高中數學北師大版第一章立體幾何初步單元測試 學業(yè)分層測評9

學業(yè)分層測評(九)(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、選擇題1．(2023·葫蘆島模擬)已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β.直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α與β相交，且交線垂直于lD．α與β相交，且交線平行于l【解析】由m⊥平面α，直線l滿足l⊥m，且l?α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l?β，所以l∥β.由直線m，n為異面直線，且m⊥平面α，n⊥平面β，則α與β相交，否則，若α∥β則推出m∥n，與m，n異面矛盾．故α與β相交，且交線平行于l.【答案】D2．若m、n表示直線，α表示平面，則下列命題中，正確命題的個數為()①eq\b\lc\\rc\}(\a\al(m∥n,m⊥α))?n⊥α； ②eq\b\lc\\rc\}(\a\al(m⊥α,n⊥α))?m∥n；③eq\b\lc\\rc\}(\a\al(m⊥α,n∥α))?m⊥n; ④eq\b\lc\\rc\}(\a\al(m∥α,m⊥n))?n⊥α.A．1 B．2C．3 D．4【解析】①②③正確，④中n與面α可能有：nα或n∥α或相交(包括n⊥α)．【答案】C3．(2023·浙江高考)設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面()A．若m⊥n，n∥α，則m⊥αB．若m∥β，β⊥α，則m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，則m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，則m⊥α【解析】A，B，D中，m與平面α可能平行、相交或m在平面α內；對于C，若m⊥β，n⊥β，則m∥n，而n⊥α，所以m⊥α.故選C.【答案】C4.(2023·蚌埠高一檢測)如圖1-6-29，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在側面BCC1B1及其邊界上運動，并且總保持AP⊥BD1，則動點P的軌跡是()圖1-6-29A．線段B1CB．線段BC1C．BB1中點與CC1中點連成的線段D．BC中點與B1C1中點連成的線段【解析】連接AC，PC，∵BD1⊥AC，BD1⊥AP，∴BD1⊥平面APC，∴BD1⊥PC，而在平面BCC1B1中，BD1⊥B1C，∴P在線段B1C上運動，即點P的軌跡是線段B1C.【答案】A5．如圖1-6-30，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構成三棱錐A-BCD，則在三棱錐A-BCD中，下列命題正確的是()【導學號：10690026】圖1-6-30A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC【解析】如圖，在平面圖形中CD⊥BD，折起后仍然滿足CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB.又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，所以平面ADC⊥平面ABC.【答案】D二、填空題6．若α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，則a與β的關系為________．【解析】過a作平面γ與平面α相交于a′.∵a∥α，∴a∥a′.∵a⊥AB，∴a′⊥AB.又α⊥β且α∩β＝AB，a′α，∴a′⊥β，∴a⊥β.【答案】a⊥β7．已知平面α⊥平面β，在α，β的交線上取線段AB＝4cm，AC，BD分別在平面α和β內，它們都垂直于AB，并且AC＝3cm，BD＝12cm，則CD的長為______cm.【解析】如圖，連接AD，CD.在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝12，∴AD＝eq\r(122＋42)＝4eq\r(10)cm.又∵α⊥β，CA⊥AB，CAα，∴CA⊥β，∴△CAD為直角三角形，∴CD＝eq\r(CA2＋AD2)＝eq\r(32＋42×10)＝eq\r(169)＝13(cm)．【答案】138．如圖1-6-31，空間四邊形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，且AB＝AD，則AC與平面BCD所成的角是________．圖1-6-31【解析】如圖，取BD的中點E，連接AE、CE.由AB＝AD，得AE⊥BD.∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AE平面ABD，∴AE⊥平面BCD，∴EC為AC在平面BCD上的射影，∠ACE即為AC與平面BCD所成的角．∵在Rt△BCD中，E為BD的中點，∴CE＝BE.又AE＝BE，∴在Rt△ACE中，AE＝CE，∠ACE＝45°.∴AC與平面BCD所成的角為45°.【答案】45°三、解答題9．如圖1-6-32三棱錐P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC.求證：平面PAB⊥平面PBC.圖1-6-32【證明】∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，PA平面PAC，∴PA⊥平面ABC.又BC平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.又BC平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.10.如圖1-6-33，已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，側面PBC⊥底面與BD是否相互垂直，請證明你的結論．圖1-6-33【解】PA與BD垂直，證明如下：如圖，取BC的中點O，連接PO，AO，∵PB＝PC，∴PO⊥BC，又側面PBC⊥底面ABCD，∴PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD，在直角梯形ABCD中，易證△ABO≌△BCD，∠BAO＝∠CBD，∠CBD＋∠ABD＝90°，∴∠BAO＋∠ABD＝90°，∴AO⊥BD，又PO∩AO＝O，∴BD⊥平面PAO，∴BD⊥PA，∴PA與BD相互垂直．[能力提升]1．已知平面α、β、γ，直線l、m滿足：l⊥m，α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，那么在①β⊥γ；②l⊥α；③m⊥β中，可以由上述已知推出的有()A．①和② B．②和③C．①和③ D．②【解析】一方面，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\al(α⊥γ，,γ∩α＝m，,l⊥m，lγ，))所以l⊥α，故②是正確的．另一方面，如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，把AA1記作l，把平面AB1記作β，把平面AC1記作γ，把平面A1B1C1記作α，把直線A1C1記作m，就可以否定①與③，故選D.【答案】D2．如圖1-6-34，在正方形SG1G2G3中，E、F分別是G1G2、G2G3的中點，現在沿SE、SF、EF把這個正方形折成一個四面體，使G1、G2、G3重合，重合后的點記為G.給出下列關系：圖1-6-34①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有()A．①與② B．①與③C．②與③ D．③與④【解析】由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，則SG∥SE，這與SG∩SE＝S矛盾，排除A，故選B.【答案】B3．(2023·濟南高一檢測)如圖1-6-35，四面體P-ABC中，PA＝PB＝eq\r(13)，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，則PC＝________.圖1-6-35【解析】取AB的中點E，連接PE，∵PA＝PB，∴PE⊥AB，又平面PAB⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC，連接CE，∴PE⊥CE，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝2eq\r(7)，PE＝eq\r(PA2－AE2)＝eq\r(6)，CE＝eq\r(BE2＋BC2)＝eq\r(43)，PC＝eq\r(PE2＋CE2)＝7.【答案】74．(2023·撫寧模擬)如圖1-6-36，三棱錐A-BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分別是AC，AD上的動點，且eq\f(AE,AC)＝eq\f(AF,AD)＝λ(0＜λ＜1)．圖1-6-36(1)求證：不論λ為何值，總有平面BEF⊥平面ABC；(2)當λ為何值時，平面BEF⊥平面ACD.【解】(1)證明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC，且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又∵eq\f(AE,AC)＝eq\f(AF,AD)＝λ(0＜λ＜1)，∴不論λ為何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF?平面BEF，∴不論λ為何值，恒有平面BEF⊥平面ABC.(2)由(1)知，BE⊥