eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))，再把三組分配乘以Aeq\o\al(3,3)得：eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))Aeq\o\al(3,3)＝90種．【答案】9016．設(shè)a≠0，n是大于1的自然數(shù)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(x,a)))eq\s\up12(n)的展開式為a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若點(diǎn)Ai(i，ai)(i＝0,1,2)的位置如圖1所示，則a＝________.圖1【解析】由題意知A0(0,1)，A1(1,3)，A2(2,4)．故a0＝1，a1＝3，a2＝4.由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(x,a)))eq\s\up12(n)的展開式的通項(xiàng)公式知Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,a)))eq\s\up12(r)(r＝0,1,2，…，n)．故eq\f(C\o\al(1,n),a)＝3，eq\f(C\o\al(2,n),a2)＝4，解得a＝3.【答案】3三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(x,n)＝C\o\al(2x,n)，,C\o\al(x＋1,n)＝\f(11,3)C\o\al(x－1,n)，))試求x，n的值.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：29472043】【解】∵Ceq\o\al(x,n)＝Ceq\o\al(n－x,n)＝Ceq\o\al(2x,n)，∴n－x＝2x或x＝2x(舍去)，∴n＝3x.由Ceq\o\al(x＋1,n)＝eq\f(11,3)Ceq\o\al(x－1,n)，得eq\f(n！,x＋1！n－x－1！)＝eq\f(11,3)·eq\f(n！,x－1！n－x＋1！)，整理得3(x－1)！(n－x＋1)?。?1(x＋1)！(n－x－1)！，3(n－x＋1)(n－x)＝11(x＋1)x.將n＝3x代入，整理得6(2x＋1)＝11(x＋1)，∴x＝5，n＝3x＝15.18．(本小題滿分12分)設(shè)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,2)＋\f(1,\r(3,3))))eq\s\up12(n)的展開式的第7項(xiàng)與倒數(shù)第7項(xiàng)的比是1∶6，求展開式中的第7項(xiàng)．19．(本小題滿分12分)一個(gè)口袋內(nèi)有4個(gè)不同的紅球，6個(gè)不同的白球，(1)從中任取4個(gè)球，紅球的個(gè)數(shù)不比白球少的取法有多少種？(2)若取一個(gè)紅球記2分，取一個(gè)白球記1分，從中任取5個(gè)球，使總分不少于7分的取法有多少種？【解】(1)將取出4個(gè)球分成三類情況：①取4個(gè)紅球，沒有白球，有Ceq\o\al(4,4)種；②取3個(gè)紅球1個(gè)白球，有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,6)種；③取2個(gè)紅球2個(gè)白球，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,6)種，故有Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,6)＝115種．(2)設(shè)取x個(gè)紅球，y個(gè)白球，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝5，0≤x≤4，,2x＋y≥7，0≤y≤6，))故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝1.))因此，符合題意的取法共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(1,6)＝186種．20．(本小題滿分12分)設(shè)(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，求下列各式的值：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a10；(2)a6.【解】(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－1)10＝1.(2)a6即為含x6項(xiàng)的系數(shù)，Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)(2x)10－r·(－1)r＝Ceq\o\al(r,10)(－1)r210－r·x10－r，所以當(dāng)r＝4時(shí)，T5＝Ceq\o\al(4,10)(－1)426x6＝13440x6，即a6＝13440.21．(本小題滿分12分)某校高三年級(jí)有6個(gè)班級(jí)，現(xiàn)要從中選出10人組成高三女子籃球隊(duì)參加高中籃球比賽，且規(guī)定每班至少要選1人參加．這10個(gè)名額有多少不同的分配方法？【解】法一：除每班1個(gè)名額以外，其余4個(gè)名額也需要分配．這4個(gè)名額的分配方案可以分為以下幾類：(1)4個(gè)名額全部給某一個(gè)班級(jí)，有Ceq\o\al(1,6)種分法；(2)4個(gè)名額分給兩個(gè)班級(jí)，每班2個(gè)，有Ceq\o\al(2,6)種分法；(3)4個(gè)名額分給兩個(gè)班級(jí)，其中一個(gè)班級(jí)1個(gè)，一個(gè)班級(jí)3個(gè)．由于分給一班1個(gè)，二班3個(gè)和一班3個(gè)、二班1個(gè)是不同的分法，因此是排列問(wèn)題，共有Aeq\o\al(2,6)種分法；(4)分給三個(gè)班級(jí)，其中一個(gè)班級(jí)2個(gè)，其余兩個(gè)班級(jí)每班1個(gè)，共有Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(2,5)種分法；(5)分給四個(gè)班，每班1個(gè)，共有Ceq\o\al(4,6)種分法．故共有N＝Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,6)＋Aeq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(4,6)＝126種分配方法．法二：該問(wèn)題也可以從另外一