橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程(公開課)課件

隆德高級(jí)中學(xué)2012.11.102.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程探索－嫦娥奔月2010年10月8日中國(guó)“嫦娥”二號(hào)衛(wèi)星成功實(shí)現(xiàn)第二次近月制動(dòng)，衛(wèi)星進(jìn)入距月球表面近月點(diǎn)高度約210公里，遠(yuǎn)月點(diǎn)高度約8600公里，且以月球的球心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓形軌道。已知月球半徑約3475公里，試求“嫦娥”二號(hào)衛(wèi)星運(yùn)行的軌跡方程?！版隙鸲?hào)”于2010年10月1日18時(shí)59分57秒在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空

拱橋的橋拱采用基于橢圓的優(yōu)化設(shè)計(jì)，無(wú)論從力學(xué)原理，還是從施工角度考慮都是優(yōu)越于傳統(tǒng)的圓弧型和拋物線型的。生活中的應(yīng)用中國(guó)水利水電科學(xué)研究院研究表明：

神舟六號(hào)在進(jìn)入太空后，先以遠(yuǎn)地點(diǎn)347公里、近地點(diǎn)200公里的橢圓軌道運(yùn)行，后經(jīng)過(guò)變軌調(diào)整為距地343公里的圓形軌道.太陽(yáng)系?自然界處處存在著橢圓,我們?nèi)绾斡米约旱碾p手畫出橢圓呢?先回憶如何畫圓引例:

若取一條長(zhǎng)度一定且沒有彈性的細(xì)繩，把它的兩端都固定在圖板的同一點(diǎn)處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，這時(shí)筆尖畫出的軌跡是什么圖形？思考:

平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡又是什么呢？平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是圓.?如何定義橢圓?圓的定義:平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓.橢圓的定義:平面上到兩個(gè)定點(diǎn)F1,

F2的距離之和為固定值(大于|F1F2

|)的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓.1.改變兩圖釘之間的距離，使其與繩長(zhǎng)相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？2．繩長(zhǎng)能小于兩圖釘之間的距離嗎？

1.改變兩圖釘之間的距離，使其與繩長(zhǎng)相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？2．繩長(zhǎng)能小于兩圖釘之間的距離嗎？

二、基礎(chǔ)知識(shí)講解平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于定長(zhǎng)2a,（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓。定點(diǎn)F1、F2叫做橢圓的焦點(diǎn)。兩焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距（2c）。1.橢圓定義：如圖：F1F2M2c回憶圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)步驟?提出了問題就要試著解決問題.怎么推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？?求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟：1、建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo);2、寫出適合條件P（M）;3、用坐標(biāo)表示條件P（M），列出方程;

4、化方程為最簡(jiǎn)形式。坐標(biāo)法OxyF1F2M如圖所示:F1、F2為兩定點(diǎn)，且|F1F2|=2c，求平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2距離之和為定值2a(2a>2c)的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。解：以F1F2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，(-c,0)(c,0)(x,y)設(shè)M（x,y)為所求軌跡上的任意一點(diǎn)，則橢圓就是集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}如何化簡(jiǎn)?則焦點(diǎn)F1、F2的坐標(biāo)分別為(-c,0)、(c,0)。問題:求曲線方程的基本步驟？（1）建系設(shè)點(diǎn);（2）寫出條件；（3）列出方程；（4）化簡(jiǎn)方程；（5）下結(jié)論。OxyF1F2M(-c,0)(c,0)(x,y)整理，得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)∵2a>2c>0，即a>c>0，∴a2-c2>0，(a>b>0)兩邊同除以a2(a2-c2)得:P那么①式如圖點(diǎn)P是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)①你能在圖中找出表示a，c，，的線段嗎？?探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案OxyOxyOxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyMOxy原則：盡可能使方程的形式簡(jiǎn)單、運(yùn)算簡(jiǎn)單；

(一般利用對(duì)稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標(biāo)軸.)(對(duì)稱、“簡(jiǎn)潔”)xF1F2Ｐ(x,y)0y設(shè)P(x,y)是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的焦距|F1F2|=2c(c>0)，則F1、F2的坐標(biāo)分別是(c,0)、(c,0).

P與F1和F2的距離的和為固定值2a(2a>2c)

（問題：下面怎樣化簡(jiǎn)？）由橢圓的定義得，限制條件：由于得方程兩邊除以得由橢圓定義可知整理得兩邊再平方，得移項(xiàng)，再平方橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程OXYF1F2M(-c,0)(c,0)YOXF1F2M(0,-c)(0,c)?橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)：（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個(gè)分式的平方和，右邊是1（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù)a、b、c滿足a2=b2+c2。（3）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個(gè)參數(shù)a、b、c的值。（4）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，x2與y2的分母哪一個(gè)大，則焦點(diǎn)在哪一個(gè)軸上。思考：方程Ax2+By2=C何時(shí)表示橢圓？答：A、B、C同號(hào)且A、B不相等時(shí)。分母哪個(gè)大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于F1F2）的點(diǎn)的軌跡標(biāo)準(zhǔn)方程不同點(diǎn)相同點(diǎn)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)定義a、b、c的關(guān)系焦點(diǎn)位置的判斷?再認(rèn)識(shí)！xyF1F2POxyF1F2PO例2.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-2,0),(2,0),并且經(jīng)過(guò)點(diǎn),求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.解法一:因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為由橢圓的定義知所以又因?yàn)?所以因此,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為例2.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-2,0),(2,0),并且經(jīng)過(guò)點(diǎn),求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.解法二:因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為①②聯(lián)立①②,因此,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的解題步驟：（1）確定焦點(diǎn)的位置；（2）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）用待定系數(shù)法確定a、b的值，寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

定義法：如果所給幾何條件正好符合某一特定的曲線（圓，橢圓等）的定義，則可直接利用定義寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

待定系數(shù)法：所求曲線方程的類型已知，則可以設(shè)出所求曲線的方程，然后根據(jù)條件求出系數(shù).用待定系數(shù)法求橢圓方程時(shí)，要“先定型，再定量”.~求曲線方程的方法：

代入法：或中間變量法，利用所求曲線上的動(dòng)點(diǎn)與某一已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系，把所求動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)換為已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足的曲線的方程，由此即可求得動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x,y之間的坐標(biāo)。~求曲線方程的方法：則a＝

，b＝

；則a＝

，b＝

；5346口答：則a＝

，b＝