高中數(shù)學人教B版3第一章計數(shù)原理二項式定理 第1章

二項式定理二項式定理1.會證明二項式定理.(難點)2.掌握二項式定理及其展開式的通項公式.(重點)[基礎·初探]教材整理二項式定理閱讀教材P26～P27例1以上部分，完成下列問題.二項式定理及相關(guān)的概念二項式定理概念公式(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N＋)稱為二項式定理二項式系數(shù)各項系數(shù)Ceq\o\al(r,n)(r＝0,1,2，…，n)叫做展開式的二項式系數(shù)二項式通項Ceq\o\al(r,n)an－rbr是展開式中的第r＋1項，可記做Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr(其中0≤r≤n，r∈N，n∈N＋)二項展開式Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N＋)備注在二項式定理中，如果設a＝1，b＝x，則得到公式(1＋x)n＝1＋Ceq\o\al(1,n)x＋Ceq\o\al(2,n)x2＋…＋Ceq\o\al(r,n)xr＋…＋Ceq\o\al(n,n)xn(n∈N＋)判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)(a＋b)n展開式中共有n項.()(2)在公式中，交換a，b的順序?qū)Ω黜棝]有影響.()(3)Ceq\o\al(r,n)an－rbr是(a＋b)n展開式中的第r項.()(4)(a－b)n與(a＋b)n的二項式展開式的二項式系數(shù)相同.()【解析】(1)×因為(a＋b)n展開式中共有n＋1項.(2)×因為二項式的第r＋1項Ceq\o\al(r,n)an－rbr和(b＋a)n的展開式的第k＋1項Ceq\o\al(r,n)bn－rar是不同的，其中的a，b是不能隨便交換的.(3)×因為Ceq\o\al(r,n)an－rbr是(a＋b)n展開式中的第r＋1項.(4)√因為(a－b)n與(a＋b)n的二項式展開式的二項式系數(shù)都是Ceq\o\al(r,n).【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√[質(zhì)疑·手記]預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]二項式定理的正用、逆用(1)用二項式定理展開eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3,2x2)))5；(2)化簡：Ceq\o\al(0,n)(x＋1)n－Ceq\o\al(1,n)(x＋1)n－1＋Ceq\o\al(2,n)(x＋1)n－2－…＋(－1)rCeq\o\al(r,n)(x＋1)n－r＋…＋(－1)nCeq\o\al(n,n).【精彩點撥】(1)二項式的指數(shù)為5，且為兩項的和，可直接按二項式定理展開；(2)可先把x＋1看成一個整體，分析結(jié)構(gòu)形式，逆用二項式定理求解.【自主解答】(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3,2x2)))5＝Ceq\o\al(0,5)(2x)5＋Ceq\o\al(1,5)(2x)4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2x2)))＋…＋Ceq\o\al(5,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2x2)))5＝32x5－120x2＋eq\f(180,x)－eq\f(135,x4)＋eq\f(405,8x7)－eq\f(243,32x10).(2)原式＝Ceq\o\al(0,n)(x＋1)n＋Ceq\o\al(1,n)(x＋1)n－1(－1)＋Ceq\o\al(2,n)(x＋1)n－2(－1)2＋…＋Ceq\o\al(r,n)(x＋1)n－r(－1)r＋…＋Ceq\o\al(n,n)(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.1.展開二項式可以按照二項式定理進行.展開時注意二項式定理的結(jié)構(gòu)特征，準確理解二項式的特點是展開二項式的前提條件.2.對較復雜的二項式，有時先化簡再展開會更簡便.3.對于化簡多個式子的和時，可以考慮二項式定理的逆用.對于這類問題的求解，要熟悉公式的特點，項數(shù)，各項冪指數(shù)的規(guī)律以及各項的系數(shù).[再練一題]1.(1)求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))4的展開式；(2)化簡：1＋2Ceq\o\al(1,n)＋4Ceq\o\al(2,n)＋…＋2nCeq\o\al(n,n).【解】(1)法一：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))4＝Ceq\o\al(0,4)(3eq\r(x))4＋Ceq\o\al(1,4)(3eq\r(x))3·eq\f(1,\r(x))＋Ceq\o\al(2,4)(3eq\r(x))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))2＋Ceq\o\al(3,4)(3eq\r(x))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))3＋Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))4＝81x2＋108x＋54＋eq\f(12,x)＋eq\f(1,x2).法二：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))4＝eq\f(3x＋14,x2)＝eq\f(1,x2)(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋eq\f(12,x)＋eq\f(1,x2).(2)原式＝1＋2Ceq\o\al(1,n)＋22Ceq\o\al(2,n)＋…＋2nCeq\o\al(n,n)＝(1＋2)n＝3n.二項式系數(shù)與項的系數(shù)問題(1)求二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(x)－\f(1,x)))6的展開式中第6項的二項式系數(shù)和第6項的系數(shù)；(2)求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))9的展開式中x3的系數(shù).【精彩點撥】利用二項式定理求展開式中的某一項，可以通過二項展開式的通項公式進行求解.【自主解答】(1)由已知得二項展開式的通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)(2eq\r(x))6－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))r＝(－1)rCeq\o\al(r,6)·26－r·x3－r，∴T6＝－12·x－.∴第6項的二項式系數(shù)為Ceq\o\al(5,6)＝6，第6項的系數(shù)為Ceq\o\al(5,6)·(－1)·2＝－12.(2)Tr＋1＝Ceq\o\al(r,9)x9－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))r＝(－1)r·Ceq\o\al(r,9)·x9－2r，∴9－2r＝3，∴r＝3，即展開式中第四項含x3，其系數(shù)為(－1)3·Ceq\o\al(3,9)＝－84.1.二項式系數(shù)都是組合數(shù)Ceq\o\al(r,n)(r＝0,1,2，…，n)，它與二項展開式中某一項的系數(shù)不一定相等，要注意區(qū)分“二項式系數(shù)”與二項式展開式中“項的系數(shù)”這兩個概念.2.第r＋1項的系數(shù)是此項字母前的數(shù)連同符號，而此項的二項式系數(shù)為Ceq\o\al(r,n).例如，在(1＋2x)7的展開式中，第四項是T4＝Ceq\o\al(3,7)17－3(2x)3，其二項式系數(shù)是Ceq\o\al(3,7)＝35，而第四項的系數(shù)是Ceq\o\al(3,7)23＝280.[再練一題]2.(1＋2x)n的展開式中第六項與第七項的系數(shù)相等，求展開式中二項式系數(shù)最大的項和系數(shù)最大的項.【解】T6＝Ceq\o\al(5,n)(2x)5，T7＝Ceq\o\al(6,n)(2x)6，依題意有Ceq\o\al(5,n)25＝Ceq\o\al(6,n)26?n＝8.∴(1＋2x)n的展開式中，二項式系數(shù)最大的項為T5＝Ceq\o\al(4,8)(2x)4＝1120x4.設第r＋1項系數(shù)最大，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(r,8)2r≥C\o\al(r－1,8)2r－1，,C\o\al(r,8)2r≥C\o\al(r＋1,8)2r＋1，))∴5≤r≤6.∴r＝5或r＝6(∵r＝0,1,2，…，8).∴系數(shù)最大的項為T6＝1792x5，T7＝1792x6.[探究共研型]求展開式中的特定項探究1如何求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))4展開式中的常數(shù)項.【提示】利用二項展開式的通項Ceq\o\al(r,4)x4－r·eq\f(1,xr)＝Ceq\o\al(r,4)x4－2r求解，令4－2r＝0，則r＝2，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))4展開式中的常數(shù)項為Ceq\o\al(2,4)＝eq\f(4×3,2)＝6.探究2(a＋b)(c＋d)展開式中的每一項是如何得到的？【提示】(a＋b)(c＋d)展開式中的各項都是由a＋b中的每一項分別乘以c＋d中的每一項而得到.探究3如何求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))(2x＋1)3展開式中含x的項？【提示】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))(2x＋1)3展開式中含x的項是由x＋eq\f(1,x)中的x與eq\f(1,x)分別與(2x＋1)3展開式中常數(shù)項Ceq\o\al(3,3)＝1及x2項Ceq\o\al(1,3)22x2＝12x2分別相乘再把積相加得x·Ceq\o\al(3,3)＋eq\f(1,x)·Ceq\o\al(1,3)(2x)2＝x＋12x＝13x.即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))(2x＋1)3展開式中含x的項為13x.已知在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)－\f(3,\r(3,x))))n的展開式中，第6項為常數(shù)項.(1)求n；(2)求含x2項的系數(shù)；(3)求展開式中所有的有理項.【精彩點撥】eq\x(寫出通項Tr＋1)→eq\x(令r＝5，x的指數(shù)為零)→eq\x(1求出n值)→eq\x(修正通項公式)→eq\x(2求x2項的系數(shù))→eq\x(考察x指數(shù)為整數(shù))→eq\x(分析求出k值)→eq\x(3寫出有理項)【自主解答】通項公式為：Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)xeq\f(n－r,3)(－3)rx－eq\f(r,3)＝Ceq\o\al(r,n)(－3)rxeq\f(n－2r,3).(1)∵第6項為常數(shù)項，∴r＝5時，有eq\f(n－2r,3)＝0，即n＝10.(2)令eq\f(10－2r,3)＝2，得r＝eq\f(1,2)(10－6)＝2，∴所求的系數(shù)為Ceq\o\al(2,10)(－3)2＝405.(3)由題意得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(10－2r,3)∈Z，,0≤r≤10，,r∈Z.))令eq\f(10－2r,3)＝k(k∈Z)，則10－2r＝3k，即r＝5－eq\f(3,2)k.∵r∈Z，∴k應為偶數(shù)，k＝2,0，－2即r＝2,5,8，所以第3項，第6項與第9項為有理項，它們分別為405x2，－61236,295245x－2.1.求二項展開式的特定項的常見題型(1)求第k項，Tr＝Ceq\o\al(r－1,n)an－r＋1br－1；(2)求含xr的項(或xpyq的項)；(3)求常數(shù)項；(4)求有理項.2.求二項展開式的特定項的常用方法(1)對于常數(shù)項，隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項)；(2)對于有理項，一般是先寫出通項公式，其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項.解這類問題必須合并通項公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解；(3)對于二項展開式中的整式項，其通項公式中同一字母的指數(shù)應是非負整數(shù)，求解方式與求有理項一致.[再練一題]3.(1)在(1－x3)(1＋x)10的展開式中，x5的系數(shù)是________.(2)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(a),x2)))6展開式的常數(shù)項為60，則常數(shù)a的值為________.【導學號：62980023】【解析】(1)x5應是(1＋x)10中含x5項、含x2項分別與1，－x3相乘的結(jié)果，∴其系數(shù)為Ceq\o\al(5,10)＋Ceq\o\al(2,10)(－1)＝207.(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(a),x2)))6的展開式的通項是Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)x6－r·(－eq\r(a))rx－2r＝Ceq\o\al(r,6)x6－3r(－eq\r(a))r，令6－3r＝0，得r＝2，即當r＝2時，Tr＋1為常數(shù)項，即常數(shù)項是Ceq\o\al(2,6)a，根據(jù)已知得Ceq\o\al(2,6)a＝60，解得a＝4.【答案】(1)207(2)4[構(gòu)建·體系]1.在(x－eq\r(3))10的展開式中，含x6的項的系數(shù)是()A.－27Ceq\o\al(6,10) \o\al(4,10)C.－9Ceq\o\al(6,10) \o\al(4,10)【解析】含x6的項是T5＝Ceq\o\al(4,10)x6(－eq\r(3))4＝9Ceq\o\al(4,10)x6.【答案】D2.在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(1,\r(3,x))))8的展開式中常數(shù)項是()A.－28 B.－7 【解析】Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))8－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(3,x))))r＝(－1)r·Ceq\o\al(r,8)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))8－r·x8－eq\f(4,3)r，當8－eq\f(4,3)r＝0，即r＝6時，T7＝(－1)6·Ceq\o\al(6,8)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝7.【答案】C3.在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,x)))6的展開式中，中間項是________.【解析】由n＝6知中間一項是第4項，因T4＝Ceq\o\al(3,6)(2x2)3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))3＝Ceq\o\al(3,6)·(－1)3·23·x3，所以T4＝－160x3.【答案】－160x34.在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,2x)))9的展開式中，第4項的二項式系數(shù)是________，第4項的系數(shù)是________.【導學號：62980024】【解析】Tr＋1＝Ceq\o\al(r,9)·(x2)9－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2x)))r＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))r·Ceq\o\al(r,9)·x18－3r，當r＝3時，T4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))3·Ceq\o\al(3,9)·x9＝－eq\f(21,2)x9，所以第4項