本科“統(tǒng)計(jì)學(xué)”-第五章 概率分布與抽樣分布

第五

章概率分布與抽樣分布第一節(jié)隨機(jī)事件與概率分布第二節(jié)抽樣分布及其性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)了解隨機(jī)事件及概率分布理解抽樣分布的意義了解抽樣分布的形成過(guò)程理解中心極限定理理解抽樣分布的性質(zhì)第一節(jié)隨機(jī)事件與概率分布一、隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件必然現(xiàn)象（確定性現(xiàn)象）變化結(jié)果是事先可以確定的，一定的條件必然導(dǎo)致某一結(jié)果這種關(guān)系通?？梢杂霉交蚨蓙?lái)表示隨機(jī)現(xiàn)象（有不確定性，但不等同于偶然現(xiàn)象）在相同條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的現(xiàn)象個(gè)別觀察的結(jié)果完全是偶然的、隨機(jī)會(huì)而定大量觀察的結(jié)果會(huì)呈現(xiàn)出某種規(guī)律性

（隨機(jī)性中寓含著規(guī)律性）

——統(tǒng)計(jì)規(guī)律性十五的夜晚能看見月亮？十五的月亮比初十圓！隨機(jī)試驗(yàn)嚴(yán)格意義上的隨機(jī)試驗(yàn)滿足三個(gè)條件：試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但試驗(yàn)的所有可能結(jié)果在試驗(yàn)之前是明確可知的；每次試驗(yàn)只能觀察到可能結(jié)果中的一個(gè)，但在試驗(yàn)結(jié)束之前不能肯定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。廣義的隨機(jī)試驗(yàn)是指對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀察（或?qū)嶒?yàn)）實(shí)際應(yīng)用中多數(shù)試驗(yàn)不能同時(shí)滿足上述條件，常常從廣義角度來(lái)理解。隨機(jī)事件（事件）隨機(jī)事件（簡(jiǎn)稱事件）隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果常用大寫英文字母A、B、……、來(lái)表示基本事件（樣本點(diǎn)）——中國(guó)足球隊(duì)勝、負(fù)、平不可能再分成為兩個(gè)或更多事件的事件：樣本空間（Ω）在一項(xiàng)隨機(jī)試驗(yàn)中，每一個(gè)基本事件稱為一個(gè)樣本點(diǎn)，而所有樣本點(diǎn)構(gòu)成這項(xiàng)試驗(yàn)的樣本空間。顯然，樣本空間等同于集合論中的全集，基本事件對(duì)應(yīng)于全集中的元素，滿足某些規(guī)定性質(zhì)的隨機(jī)事件就是集合論中的一個(gè)子集。隨機(jī)事件（續(xù)）隨機(jī)事件的兩種特例必然事件在一定條件下，每次試驗(yàn)都必然發(fā)生的事件必然事件發(fā)生的概率為1

不可能事件在一定條件下，每次試驗(yàn)都必然不會(huì)發(fā)生的事件不可能事件是一個(gè)空集（Φ）二、隨機(jī)事件的概率概率用來(lái)度量隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值必然事件的概率為1，表示為P(

)=1不可能事件發(fā)生的可能性是零，P(

)=0隨機(jī)事件A的概率介于0和1之間，0<P(A)<1概率的統(tǒng)計(jì)定義當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n

很大時(shí)，事件A發(fā)生頻率m/n穩(wěn)定地在某一常數(shù)p上下波動(dòng)，而且這種波動(dòng)的幅度一般會(huì)隨著試驗(yàn)次數(shù)增加而縮小，則定義p為事件A發(fā)生的概率當(dāng)n相當(dāng)大時(shí)，可用事件發(fā)生的頻率m/n作為其概率的一個(gè)近似值——計(jì)算概率的統(tǒng)計(jì)方法（頻率方法）：貝努利概型事件的概率例如，投擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面和反面的頻率，隨著投擲次數(shù)n的增大，出現(xiàn)正面和反面的頻率穩(wěn)定在1/2左右試驗(yàn)的次數(shù)正面/試驗(yàn)次數(shù)1.000.000.250.500.750255075100125實(shí)驗(yàn)次數(shù)正面正面/實(shí)驗(yàn)次數(shù)111.00210.50310.33410.25520.40630.50740.57850.63960.671070.701180.731290.751390.691490.641590.6016100.6317100.5918100.5619110.5820120.6021130.6222140.6423150.6524160.6725160.64歷史上有很多人都曾經(jīng)做過(guò)拋硬幣試驗(yàn)：試驗(yàn)者試驗(yàn)次數(shù)正面出現(xiàn)的頻率蒲豐40400.5069K.皮爾遜120000.5016K.皮爾遜240000.5005羅曼諾夫斯基806400.4979三、隨機(jī)變量的概念隨機(jī)變量——表示隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的變量取值是隨機(jī)的，事先不能確定取哪一個(gè)值一個(gè)取值對(duì)應(yīng)隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)可能結(jié)果用大寫字母如X、Y、Z...來(lái)表示，具體取值則用相應(yīng)的小寫字母如x、y、z…來(lái)表示根據(jù)取值特點(diǎn)的不同，可分為：離散型隨機(jī)變量——取值可以一一列舉連續(xù)型隨機(jī)變量——取值不能一一列舉離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量X取有限個(gè)值或所有取值都可以逐個(gè)列舉出來(lái)X1,X2，…以確定的概率取這些不同的值離散型隨機(jī)變量的一些例子試驗(yàn)隨機(jī)變量可能的取值抽查100個(gè)產(chǎn)品一家餐館營(yíng)業(yè)一天電腦公司一個(gè)月的銷售銷售一輛汽車取到次品的個(gè)數(shù)顧客數(shù)銷售量顧客性別0,1,2,…,1000,1,2,…0,1,2,…男性為0,女性為1連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量X取無(wú)限個(gè)值所有可能取值不可以逐個(gè)列舉出來(lái)，而是取數(shù)軸上某一區(qū)間內(nèi)的任意點(diǎn)連續(xù)型隨機(jī)變量的一些例子試驗(yàn)隨機(jī)變量可能的取值抽查一批電子元件新建一座住宅樓測(cè)量一個(gè)產(chǎn)品的長(zhǎng)度使用壽命(小時(shí))半年后工程完成的百分比測(cè)量誤差(cm)X00

X100X0四、隨機(jī)變量的概率分布

1.離散型隨機(jī)變量的概率分布

2.連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度

3.分布函數(shù)不同的隨機(jī)試驗(yàn)，其樣本空間的具體構(gòu)成千差萬(wàn)別。但是，實(shí)質(zhì)上，如果把具體內(nèi)容抽象掉，將隨機(jī)事件數(shù)量化，就會(huì)發(fā)現(xiàn)許多隨機(jī)試驗(yàn)中概率的計(jì)算具有某種共同性，遵循某一種概率分布模型。只要能找到這些概率分布模型，就會(huì)為我們計(jì)算概率和研究同類隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性提供方便?！虼耍S機(jī)變量及其概率分布是描述隨機(jī)現(xiàn)象的重要工具。概率函數(shù)P(X=xi)=pi離散型概率分布的表示：1.離散型隨機(jī)變量的概率分布離散變量X的概率分布

——離散型隨機(jī)變量X的每一個(gè)可能的取值xi與其概率pi（i=1，2，3，…，n）之間所確立的對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為這個(gè)離散型隨機(jī)變量的分布。概率分布具有如下兩個(gè)基本性質(zhì)：（1）pi≥0，i=1,2,…,n；（2）X=xix1x2…xnP(X=xi)=pip1p2…pn離散型隨機(jī)變量的概率分布

（實(shí)例）【例】如規(guī)定打靶中域Ⅰ得2分，中域Ⅱ得1分，中域Ⅲ及中域外得0分。今某射手每100次射擊，平均有30次中域Ⅰ，60次中域Ⅱ，10次中Ⅲ及中域外。則考察每次射擊得分為0,1,2這一離散型隨機(jī)變量，求其概率分布。射擊得分的概率分布表示：分布圖0.60.30012xP(x)圖3-5例3-9的概率分布X=xi012P(X=xi)pi0.10.60.32.連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，我們關(guān)心的往往不是它取某個(gè)特定值的概率，而是該隨機(jī)變量落在一定區(qū)間內(nèi)的概率；連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布只能表示為：數(shù)學(xué)函數(shù)——概率密度函數(shù)f(x)和分布函數(shù)F(x)圖形——概率密度曲線和分布函數(shù)曲線概率密度函數(shù)f(x)的函數(shù)值不是概率；而x軸以上、概率密度曲線下方面積才表示概率。f(x)xab隨機(jī)變量X在一定區(qū)間（a，b）上的概率為：

什么是

概率密度?

連續(xù)數(shù)據(jù)的概率分布：表

零件尺寸的分組表按零件尺寸分組頻數(shù)（個(gè)）105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140358141064合計(jì)50頻數(shù)直方圖頻數(shù)(個(gè))1512963105110115120125130135140零件尺寸圖

零件尺寸分布頻數(shù)的直方圖問(wèn)題：曲線下面積為1嗎？連續(xù)數(shù)據(jù)的概率分布：表

零件按尺寸數(shù)據(jù)的分組表按零件尺寸分組頻數(shù)（個(gè)）頻率105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~1403581410640.060.100.160.280.200.120.08合計(jì)501頻率=頻數(shù)/總數(shù)頻率直方圖頻率

0.32

0.240.180.120.06105110115120125130135140零件尺寸圖

零件尺寸分布頻率的直方圖問(wèn)題：曲線下面積為1嗎？連續(xù)數(shù)據(jù)的概率分布：表

零件按尺寸數(shù)據(jù)的分組表按零件尺寸分組頻數(shù)（個(gè)）頻率頻率密度105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~1403581410640.060.100.160.280.200.120.080.0120.0200.0320.0560.0400.0240.016合計(jì)501-----頻率密度=頻率/組距頻率密度直方圖頻率密度

0.060

0.0480.0360.0240.012105110115120125130135140

零件尺寸圖

零件尺寸分布頻率密度的直方圖問(wèn)題：曲線下面積為1嗎？頻數(shù)直方圖—頻率直方圖—頻率密度直方圖在頻數(shù)分布直方圖中，如果按各組的頻率密度來(lái)測(cè)定各直條的高，則第i個(gè)直條的面積等于該組的頻率，所有直條的面積之和等于1。與直方圖的直條高為頻率密度相仿，曲線上某一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為隨機(jī)變量在相應(yīng)橫坐標(biāo)附近的一個(gè)狹小區(qū)間內(nèi)（在這個(gè)狹小區(qū)間的寬度趨近于零的過(guò)程中）取值概率的概率密度（即概率/區(qū)間寬度）。所以，這條曲線叫做隨機(jī)變量的（分布）密度曲線。今后可以看到，概率密度曲線可以用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)解析式來(lái)描述。我們把密度曲線以及相應(yīng)的數(shù)據(jù)解析式所表達(dá)的數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系稱作隨機(jī)變量的（分布）密度函數(shù)。密度函數(shù)刻畫了連續(xù)型隨機(jī)變量的分布規(guī)律。相對(duì)于由頻率直方圖來(lái)描述的隨機(jī)變量的經(jīng)驗(yàn)分布來(lái)講，由密度函數(shù)所刻畫的連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律稱為它的理論分布。連續(xù)型隨機(jī)變量的分布綜上所述，連續(xù)型隨機(jī)變量X的一系列取值區(qū)間和隨機(jī)變量在該區(qū)間取值的概率之間確立的對(duì)應(yīng)關(guān)系，稱作這個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布。連續(xù)型隨機(jī)變量的分布可以用密度函數(shù)來(lái)描述，隨機(jī)變量X的密度函數(shù)記作f(x)。頻數(shù)分布直方圖是用各組的頻率密度作直條的高來(lái)畫圖的。當(dāng)分組數(shù)無(wú)窮多，而組距（即直條的底邊長(zhǎng)趨近于0時(shí)，直方圖演變成平滑的曲線。這時(shí)，直條的高就成為f(x)。連續(xù)型隨機(jī)變量X在某一數(shù)值區(qū)間[a,b]

內(nèi)取值的概率等于豎立在該區(qū)間上的、以密度曲線為上底的曲邊梯形的面積。記作：概率密度f(wàn)(x)的性質(zhì)（1）f(x)≥0。概率密度是非負(fù)函數(shù)。（2）即：所有區(qū)域上取值的概率總和為1。只要滿足上述兩條性質(zhì)，即可認(rèn)為是一個(gè)概率密度。f(x)xab

隨機(jī)變量X在一定區(qū)間（a，b）上的概率為：

密度曲線是把分布加以理想化之后產(chǎn)生的圖形，對(duì)于描繪大量觀測(cè)值的時(shí)候最為有用。密度曲線的結(jié)構(gòu)是利用曲線底下的面積表示落在該區(qū)的觀測(cè)值的比例。因此，必須選擇適當(dāng)?shù)某叨?，使得曲線底下的面積恰恰是1，這樣就得到一個(gè)密度曲線。3.分布函數(shù)適用于兩類隨機(jī)變量概率分布的描述分布函數(shù)的定義：F(x)＝P{X≤x}連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)

F(x)＝f(x)xx0F(x0

)分布函數(shù)與概率密度4.隨機(jī)變量的數(shù)字特征

隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差

兩個(gè)隨機(jī)變量的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)（1）

隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望又稱均值描述一個(gè)隨機(jī)變量的概率分布的中心位置離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望：——相當(dāng)于所有可能取值以概率為權(quán)數(shù)的平均值連續(xù)型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望：數(shù)學(xué)期望的主要數(shù)學(xué)性質(zhì)若k是一常數(shù)，則

E(kX)＝kE(X)對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)變量X、Y，有

E(X+Y)＝E(X)＋E(Y)若兩個(gè)隨機(jī)變量X、Y相互獨(dú)立，則

E(XY)＝E(X)E(Y)

（2）隨機(jī)變量的方差方差是它的各個(gè)可能取值偏離其均值的離差平方的均值，記為D(x)或σ2公式：離散型隨機(jī)變量的方差：連續(xù)型隨機(jī)變量的方差：方差和標(biāo)準(zhǔn)差（續(xù)）標(biāo)準(zhǔn)差＝方差的平方根方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映隨機(jī)變量取值的分散程度。它們的值越大，說(shuō)明離散程度越大，其概率分布曲線越扁平。方差的主要數(shù)學(xué)性質(zhì)：若k是一常數(shù)，則D(k)＝0；D(kX)＝k2D(X)

若兩個(gè)隨機(jī)變量X、Y相互獨(dú)立，則

D(X+Y)＝D(X)＋D(Y)

【例3-10】試求優(yōu)質(zhì)品件數(shù)的數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。解：σ＝0.6xi012pi0.10.60.3（3）兩個(gè)隨機(jī)變量的協(xié)方差協(xié)方差的定義如果X,Y獨(dú)立（不相關(guān)），則

Cov(X,Y)＝0即E(XY)＝E(X)E(Y)

協(xié)方差在一定程度上反映了X、Y之間的相關(guān)性協(xié)方差受兩個(gè)變量本身量綱的影響。（4）兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)ρ具有如下的性質(zhì)：相關(guān)系數(shù)ρ是一個(gè)無(wú)量綱的值

0≤|ρ|≤0當(dāng)ρ=0，兩個(gè)變量不相關(guān)（不存在線性相關(guān)）當(dāng)|ρ|=1，兩個(gè)變量完全線性相關(guān)五、常見的概率分布現(xiàn)實(shí)世界中的隨機(jī)現(xiàn)象有無(wú)限多種，相應(yīng)地，隨機(jī)變量及其概率分布也無(wú)窮無(wú)盡。但在不同應(yīng)用背景下，隨機(jī)變量往往具有相同的性質(zhì)。在概率論發(fā)展的歷程中，數(shù)學(xué)家們總結(jié)出了很多概率模型，為我們解決不同類型的大量現(xiàn)實(shí)問(wèn)題提供了極大的方便。常用概率分布及其均值、方差σ2μN(yùn)(μ,σ2)NORMDIST正態(tài)分布(a+b)/2均勻分布np(p＝M/N)H(n,N,M)HYPGEOM-DIST超幾何分布λλP(λ)POISSON泊松分布p(1-p)pB(1,p)二點(diǎn)分布np(1-p)npB(n,p)BINOMDIST二項(xiàng)分布方差均值記號(hào)名稱1.二項(xiàng)試驗(yàn)

（貝努里試驗(yàn)）二項(xiàng)分布與貝努里試驗(yàn)有關(guān)貝努里試驗(yàn)具有如下屬性試驗(yàn)包含了n

個(gè)相同的試驗(yàn)每次試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果，即“成功”和“失敗”出現(xiàn)“成功”的概率p對(duì)每次試驗(yàn)結(jié)果是相同的；“失敗”的概率q也相同，且p+q=1n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的二項(xiàng)分布在n重貝努里試驗(yàn)中，“成功”的次數(shù)X服從參數(shù)為n、p的二項(xiàng)分布，記為X～B(n,p)二項(xiàng)分布的概率函數(shù)：二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差：n＝1時(shí)，二項(xiàng)分布就成了二點(diǎn)分布（0-1分布）二項(xiàng)分布圖形p＝0.5時(shí)，二項(xiàng)分布是以均值為中心對(duì)稱p≠0.5時(shí)，二項(xiàng)分布總是非對(duì)稱的p<0.5時(shí)峰值在中心的左側(cè)p>0.5時(shí)峰值在中心的右側(cè)隨著n無(wú)限增大，二項(xiàng)分布趨近于正態(tài)分布p=0.3p=0.5p=0.7二項(xiàng)分布圖示2.泊松分布（應(yīng)用背景）通常是作為稀有事件發(fā)生次數(shù)X的概率分布模型。一段時(shí)間內(nèi)某繁忙十字路口發(fā)生交通事故的次數(shù)一定時(shí)間段內(nèi)某電話交換臺(tái)接到的電話呼叫次數(shù)…服從泊松分布的現(xiàn)象的共同特征在任意兩個(gè)很小的時(shí)間或空間區(qū)間內(nèi)事件發(fā)生次數(shù)是相互獨(dú)立的；各區(qū)間內(nèi)事件發(fā)生次數(shù)只與區(qū)間長(zhǎng)度成比例，與區(qū)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)；在一段充分小的區(qū)間內(nèi)事件發(fā)生兩次或兩次以上的概率可以忽略不計(jì)泊松分布X服從泊松分布，記為X～P(λ）:E(X)=D(X)=λ當(dāng)λ很小時(shí)，泊松分布呈偏態(tài)，并隨著λ增大而趨于對(duì)稱當(dāng)λ為整數(shù)時(shí)，λ和（λ-1）是最可能值3.超幾何分布

N個(gè)單位的有限總體中有M個(gè)單位具有某特征。用不重復(fù)抽樣方法從總體中抽取n個(gè)單位，樣本中具有某種特征的單位數(shù)X服從超幾何分布，記為X～H(n,N,M)數(shù)學(xué)期望和方差:N很大而n相對(duì)很小時(shí)，趨于二項(xiàng)分布(p=M/N)4.均勻分布X只在一有限區(qū)間[a，b]上取值且概率密度是一個(gè)常數(shù)其概率密度為：X落在子區(qū)間[c，d]

內(nèi)的概率與該子區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，與具體位置無(wú)關(guān)f(x)ac

dbxP(c≤X≤d)5.正態(tài)分布X～N(μ、σ2

)，其概率密度為：正態(tài)分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差

均值E(X)=μ

方差D(X)=σ2

-∞<x<∞

正態(tài)密度曲線σ相同而μ不同的正態(tài)密度曲線

2xf(x)μ相同而σ不同的正態(tài)密度曲線f(x)σ較小σ較大x正態(tài)密度曲線的主要特性關(guān)于x=μ對(duì)稱的鐘形曲線參數(shù)μ決定正態(tài)曲線的中心位置參數(shù)σ

決定正態(tài)曲線的陡峭或扁平程度以X軸為漸近線，即當(dāng)x→±∞時(shí)，f(x)→0正態(tài)密度曲線的性質(zhì)只要給出了平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，就可以完全描述特定的正態(tài)曲線平均數(shù)決定分布的中心；標(biāo)準(zhǔn)差決定曲線的形狀：標(biāo)準(zhǔn)差就是從平均數(shù)到其左側(cè)或右側(cè)的曲率轉(zhuǎn)變點(diǎn)的距離圖6-12常用的正態(tài)概率值（在一般正態(tài)分布及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中）-3

-2

-10

+1+2+3z-3σ-2σ-σ

+σ

+2σ+3σx99.73%95.45%68.27%3σ

原則（68-95-99.7規(guī)則）圖6-12常用的正態(tài)概率值（在一般正態(tài)分布及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中）

-3

-2

-10

+1+2+3z-3σ-2σ-σ

+σ

+2σ+3σx99.73%95.45%68.27%|X－μ|>3σ的概率很小，因此可認(rèn)為正態(tài)隨機(jī)變量的取值幾乎全部集中在[μ-3σ，μ+3σ]區(qū)間內(nèi)——但要記住，沒(méi)有哪組資料是百分之百用正態(tài)分布描述的，68-95-99.7規(guī)則只是大體正確。利用正態(tài)分布做參數(shù)估計(jì)的圖示x95%的樣本-1.96x+1.96x99%的樣本-2.58x+2.58x90%的樣本-1.65x+1.65xGhiselietal.1981)在他們的研究中指出：要判斷數(shù)據(jù)是否服從正態(tài)分布主要是檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的偏度(skewness)和峰度(kurtosis)這兩個(gè)指標(biāo)，檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)如下：如果數(shù)據(jù)的均值(mean)和中位數(shù)（median)相近，且斜度小于2，峰度值小于5就可以認(rèn)為該數(shù)據(jù)滿足正態(tài)分布要求；如果峰度和斜度的絕對(duì)值都超過(guò)2，那么該樣本數(shù)據(jù)就不滿足正態(tài)分布的要求。參考：符合正態(tài)分布的判斷標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布最常用、最重要大千世界中許多常見的隨機(jī)現(xiàn)象服從或近似服從正態(tài)分布例如，測(cè)量誤差，同齡人的身高、體重，一批棉紗的抗拉強(qiáng)度，一種設(shè)備的使用壽命，農(nóng)作物的產(chǎn)量…特點(diǎn)是“中間多兩頭少”由于正態(tài)分布特有的數(shù)學(xué)性質(zhì)，正態(tài)分布在很多統(tǒng)計(jì)理論中都占有十分重要的地位正態(tài)分布是許多概率分布的極限分布，如二項(xiàng)式分布。根據(jù)中心極限定理，不論總體服從何種分布，只要其數(shù)學(xué)期望和方差存在，對(duì)這一總體進(jìn)行重復(fù)抽樣時(shí)，當(dāng)樣本量n充分大，所有樣本之和以及樣本均值就趨于正態(tài)分布。該定理為均值的抽樣推斷奠定了理論基礎(chǔ)。統(tǒng)計(jì)推斷中許多重要的分布（如χ2分布、t分布、F分布）都是在正態(tài)分布的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來(lái)的。用正態(tài)分布近似二項(xiàng)分布用正態(tài)分布近似二項(xiàng)分布的前提n很大，p不能太接近0或1（否則二項(xiàng)分布太偏）一般要求——np和np(1-p)都要大于5如果np

或np(1-p)小于5，二項(xiàng)分布可以用泊松分布來(lái)近似標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布μ＝0、σ＝1的正態(tài)分布，記為N(0,1)其概率密度φ(x)，分布函數(shù)Ф(x)X～N(μ、σ2),則：Z～N(0，1

)若Z～N(0，1

)，則有：

P（|Z|≤a）＝2Ф(a)－1Ф(-a)=1－Ф(a)標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線

-a

0aφ(z)zΦ(a)【例6-14】例6-14某廠生產(chǎn)的某種節(jié)能燈管的使用壽命服從正態(tài)分布，對(duì)某批產(chǎn)品測(cè)試的結(jié)果，平均使用壽命為1050小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差為200小時(shí)。試求：（a）使用壽命在500小時(shí)以下的燈管占多大比例？（b）使用壽命在850～1450小時(shí)的燈管占多大比例？（c）以均值為中心，95％的燈管的使用壽命在什么范圍內(nèi)？解:

X＝使用壽命，X～N(1050，2002

)＝Ф(2)－Ф(-1)＝0.97725－0.15865＝0.818695％的燈管壽命在均值左右392（即658～1442）小時(shí)＝1－Ф(2.75)＝1－0.99702＝0.00298Excel計(jì)算正態(tài)分布的概率值方法一：先標(biāo)準(zhǔn)化——查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值表方法二：利用Excel來(lái)計(jì)算首先標(biāo)準(zhǔn)化，再選擇函數(shù)“NORMSDIST”插入函數(shù)fx——選擇“統(tǒng)計(jì)”－“NORMSDIST”，進(jìn)入“函數(shù)參數(shù)”對(duì)話框中，在Z后填入正態(tài)隨機(jī)變量的Z值；計(jì)算隨機(jī)變量取值小于等于指定Z值的累積概率值。Excel計(jì)算正態(tài)分布的概率值利用Excel來(lái)計(jì)算時(shí)，也可不必標(biāo)準(zhǔn)化，此時(shí)應(yīng)利用函數(shù)“NORMDIST”插入函數(shù)fx——選擇“統(tǒng)計(jì)”－“NORMDIST”，進(jìn)入“函數(shù)參數(shù)”對(duì)話框中，在X后填入正態(tài)隨機(jī)變量的取值區(qū)間點(diǎn)；在Mean后填入正態(tài)分布的均值；在Standard_dev后填入正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差；在Cumulative后填入1(或TRUE)，表示計(jì)算隨機(jī)變量取值小于等于指定值x的累積概率值。已知隨機(jī)變量的取值x，求概率值：也可在選定的輸出單元格中，順次輸入函數(shù)名和參數(shù)值即可如輸入“=NORMDIST(500,1050,200,1)”，確定后即可得到所求概率值0.0029798。已知概率值F(X≤x)，求隨機(jī)變量取值的區(qū)間點(diǎn)x：選擇函數(shù)“NORMINV”

如輸入“=NORMINV(0.0029798,1050,200)”,顯示計(jì)算結(jié)果為500?！绻龖B(tài)分布本身已經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化，則可直接使用函數(shù)NORMSDIST和NORMSINV計(jì)算正態(tài)分布的概率值常用概率分布及其均值、方差σ2μN(yùn)(μ,σ2)NORMDIST正態(tài)分布(a+b)/2均勻分布np(p＝M/N)H(n,N,M)HYPGEOM-DIST超幾何分布λλP(λ)POISSON泊松分布p(1-p)pB(1,p)二點(diǎn)分布np(1-p)npB(n,p)BINOMDIST二項(xiàng)分布方差均值記號(hào)名稱練習(xí)題1.美國(guó)家庭日常交通費(fèi)用年平均支出為6312美元（Money,2001.8）。假定交通費(fèi)用服從正態(tài)分布。（1）若已知5%的美國(guó)家庭的日常交通費(fèi)用支出低于1000美元，求日常交通費(fèi)用支出的標(biāo)準(zhǔn)差；（2）日常交通費(fèi)用支出最高的3%家庭的年化費(fèi)有多大？2.某公司正考慮提供一項(xiàng)特殊服務(wù)合同，以負(fù)擔(dān)服務(wù)工作所要求的設(shè)備租憑的總成本。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，公司經(jīng)理估計(jì)年勞務(wù)成本近似服從正態(tài)分布，均值150元，標(biāo)準(zhǔn)差25元。（1）如果公司以每年200元的價(jià)格向客戶提供這種服務(wù)合同，則一名客戶勞務(wù)成本超過(guò)200元的合同價(jià)格概率是多少？（2）該公司每個(gè)勞務(wù)合同的期望利潤(rùn)是多少？第二節(jié)抽樣分布與中心極限定理一、抽樣分布的概念二、樣本均值的抽樣分布三、樣本比率的抽樣分布四、樣本方差的抽樣分布總體概率分布與抽樣分布:如果已知總體的概率分布，就可以直接利用前面描述統(tǒng)計(jì)的有關(guān)知識(shí)計(jì)算總體的均值和方差等參數(shù)；但是，在大多數(shù)的實(shí)踐應(yīng)用中，總體的概率分布是難以確知的，真實(shí)的總體均值和方差也是未知、需要我們進(jìn)行估計(jì)的；因此，我們必須先在總體中抽取樣本，根據(jù)抽樣分布計(jì)算樣本的統(tǒng)計(jì)量，并通過(guò)樣本統(tǒng)計(jì)量去估計(jì)總體參數(shù)?？傮w參數(shù)

樣本統(tǒng)計(jì)量平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差比例參數(shù)統(tǒng)計(jì)量xsp總體樣本樣本統(tǒng)計(jì)量本身是隨機(jī)變量樣本均值,樣本比例，樣本方差等結(jié)果來(lái)自容量相同的所有可能樣本所有樣本指標(biāo)（如均值、比例、方差等）所形成的分布稱為抽樣分布.抽樣分布是樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布，是一種理論分布即在大量重復(fù)抽樣試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，根據(jù)統(tǒng)計(jì)量取值的集合以及相應(yīng)的概率，進(jìn)而通過(guò)判斷與比較得到統(tǒng)計(jì)量的概率分布。在實(shí)際應(yīng)用中,統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布是通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)或在計(jì)算機(jī)上利用程序進(jìn)行模擬而得到的.提供了樣本統(tǒng)計(jì)量長(zhǎng)遠(yuǎn)而穩(wěn)定的信息，是進(jìn)行推斷的理論基礎(chǔ)，也是抽樣推斷科學(xué)性的重要依據(jù)

一、抽樣分布

(samplingdistribution)抽樣分布的形成過(guò)程

(samplingdistribution)總體計(jì)算樣本統(tǒng)計(jì)量如：樣本均值、比例、方差樣本樣本均值x是推斷總體均值

的理論基礎(chǔ)。樣本均值x的抽樣分布的形式與原有總體的分布和樣本容量n

有關(guān)。如果原有總體是正態(tài)分布，則無(wú)論樣本容量大小，樣本均值的抽樣分布都服從正態(tài)分布；如果原有總體的分布是非正態(tài)分布，就要看樣本容量的大小了。隨著樣本容量n的增大（通常要求n>30），樣本均值的抽樣分布將趨于正態(tài)分布；在樣本均值的抽樣分布符合正態(tài)分布條件時(shí)，樣本均值的數(shù)學(xué)期望為總體均值，方差為總體方差的

1/n。

——（中心極限定理）二、樣本均值的抽樣分布樣本均值的抽樣分布

（一個(gè)例子）【例】設(shè)一個(gè)總體，含有4個(gè)元素（個(gè)體），即總體單位數(shù)N=4。4個(gè)個(gè)體分別為X1=1、X2=2、X3=3、X4=4。總體的均值、方差及分布如下均值和方差總體分布14230.1.2.3樣本均值的抽樣分布

（一個(gè)例子）

現(xiàn)從總體中抽取n＝2的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，在重復(fù)抽樣條件下，共有42=16個(gè)樣本。所有樣本的結(jié)果如下表3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二個(gè)觀察值第一個(gè)觀察值所有可能的n=2的樣本（共16個(gè)）樣本均值的抽樣分布

（一個(gè)例子）計(jì)算出各樣本的均值，如下表。并給出樣本均值的抽樣分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二個(gè)觀察值第一個(gè)觀察值16個(gè)樣本的均值（x）樣本均值的抽樣分布1.00.1.2.3P(x)1.53.04.03.52.02.5x所有樣本均值的均值和方差式中：M為樣本數(shù)目比較及結(jié)論：1.樣本均值的均值（數(shù)學(xué)期望）等于總體均值

2.樣本均值的方差等于總體方差的1/n樣本均值的分布與總體分布的比較抽樣分布=2.5σ2=1.25總體分布14230.1.2.3P(x)1.00.1.2.31.53.04.03.52.02.5x樣本均值的抽樣分布

與中心極限定理=50

=10X總體分布n=4抽樣分布Xn=16當(dāng)總體服從正態(tài)分布N~(μ,σ2)時(shí)，來(lái)自該總體的所有容量為n的樣本的均值X也服從正態(tài)分布，X

的數(shù)學(xué)期望為μ，方差為σ2/n。即X～N(μ,σ2/n)中心極限定理

(centrallimittheorem)當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)(n

30)，樣本均值的抽樣分布逐漸趨于正態(tài)分布中心極限定理：設(shè)從均值為，方差為

2的一個(gè)任意總體中抽取容量為n的樣本，當(dāng)n充分大時(shí)，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為μ、方差為σ2/n的正態(tài)分布一個(gè)任意分布的總體