高中數(shù)學(xué)人教B版第三章概率3．4概率的應(yīng)用 2023版第3章概率的應(yīng)用

概率的應(yīng)用1.通過(guò)實(shí)例進(jìn)一步理解概率的意義及應(yīng)用.(重點(diǎn))2.能用概率的知識(shí)解決實(shí)際生活中的問(wèn)題.(難點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理概率的應(yīng)用閱讀教材P116～P117，完成下列問(wèn)題.概率是描述隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量，它已經(jīng)滲透到人們的日常生活中，成為一個(gè)常用的詞匯，任何事件的概率是0～1之間的一個(gè)數(shù)，它度量該事件發(fā)生的可能性.小概率事件(概率接近0)很少發(fā)生，而大概率事件(概率接近1)則經(jīng)常發(fā)生.1.判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)事件A發(fā)生的概率很小時(shí)，該事件為不可能事件.()(2)某醫(yī)院治愈某種病的概率為，則10個(gè)人去治療，一定有8人能治愈.()(3)平時(shí)的多次比賽中，小明獲勝的次數(shù)比小華的高，所以這次比賽應(yīng)選小明參加.()【答案】(1)×(2)×(3)√2.已知某人在投籃時(shí)投中的概率為50%，則下列說(shuō)法正確的是()A.若他投100次，一定有50次投中B.若他投一次，一定投中C.他投一次投中的可能性大小為50%D.以上說(shuō)法均錯(cuò)【解析】概率是指一件事情發(fā)生的可能性大小.【答案】C3.若在同等條件下進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)得到某個(gè)事件A發(fā)生的頻率f(n)，則隨著n的逐漸增加，有()(n)與某個(gè)常數(shù)相等(n)與某個(gè)常數(shù)的差逐漸減小(n)與某個(gè)常數(shù)差的絕對(duì)值逐漸減小(n)在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)并趨于穩(wěn)定【解析】隨著n的增大，頻率f(n)會(huì)在概率附近擺動(dòng)并趨于穩(wěn)定，這也是頻率與概率的關(guān)系.【答案】D4.事件A發(fā)生的概率是eq\f(3,5)，則eq\f(3,5)表示的________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00732099】【解析】根據(jù)概率的含義知eq\f(3,5)表示的是事件A發(fā)生的可能性大小.【答案】事件A發(fā)生的可能性的大小概率在密碼中的應(yīng)用為了保證信息安全傳輸，有一種稱為密鑰的密碼系統(tǒng)(Private-KeyCryptosystem)，其加密、解密原理如下：明文eq\o(→,\s\up14(加密密鑰))密文eq\o(→,\s\up14(解密密鑰))明文.設(shè)加密密鑰為y＝ax＋1，明文“3”通過(guò)加密后得到密文“16”，接收方收到密文后，通過(guò)解密密鑰解密得到明文“3”.(1)若接收方接到密文為“64”，則解密后的明文是多少？(2)若用數(shù)字1,2,3，…分別表示A，B，C，…(字母表中的順序)，且在英文常用文章中字母“E”(即5)出現(xiàn)的概率為%，則上述密碼系統(tǒng)中，其對(duì)應(yīng)的密文出現(xiàn)的概率是多少？【精彩點(diǎn)撥】(1)由條件給出的信息可得16＝a3＋1，即求出a后，可解決.(2)利用明文與密文之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系結(jié)合條件給出判斷.【嘗試解答】由題意知，16＝a3＋1，解得a＝2.(1)由64＝2x＋1，得x＝5，所以解密后的明文是“5”.(2)因?yàn)槊魑呐c密文之間是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以其對(duì)應(yīng)密文出現(xiàn)的概率也是%.密碼技術(shù)在軍事、政治、經(jīng)濟(jì)方面有著廣泛的用途.為了使密碼設(shè)計(jì)更難破譯，人們發(fā)明了許多反破譯的方法，利用隨機(jī)序列就是一種極為重要的方法，其原理是：利用取值在1到26之間的整數(shù)值隨機(jī)數(shù)序列，使每個(gè)字母出現(xiàn)在密碼中的概率都相等.[再練一題]1.現(xiàn)代社會(huì)對(duì)破譯密碼的要求越來(lái)越高，有一種密碼把英文的明文(真實(shí)文)按字母分解，其中英文的a，b，c，…，z的26個(gè)字母(不論大小寫)依次對(duì)應(yīng)1,2,3，…，26，這26個(gè)自然數(shù)，見表格：abcdefghijklm12345678910111213nopqrstuvwxyz14151617181920212223242526給出下列一個(gè)變換公式：x′＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,2)，x∈N，1≤x≤26，x不能被2整除.,\f(x,2)＋13，x∈N，1≤x≤26，x能被2整除.))將明文轉(zhuǎn)換成密文，如8→eq\f(8,2)＋13＝17，即h變成q；5→eq\f(5＋1,2)＝3，即e變成c.(1)按上述規(guī)定，將明文good譯成密文是()(2)按上述規(guī)定，若將某明文譯成的密文是shxc，那么原來(lái)的明文是()【解析】(1)g→7→eq\f(7＋1,2)＝4→d，o→15→eq\f(15＋1,2)＝8→h，d→4→eq\f(4,2)＋13＝15→o，故明文good的密文是dhho.(2)逆變換公式為x＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x′－1，x′∈N，1≤x′≤13，,2x′－26，x′∈N，14≤x′≤26，))則s→19→2×19－26＝12→l，h→8→2×8－1＝15→o，x→24→2×24－26＝22→v，c→3→2×3－1＝5→e，故密文shxc的明文是love.【答案】(1)C(2)C社會(huì)調(diào)查問(wèn)題深夜，某市某路段發(fā)生一起出租車交通事故.該市有兩家出租車公司，紅色出租車公司和藍(lán)色出租車公司，其中紅色出租車公司和藍(lán)色出租車公司的出租車分別占整個(gè)城市出租車的15%和85%.據(jù)現(xiàn)場(chǎng)目擊證人說(shuō)，事故現(xiàn)場(chǎng)的出租車是紅色的，并對(duì)現(xiàn)場(chǎng)目擊證人的辨別能力做了測(cè)試，測(cè)得他辨認(rèn)的正確率為80%，于是警察就認(rèn)定紅色出租車具有較大嫌疑.你覺得警察這樣的認(rèn)定公平嗎？【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00732100】【精彩點(diǎn)撥】利用條件給出的信息可將真實(shí)顏色與證人眼中的顏色列表分析.【嘗試解答】設(shè)該市的出租車有1000輛，那么依題意可得如下信息：證人眼中的顏色(正確率80%)真實(shí)顏色實(shí)際數(shù)據(jù)藍(lán)色紅色藍(lán)色(85%)850680170紅色(15%)15030120合計(jì)1000710290從表中可以看出，當(dāng)證人說(shuō)出租車是紅色時(shí)，確定它是紅色的概率為eq\f(120,290)≈，而它是藍(lán)色的概率為eq\f(170,290)≈.在實(shí)際數(shù)據(jù)面前，警察僅以目擊證人的證詞作為推斷的依據(jù)對(duì)紅色出租車公司顯然是不公平的.社會(huì)調(diào)查人員希望從人群的隨機(jī)抽樣調(diào)查中得到對(duì)他們所提問(wèn)題誠(chéng)實(shí)的回答.但是被采訪者常常不愿意如實(shí)地作出應(yīng)答.1965年StanleyL.Warner發(fā)明了一種應(yīng)用概率知識(shí)來(lái)消除這種不愿意情緒的方法.Warner的隨機(jī)化應(yīng)答方法要求人們隨機(jī)地回答所提兩個(gè)問(wèn)題中的一個(gè)，而不必告訴采訪者回答的是哪個(gè)問(wèn)題.兩個(gè)問(wèn)題中有一個(gè)是敏感的或者是令人為難的；另一個(gè)問(wèn)題是無(wú)關(guān)緊要的.這樣應(yīng)答者將樂意如實(shí)地回答問(wèn)題，因?yàn)橹挥兴雷约夯卮鸬氖悄膫€(gè)問(wèn)題.[再練一題]2.某地政府準(zhǔn)備對(duì)當(dāng)?shù)氐霓r(nóng)村產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整，為此政府進(jìn)行了一次民意調(diào)查.100個(gè)人接受了調(diào)查，他們被要求在“贊成調(diào)整”“反對(duì)調(diào)整”“對(duì)這次調(diào)查不發(fā)表看法”中任選一項(xiàng)，調(diào)查結(jié)果如下表：男女合計(jì)贊成調(diào)整18927反對(duì)調(diào)整122537對(duì)這次調(diào)查不發(fā)表看法201636合計(jì)5050100隨機(jī)選取一個(gè)被調(diào)查者，他對(duì)這次調(diào)整表示反對(duì)或不發(fā)表看法的概率是多少？【解】用A表示事件“對(duì)這次調(diào)整表示反對(duì)”，B表示事件“對(duì)這次調(diào)整不發(fā)表看法”，則A和B是互斥事件，并且A∪B就表示事件“對(duì)這次調(diào)整表示反對(duì)或不發(fā)表看法”.由互斥事件的概率加法公式，得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(37,100)＋eq\f(36,100)＝.總體估計(jì)為了估計(jì)某自然保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量，可以使用以下方法：先從該保護(hù)區(qū)中捕出一定數(shù)量的天鵝，例如200只，給每只天鵝做上記號(hào)，不影響其存活，然后放回保護(hù)區(qū)，經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)臅r(shí)間，讓其和保護(hù)區(qū)中其余的天鵝充分混合，再?gòu)谋Ｗo(hù)區(qū)中捕出一定數(shù)量的天鵝，例如150只，查看其中有記號(hào)的天鵝，設(shè)有20只，試根據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計(jì)該自然保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量.【精彩點(diǎn)撥】利用古典概型的特征，等可能性可估計(jì).【嘗試解答】設(shè)保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量約為n，假定每只天鵝被捕到的可能性是相等的，從保護(hù)區(qū)中任捕一只，設(shè)事件A＝{帶有記號(hào)的天鵝}，則P(A)＝eq\f(200,n). ①第二次從保護(hù)區(qū)中捕出150只天鵝，其中有20只帶有記號(hào)，由概率的統(tǒng)計(jì)定義可知P(A)＝eq\f(20,150). ②由①②兩式，得eq\f(200,n)＝eq\f(20,150)，解得n＝1500，所以該自然保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量約為1500只.用古典概型概率的觀點(diǎn)求隨機(jī)事件的概率時(shí)，首先對(duì)于在試驗(yàn)中出現(xiàn)的結(jié)果的可能性認(rèn)為是相等的，其次是通過(guò)一個(gè)比值的計(jì)算來(lái)確定隨機(jī)事件的概率.[再練一題]3.山東三吉鋼木家具廠為某游泳比賽場(chǎng)館生產(chǎn)觀眾座椅.質(zhì)檢人員對(duì)該廠所產(chǎn)2500套座椅進(jìn)行抽檢，共抽檢了100套，發(fā)現(xiàn)有5套次品，試問(wèn)該廠所產(chǎn)2500套座椅中大約有多少套次品？【解】設(shè)有n套次品，由概率的統(tǒng)計(jì)定義可知eq\f(n,2500)≈eq\f(5,100)，解得n≈125.所以該廠所產(chǎn)2500套座椅中大約有125套次品.1.從一群游戲的小孩中抽出k人，一人分一個(gè)蘋果，讓他們返回繼續(xù)游戲，一會(huì)兒后，再?gòu)闹腥稳人，發(fā)現(xiàn)其中有n個(gè)小孩曾分過(guò)蘋果，估計(jì)一共有小孩()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k·\f(n,m)))人\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k·\f(m,n)))人C.(k＋m－n)人\f(1,2)(k＋m－n)人【解析】設(shè)一共有x個(gè)小孩，根據(jù)概率的意義，有eq\f(n,m)＝eq\f(k,x)，所以x＝eq\f(km,n)人.【答案】B2.據(jù)人口普查統(tǒng)計(jì)，育齡婦女生男生女是等可能的，如果允許生育二胎，則某一育齡婦女兩胎均是女孩的概率是()\f(1,2)\f(1,3)\f(1,4)\f(1,5)【解析】所含的基本事件總數(shù)為4，分別為(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，∴兩胎均是女孩的概率為eq\f(1,4).【答案】C3.在所有的兩位數(shù)10～99中，任取一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)能被2或3整除的概率為()\f(5,6)\f(4,5)\f(2,3)\f(1,2)【解析】10～99中有90個(gè)兩位數(shù)，這些兩位數(shù)中，偶數(shù)有45個(gè)，10～99中有30個(gè)能被3整除的數(shù)，其中奇數(shù)有30÷2＝15(個(gè))，∴所求的概率為eq\f(45＋15,90)＝eq\f(2,3).【答案】C4.電腦“掃雷”游戲的操作面被平均分成480塊，其中有99塊埋有地雷，現(xiàn)在操作面上任意點(diǎn)擊一下，碰到地雷的概率為________.【解析】由古典概型的概率公式可得碰到地雷的概率為eq\f(99,480)＝eq\f(33,160).【答案】eq\f(33,160)5.中央電視臺(tái)“幸運(yùn)52”欄目中的“百寶箱”互動(dòng)環(huán)節(jié)，是一種競(jìng)猜游戲，游戲規(guī)則如下：在20個(gè)商標(biāo)牌中，