高中數(shù)學(xué)人教B版5第二章柯西不等式與排序不等式及其應(yīng)用 第2章柯西不等式

柯西不等式2.1.1平面上的柯西不等式的代數(shù)和向量形式2.1.2柯西不等式的一般形式及其參數(shù)配方法的證明1.認(rèn)識(shí)柯西不等式的幾種不同形式，理解其幾何意義.2.通過(guò)運(yùn)用柯西不等式解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.[基礎(chǔ)·初探]教材整理1柯西不等式1.柯西不等式的代數(shù)形式：設(shè)a1，a2，b1，b2均為實(shí)數(shù)，則(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2))(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2))≥(a1b1＋a2b2)2.2.柯西不等式的向量形式：設(shè)α，β為平面上的兩個(gè)向量，則|α||β|≥|α·β|.3.柯西不等式的三角不等式：|α|＋|β|≥|α＋β|.4.柯西不等式的一般形式：設(shè)a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn為實(shí)數(shù)，則(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n))eq\s\up12(\f(1,2))(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋…＋beq\o\al(2,n))eq\s\up12(\f(1,2))≥|a1b1＋a2b2＋…＋anbn|，其中等號(hào)成立?eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)＝…＝eq\f(an,bn)(當(dāng)某bj＝0時(shí)，認(rèn)為aj＝0，j＝1,2，…，n).教材整理2參數(shù)配方法利用二次三項(xiàng)式的判別式證明柯西不等式的方法稱為參數(shù)配方法.已知不等式(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為() 【解析】由柯西不等式可求出(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)·\f(1,\r(x))＋\r(y)·\f(\r(a),\r(y))))eq\s\up12(2)＝(1＋eq\r(a))2，當(dāng)x＝1，y＝eq\r(a)時(shí)，(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))的最小值是(eq\r(a)＋1)2，故只需(1＋eq\r(a))2≥9，即a≥4即可.【答案】B[質(zhì)疑·手記](méi)預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1：解惑：疑問(wèn)2：解惑：疑問(wèn)3：解惑：[小組合作型]利用柯西不等式證明不等式已知a，b，x，y都是正數(shù)，且a＋b＝1，求證：(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)≥x1x2.【精彩點(diǎn)撥】如果對(duì)不等式左端直接用柯西不等式，得不到所要證明的結(jié)論.若把第二個(gè)小括號(hào)內(nèi)的兩項(xiàng)對(duì)調(diào)一下，再應(yīng)用柯西不等式即可得證.【自主解答】∵a，b，x，y大于0，∴(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)＝(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥(aeq\r(x1x2)＋beq\r(x1x2))2＝(a＋b)2x1x2.又因?yàn)閍＋b＝1，所以(a＋b)2x1x2＝x1x2，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x1＝x2時(shí)成立.所以(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)≥x1x2.1.利用二維形式的柯西不等式證明時(shí)，要抓住柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征，必要時(shí)，需要將數(shù)學(xué)表達(dá)式適當(dāng)變形.2.變形往往要求具有很高的技巧，必須善于分析題目的特征，根據(jù)題設(shè)條件，綜合地利用添、拆、分解、組合、配方、變量代換、數(shù)形結(jié)合等方法才能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，找到突破口.[再練一題]1.設(shè)x1，x2，…，xn為正數(shù)，求證：(x1＋x2＋…＋xn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)＋\f(1,x2)＋…＋\f(1,xn)))≥n2.【證明】由柯西不等式得(x1＋x2＋…＋xn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)＋\f(1,x2)＋…＋\f(1,xn)))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x1)·\f(1,\r(x1))＋\r(x2)·\f(1,\r(x2))＋…＋\r(xn)·\f(1,\r(xn))))eq\s\up12(2)＝n2，∴(x1＋x2＋…＋xn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)＋\f(1,x2)＋…＋\f(1,xn)))≥n2.利用柯西不等式求最值設(shè)x＋y＋z＝1，求函數(shù)u＝2x2＋3y2＋z2的最小值.【精彩點(diǎn)撥】由x＋y＋z＝1以及u＝2x2＋3y2＋z2的形式，聯(lián)想柯西不等式，構(gòu)造因式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,3)＋1))解決問(wèn)題.【自主解答】由x＋y＋z＝eq\f(1,\r(2))·eq\r(2)x＋eq\f(1,\r(3))·eq\r(3)y＋1·z.根據(jù)柯西不等式，有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2))·\r(2)x＋\f(1,\r(3))·\r(3)y＋1·z))eq\s\up12(2)≤eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2))))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3))))\s\up12(2)＋12))·(2x2＋3y2＋z2)＝eq\f(11,6)(2x2＋3y2＋z2)，因此1＝(x＋y＋z)2≤eq\f(11,6)(2x2＋3y2＋z2)，∴u＝2x2＋3y2＋z2≥eq\f(6,11)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\r(2)x＝eq\f(λ,\r(2))，eq\r(3)y＝eq\f(λ,\r(3))，z＝λ時(shí)等號(hào)成立.∴x＝eq\f(λ,2)，y＝eq\f(λ,3)，z＝λ代入x＋y＋z＝1，得x＝eq\f(3,11)，y＝eq\f(2,11)，z＝eq\f(6,11)時(shí)，等號(hào)成立.故函數(shù)u＝2x2＋3y2＋z2的最小值是eq\f(6,11).1.利用柯西不等式求最值，不但要注意等號(hào)成立的條件，而且要善于對(duì)目標(biāo)函數(shù)配湊，保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果.2.常用的配湊的技巧有：(1)巧拆常數(shù)；(2)重新安排某些項(xiàng)的次序；(3)適當(dāng)添項(xiàng)；(4)適當(dāng)改變結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到運(yùn)用柯西不等式求最值.[再練一題]2.若實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2＋y2＋z2＝9，則x＋2y＋3z的最大值是________.【解析】由柯西不等式得(x＋2y＋3z)2≤(1＋22＋32)·(x2＋y2＋z2)＝14×9，故x＋2y＋3z≤3eq\r(14)，所以x＋2y＋3z的最大值是3eq\r(14).【答案】3eq\r(14)運(yùn)用柯西不等式求參數(shù)的取值范圍已知正數(shù)x，y，z滿足x＋y＋z＝xyz，且不等式eq\f(1,x＋y)＋eq\f(1,y＋z)＋eq\f(1,z＋x)≤λ恒成立，求λ的取值范圍.【精彩點(diǎn)撥】“恒成立”問(wèn)題需求eq\f(1,x＋y)＋eq\f(1,y＋z)＋eq\f(1,z＋x)的最大值，設(shè)法應(yīng)用柯西不等式求最值.【自主解答】∵x>0，y>0，z>0，且x＋y＋z＝xyz，∴eq\f(1,yz)＋eq\f(1,xz)＋eq\f(1,xy)＝1.又eq\f(1,x＋y)＋eq\f(1,y＋z)＋eq\f(1,z＋x)≤eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(xy))＋\f(1,\r(yz))＋\f(1,\r(zx))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1·\f(1,\r(xy))＋1·\f(1,\r(yz))＋1·\f(1,\r(zx))))≤eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12＋12＋12\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,xy)＋\f(1,yz)＋\f(1,zx)))))eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z時(shí)，即x＝y(tǒng)＝z＝eq\r(3)時(shí)等號(hào)成立，∴eq\f(1,x＋y)＋eq\f(1,y＋z)＋eq\f(1,z＋x)的最大值為eq\f(\r(3),2).故eq\f(1,x＋y)＋eq\f(1,y＋z)＋eq\f(1,z＋x)≤λ恒成立時(shí)，應(yīng)有λ≥eq\f(\r(3),2).因此λ的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，＋∞)).此題也是通過(guò)構(gòu)造轉(zhuǎn)化應(yīng)用柯西不等式，由此可見(jiàn)，應(yīng)用柯西不等式，首先要對(duì)不等式形式、條件熟練掌握，然后根據(jù)題目的特點(diǎn)“創(chuàng)造性”的應(yīng)用定理.[再練一題]3.已知函數(shù)f(x)＝2eq\r(x)＋eq\r(5－x).若關(guān)于x的不等式f(x)≤|m－2|恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解】由柯西不等式得(2eq\r(x)＋eq\r(5－x))2≤(22＋12)·|(eq\r(x))2＋(eq\r(5－x))2|＝25，所以f(x)＝2eq\r(x)＋eq\r(5－x)≤5.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(\r(x),2)＝eq\f(\r(5－x),1)，即x＝4時(shí)，等號(hào)成立.又不等式f(x)≤|m－2|恒成立，所以|m－2|≥5，解得m≥7或m≤－3.故m的取值范圍為(－∞，－3]∪[7，＋∞).[探究共研型]柯西不等式的應(yīng)用探究1在二維形式的柯西不等式的代數(shù)形式中，取等號(hào)的條件可以寫(xiě)成eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)嗎？【提示】不可以.當(dāng)b·d＝0時(shí)，柯西不等式成立，但eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)不成立.探究2在平面直角坐標(biāo)系中，若△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3).則二維柯西不等式的三角形式又是怎樣體現(xiàn)的呢？【提示】根據(jù)二維柯西不等式的幾何意義，在△ABC中，三角形式的柯西不等式為eq\r(x1－x32＋y1－y32)＋eq\r(x2－x32＋y2－y32)≥eq\r(x1－x22＋y1－y22).探究3在一般形式的柯西不等式中，等號(hào)成立的條件記為ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n)，可以嗎？【提示】不可以.若bi＝0而ai≠0，則k不存在.探究4利用柯西不等式時(shí)，常用的變形技巧有哪些？【提示】柯西不等式形式優(yōu)美，有重要的應(yīng)用價(jià)值，應(yīng)用柯西不等式解題的關(guān)鍵是恰到好處的變形，常用的變形技巧有：(1)等價(jià)變形，將要解決的不等式問(wèn)題作等價(jià)變形，構(gòu)造出幾個(gè)實(shí)數(shù)的平方和與另n個(gè)實(shí)數(shù)平方和的乘積的形式.(2)配輔助式，為了應(yīng)用柯西不等式，有時(shí)要根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合柯西不等式等號(hào)成立的條件，配湊適當(dāng)?shù)妮o助式，使問(wèn)題獲證.(3)適當(dāng)換元，有時(shí)根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征適當(dāng)換元，轉(zhuǎn)化為容易應(yīng)用柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征，使問(wèn)題簡(jiǎn)捷獲解.(4)配系數(shù)，為了應(yīng)用柯西不等式溝通條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，有時(shí)要通過(guò)巧配系數(shù)來(lái)完成.已知3x2＋2y2≤6，求證：2x＋y≤eq\r(11).【精彩點(diǎn)撥】將不等式2x＋y≤eq\r(11)的左邊湊成柯西不等式的形式，然后證明.【自主解答】2x＋y＝eq\f(2,\r(3))·eq\r(3)x＋eq\f(1,\r(2))·eq\r(2)y.由柯西不等式得(2x＋y)2≤[(eq\r(3)x)2＋(eq\r(2)y)2]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(3))))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2))))\s\up12(2)))＝(3x2＋2y2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)＋\f(1,2)))≤6×eq\f(11,6)＝11，于是2x＋y≤eq\r(11)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(\r(3)x,\f(2,\r(3)))＝eq\f(\r(2)y,\f(1,\r(2)))，即eq\f(x,y)＝eq\f(4,3)時(shí)等號(hào)成立.[再練一題]4.已知x＋2y＝1，則x2＋y2的最小值為_(kāi)_______.【解析】∵1＝x＋2y，∴1＝(x＋2y)2≤(1＋22)(x2＋y2).當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(1,5)，y＝eq\f(2,5)時(shí)，取等號(hào)，∴(x2＋y2)min＝eq\f(1,5).【答案】eq\f(1,5)[構(gòu)建·體系]1.設(shè)x，y∈R，且2x＋3y＝13，則x2＋y2的最小值為()\r(13) 【解析】(2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)，∴x2＋y2≥13.【答案】C2.已知2x2＋y2＝1，則2x＋y的最大值是()\r(2)\r(3)【解析】2x＋y＝eq\r(2)·eq\r(2)x＋1×y≤eq\r(\r(2)2＋12[\r(2)x2＋y2])＝eq\r(32x2＋y2)＝eq\r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\r(2)y＝eq\r(2)x，即x＝y(tǒng)＝eq\f(\r(3),3)時(shí)等號(hào)成立.【答案】C3.若a，b∈R，且a2＋b2＝10，則a－b的取值范圍是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：38000032】A.[－2eq\r(5)，2eq\r(5)] B.[－2eq\r(10)，2eq\r(10)]C.[－eq\r(10)，eq\r(10)] D.[－eq\r(5)，eq\r(5)]【解析】∵(a2＋b2)[12＋(－1)2]≥(a－b)2，∴|a－b|≤eq\r(20)＝2eq\r(5)，∴a－b∈[－2eq\r(5)，2eq\r(5)].【答案】A4.設(shè)a，b，c為正數(shù)，則(a＋b＋c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＋\f(9,b)＋\f(36,c)))的最小值為_(kāi)_______.【解析】∵a，b，c為正數(shù)，∴(a＋b＋c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＋\f(9,b)＋\f(36,c)))＝[(eq\r(a))2＋(eq\r(b))2＋(eq\r(c))2]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(a))))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,\r(b))))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,\r(c))))\s\up12(2))