高中數(shù)學(xué)北師大版第三章三角恒等變形 第三章章末測試

第三章章末測試時(shí)間：90分鐘分值：100分一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知sinα＝eq\f(3,5)且α∈(eq\f(π,2)，π)，則tanα的值為()A．－eq\f(4,5)\f(3,4)C．－eq\f(3,4)\f(4,3)答案：C解析：∵α∈(eq\f(π,2)，π)，由同角基本關(guān)系易知cosα＝－eq\f(4,5).tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(3,4).2．若cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限的角，則sin(α＋eq\f(π,4))的值為()A．－eq\f(7\r(2),10)\f(7\r(2),10)C．－eq\f(\r(2),10)\f(\r(2),10)答案：A解析：由題知，cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限的角，所以sinα＝－eq\f(3,5)，由兩角和的正弦公式可得sin(α＋eq\f(π,4))＝sinαcoseq\f(π,4)＋cosαsineq\f(π,4)＝(－eq\f(3,5))×eq\f(\r(2),2)＋(－eq\f(4,5))×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(7\r(2),10)，故選A.3．若cosθ＝－eq\f(4,5)，θ是第三象限的角，則eq\f(1－tan\f(θ,2),1＋tan\f(θ,2))＝()\f(1,2)B．－eq\f(1,2)\f(3,5)D．－2答案：D解析：由已知得eq\f(1－tan\f(θ,2),1＋tan\f(θ,2))＝eq\f(cos\f(θ,2)－sin\f(θ,2),cos\f(θ,2)＋sin\f(θ,2))＝eq\f(cos\f(θ,2)－sin\f(θ,2)cos\f(θ,2)＋sin\f(θ,2),cos\f(θ,2)＋sin\f(θ,2)2)＝eq\f(cosθ,1＋sinθ)，因?yàn)閏osθ＝－eq\f(4,5)，且θ是第三象限的角，故sinθ＝－eq\f(3,5)，故eq\f(1－tan\f(θ,2),1＋tan\f(θ,2))＝eq\f(－\f(4,5),1－\f(3,5))＝－2.4．已知cosθ＝eq\f(1,3)，θ∈(0，π)，則cos(eq\f(3,2)π＋2θ)的值為()A．－eq\f(4\r(2),9)B．－eq\f(7,9)\f(4\r(2),9)\f(7,9)答案：C解析：∵cosθ＝eq\f(1,3)，θ∈(0，π)∴sinθ＝eq\f(2\r(2),3)cos(eq\f(3π,2)＋2θ)＝sin2θ＝2sinθcosθ＝2×eq\f(2\r(2),3)×eq\f(1,3)＝eq\f(4\r(2),9).5．設(shè)α，β∈(0，eq\f(π,2))，tanα＝eq\f(4,3)，tanβ＝eq\f(1,7)，則α－β等于()\f(π,3)\f(π,4)\f(π,6)\f(π,8)答案：B解析：∵tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(\f(4,3)－\f(1,7),1＋\f(4,3)×\f(1,7))＝1，α，β∈(0，eq\f(π,2))，∴－eq\f(π,2)＜α－β＜eq\f(π,2)，∴α－β＝eq\f(π,4).6．當(dāng)x∈[－eq\f(π,6)，eq\f(π,3)]時(shí)，y＝eq\f(tan\f(x,2),1－tan2\f(x,2))的最小值為()A．－eq\f(\r(3),3)B．－eq\f(\r(3),6)C．－eq\f(2\r(3),3)D．－eq\f(\r(3),2)答案：B解析：∵y＝eq\f(tan\f(x,2),1－tan2\f(x,2))＝eq\f(1,2)tanx，∴當(dāng)x＝－eq\f(π,6)時(shí)，ymin＝－eq\f(\r(3),6).7．若sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝m，且β為第三象限角，則cosβ的值為()\r(1－m2)B．－eq\r(1－m2)\r(m2－1)D．－eq\r(m2－1)答案：B解析：∵sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝m，∴sin(－β)＝m，sinβ＝－m，又∵β為第三象限角，∴cosβ＝－eq\r(1－m2).8．已知tan(α＋β)＝eq\f(2,5)，tan(β－eq\f(π,4))＝eq\f(1,4)，則tan(α＋eq\f(π,4))等于()\f(1,6)\f(13,22)\f(3,22)\f(13,18)答案：C解析：tan(α＋eq\f(π,4))＝tan[(α＋β)－(β－eq\f(π,4))]＝eq\f(tanα＋β－tanβ－\f(π,4),1＋tanα＋βtanβ－\f(π,4))＝eq\f(3,22).9．要得到y(tǒng)＝2sin2x的圖像，只需將函數(shù)y＝sin2x＋eq\r(3)cos2x的圖像()A．向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位B．向右平移eq\f(π,3)個(gè)單位C．向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位D．向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位答案：D解析：y＝sin2x＋eq\r(3)cos2x＝2(eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(\r(3),2)cos2x)＝2sin(2x＋eq\f(π,3))而y＝2sin2x＝2sin[2(x－eq\f(π,6))＋eq\f(π,3)]∴只需將圖像向右平移eq\f(π,6)，故選D.10．如圖，在5個(gè)并排的正方形圖案中作出一個(gè)∠AOnB＝135°(n＝1,2,3,4,5,6)，則n＝()A．1,6B．2,5C．3,4D．2,3,4,5答案：C解析：若n＝1或n＝6，顯然∠AOnB<90°，若n＝2，則有∠AO2O1＝45°，∠BO2O6<45°，∴∠AOnB>135°，根據(jù)對(duì)稱性可知，若n＝5，∠AOnB>135°，若n＝3，則有tan(∠AO3O1＋∠BO3O6)＝eq\f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)·\f(1,3))＝1，又∵∠AO3O1，∠BO3O6∈(0,45°)，∴∠AO3O1＋∠BO3O6＝45°，∴∠AO3B＝135°，同理根據(jù)對(duì)稱性有∠AO4B＝135°.二、填空題：本大題共3小題，每小題4分，共12分．把答案填入題中橫線上．11．已知cosα＝eq\f(3,5)，且α∈(eq\f(3π,2)，2π)，則cos(α－eq\f(π,3))＝________.答案：eq\f(3－4\r(3),10)解析：∵cosα＝eq\f(3,5)，α∈(eq\f(3,2)π，2π)，∴sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－\f(3,5)2)＝－eq\f(4,5)，∴cos(α－eq\f(π,3))＝cosαcoseq\f(π,3)＋sinαsineq\f(π,3)＝eq\f(3,5)×eq\f(1,2)－eq\f(4,5)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3－4\r(3),10).12．函數(shù)f(x)＝sineq\f(2,3)x＋coseq\f(2,3)x的圖像相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離是________．答案：eq\f(3π,2)解析：∵f(x)＝sineq\f(2,3)x＋coseq\f(2,3)x＝eq\r(2)sin(eq\f(2,3)x＋eq\f(π,4))，∴其相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離是eq\f(T,2)＝eq\f(3π,2).13．如圖，四邊形ABCD為矩形，且AB＝2，AD＝1，延長BA至E，使AE＝2，連接EC、ED，則tan∠CED＝________.答案：eq\f(2,9)解析：由題意可知，tan∠DEB＝eq\f(1,2)，tan∠CEB＝eq\f(1,4)，∴tan∠CED＝tan(∠DEB－∠CEB)＝eq\f(tan∠DEB－tan∠CEB,1＋tan∠DEB·tan∠CEB)＝eq\f(2,9).三、解答題：本大題共5小題，共48分，其中第14小題8分，第15～18小題各10分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．14．化簡求值：eq\f(sin47°－sin17°cos30°,sin73°).解：原式＝eq\f(sin30°＋17°－sin17°cos30°,cos17°)＝eq\f(sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°,cos17°)＝eq\f(sin30°cos17°,cos17°)＝sin30°＝eq\f(1,2).15．已知α∈(0，eq\f(π,4))，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝eq\f(1,2)，tanβ＝－eq\f(1,7)，求2α－β.解：∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝eq\f(\f(1,2)－\f(1,7),1－\f(1,2)×－\f(1,7))＝eq\f(1,3)，∴tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝eq\f(\f(1,3)＋\f(1,2),1－\f(1,3)×\f(1,2))＝1.又∵β∈(0，π)，tanβ＝－eq\f(1,7)，∴eq\f(π,2)＜β＜π，又α∈(0，eq\f(π,4))，∴－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－eq\f(3π,4).16．如圖，設(shè)A是單位圓和x軸正半軸的交點(diǎn)，P、Q是單位圓上的兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，∠AOP＝eq\f(π,6)，∠AOQ＝α，α∈[0，π)．(1)若Q(eq\f(3,5)，eq\f(4,5))，求cos(α－eq\f(π,6))的值；(2)設(shè)函數(shù)f(α)＝eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))，求f(α)的值域．解：(1)由已知可得cosα＝eq\f(3,5)，sinα＝eq\f(4,5).∴cos(α－eq\f(π,6))＝cosαcoseq\f(π,6)＋sinαsineq\f(π,6)＝eq\f(3,5)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(4,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(3\r(3)＋4,10).(2)f(α)＝eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(coseq\f(π,6)，sineq\f(π,6))·(cosα，sinα)＝eq\f(\r(3),2)cosα＋eq\f(1,2)sinα＝sin(α＋eq\f(π,3))．∵α∈[0，π)，∴α＋eq\f(π,3)∈[eq\f(π,3)，eq\f(4π,3))，－eq\f(\r(3),2)<sin(α＋eq\f(π,3))≤1.∴f(α)的值域是(－eq\f(\r(3),2)，1]．17．已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2)．(1)若a∥b，求tanθ的值；(2)若|a|＝|b|,0＜θ＜π，求θ的值．解：(1)因?yàn)閍∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝eq\f(1,4).(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5.從而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin(2θ＋eq\f(π,4))＝－eq\f(\r(2),2).又由0＜θ＜π知，eq\f(π,4)＜2θ＋eq\f(π,4)＜eq\f(9π,4)，所以2θ＋eq\f(π,4)＝eq\f(5π,4)或2θ＋eq\f(π,4)＝eq\f(7π,4).因此θ＝eq\f(π,2)或θ＝eq\f(3π,4).18．已知函數(shù)f(x)＝cos2(x＋eq\f(π,12))，g(x)＝1＋eq\f(1,2)sin2x.(1)設(shè)x＝x0是函數(shù)y＝f(x)圖像的一條對(duì)稱軸，求g(x0)的值；(2)求函數(shù)h(x)＝f(x)＋g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．解：(1)由題設(shè)知f(x)＝eq\f(1,2)[1＋cos(2x＋eq\f(π,6))]．因?yàn)閤＝x0是函數(shù)y＝f(x)圖像的一條對(duì)稱軸，所以2x0＋eq\f(π,6)＝kπ(k∈Z)，即2x0＝kπ－eq\f(π,6)(k∈Z)．所以g(x0)＝1＋eq\f(1,2)sin2x0＝1＋eq\f(1,2)sin(kπ－eq\f(π,6))．當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，g(x0)＝1＋eq\f(1,2)sin(－eq\f(π,6))＝eq\f(3,4)；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，g(x0)＝1＋eq\f(1,2)sineq\f(π,6)＝eq\f(5,4).(2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝eq\f(1,2)[1＋cos(2x＋eq\f(π,6))]＋1＋eq\f(1,2)sin2x＝eq\f(1,2)[cos(2x＋eq\f(π,6))＋sin2x]＋eq\f(3