7.3 離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征(精練)

離型機(jī)量數(shù)特（練【組分布均與差1吉林長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)若隨機(jī)變?chǔ)蔚姆植剂校害蜳

10.4

20.3

40.3那么E+4)等于（）A．15

B．11C．2.2D【答案】【解析】由已知，得Eξ=1×0.4+2×0.3+4×0.3=2.2，∴(5ξ+4)=5(ξ)+4=5×2.2+4=15.故：2全國(guó)高二單元測(cè)試）ξ的分布列為ξ

1

234P

1又設(shè)η＝2＋5，則()等于（）A．

B．

C．

D．

【答案】【解析E()＝1×

11＋2×＋3×＋4×＝所E()＝(2＋5)＝2(ξ)＋5＝2×＋5＝636.故選：3全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）

，則隨機(jī)變量X的布列是X

0

a

1則當(dāng)a）A．

增大B

減小

22222222C．

先增大后減小

D．

先減小后增大【答案】【解析】由分布列得

(X)

，1121則DX)，3332則當(dāng)在(0,1)內(nèi)大時(shí)，

D(X)

先減小后增.故選：4江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)二期中）甲、乙兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員射擊命中環(huán)、的分布列如下表．表中射擊比較穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)員是()環(huán)數(shù)Pξ)Pη)

80.30.2

90.20.4

100.50.4A．甲C．一樣

B．乙D．無(wú)法比較【答案】【解析E(ξ＝9.2E()＝9.2所()＝()D(ξ＝0.76D(η＝0.56<()所乙穩(wěn)定．5選全高二單測(cè)試）已知X的分布列為X

－101P

a

則下列說(shuō)法正確的有（）A．P(＝0)

B．()＝－

C．D()【答案】ABD【解析】由分布列的性質(zhì)可知∴(＝0)＝，故A正；

D．(＞－1)＝1，即a.

12

222222E(X)＝

(

13

，故B正；11D(X)＝1，故C錯(cuò)；33P(X＞＝(X＝0)P(＝1)故選：

12

，故正．6選全高二單測(cè)試）已知＜＜

，隨機(jī)變量ξ的分布列如下．ξ

－10

1P

－a

a當(dāng)增時(shí)）A．E(ξ增大【答案】AD【解析】＜＜

B．ξ)小C．(ξ減D．D()增大，由隨機(jī)變量的分布列，得：()＝－，∴當(dāng)a增大，)增大；D(ξ)＝

×

＋

3557(0)×()＋(1)×＝－a＋a＋＝()＋，44∵0<<

，∴當(dāng)a大時(shí)(ξ)增大．故選：AD.7選山東寧市·高二期末）已知隨機(jī)變量的分布列如下，且確的是（）123

，則下列說(shuō)法正P

A．

，n

B．m

，C．

D

D．

D

【答案】BC【解析】依題意

E

mn

，

所以

n結(jié)合

1m，得m3

，所以B選正.

X

12233

，所以C選正.故選：8高二課時(shí)練習(xí)隨變量的布列如下表_____________.

()

p________DX

02

【答案】

12

41【解析】因?yàn)閜

，所以.因?yàn)?/p>

()

，所以

E(X)

23

，a.D(X)(0

2

2)

.故

)4

.故答案為：

12

，49北京房山區(qū)·高二期）設(shè)隨機(jī)變布列為：

0

1

2則m；機(jī)變量學(xué)期望【答案】

E

____.【解析】因?yàn)楦怕手偷扔诩?/p>

1，得：，36所以

E

13

，2故答案為：；.3

PXPX10肅白銀市隨變量的布列為

k

1,2,3,4

a為常數(shù)

________．【答案】【解析】因?yàn)?/p>

，所以

，所以

1234

，故

．故答案為：11四川樂(lè)山市）已知機(jī)變量分布列如下表所示，且則E

)

________.

01

12

【答案】【解析】

因?yàn)?/p>

所

故答案為：12安徽省六安中學(xué)高期末（理）知的分布列

01

12

且aX

，

，則【答案】【解析】

1()63

,且，()

，

即

a

，解得a，故答案為：13湖南衡陽(yáng)市八中高期末）已知隨機(jī)變量的布列如下：X

013P

12

若隨機(jī)變量Y滿足

Y

，則的差

___________.【答案】【解析】由分布列的性質(zhì)可知，

1，所以a，261所以數(shù)學(xué)期望()

，方差()(0

1126

，因?yàn)?/p>

Y

，所以D)D(，故答案為：．【組實(shí)際用的布與值1浙金華市·高三期）一個(gè)盒子里2個(gè)黑球和3個(gè)白現(xiàn)盒子里隨機(jī)每次取出1球，每個(gè)球被取出的可能性相等，取出后不放回，直到某種顏色的球全部取出．設(shè)取出黑球的個(gè)則P

__________，

E

__________．【答案】

【解析】，

表示取球次，次白球，則

6135

，

表示取球次，次白球，前次有1次黑球，則

35

，

11P

C1A333A5

，

105

，故

E

.故答案為：

，.22江蘇通市·高三期末十一”是指每年的11月日，一些電子商務(wù)為代表，在全國(guó)范圍內(nèi)興起的大型購(gòu)物促銷狂歡.某商家在去年的“雙十一”中開(kāi)展促銷活動(dòng)：凡購(gòu)物滿元顧客會(huì)隨機(jī)獲得，，三贈(zèng)品中的一件，現(xiàn)恰有3名顧客的購(gòu)物金額滿5888元設(shè)隨機(jī)變量X表示得贈(zèng)品完全相同的顧客人數(shù)，則【答案】

P

_________________，

E

____________.62【解析】327279922X93

53故答案為：

；.3全國(guó)二課時(shí)練習(xí)）一個(gè)袋子內(nèi)裝有若干個(gè)黑球3個(gè)白、個(gè)球（所有的球除顏色外其他均相同中次性任取2個(gè)，每取得一個(gè)黑球得分，取得一個(gè)白球得1分，取得一個(gè)紅球得2分，用隨機(jī)變量示取2個(gè)球總得分，已知得0分的率為（1求袋子內(nèi)黑球的個(gè)數(shù)；（2求分布列與均值．

．【答案）有4個(gè)黑球）布列見(jiàn)解析，

.

【解析內(nèi)黑球的個(gè)數(shù)為條件知得個(gè)黑球時(shí)得0分為

P(

0)

C21nC26n

，化簡(jiǎn)得2n0，解得4或（2的所有可能取為0,1,2,3,4，

（舍去袋子內(nèi)有4個(gè)球

，

C14C239

，P(2)

C2C13C29

，P(

3)

C1C123C29

，

C22C29

，

的分布列為

01234P

1)3

．4全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽，假設(shè)每局甲獲勝的概率為，獲勝的概率為結(jié)果相互獨(dú)立.（1求甲在4局內(nèi)（含4局贏得比賽的概率；（2記X為賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）.

，各局比賽【答案）

）.【解析用表示“甲在4局內(nèi)（含4局贏得比賽表示“第局獲勝B表“第k局k

2222乙獲勝”則

(A)

1，(B),3

.PAAA)1123134(A)P()P(A)P(P(AA)1123142156.33（2X的能取值為.X(AA)(B)P)P(12211

2113

，P(3)A)P(A))P(B12112322213

，P(4)(AA)(A)P(BP(AP(AB)PAP(B)PB123414134234121233(X5)(X(3)(4)故X的布列為

.X

23

4

5P

1081

所以

.5海林市）某產(chǎn)品有4件正和次品混在了一,現(xiàn)要把這2件品找出,為此每隨機(jī)抽取1件行測(cè)試,測(cè)試后不放,至次品全部被找出為.(1)求“第次第2次抽到次品”的概(2)設(shè)所要測(cè)試的次數(shù)為隨機(jī)變X,X的布列和數(shù)學(xué)期.

【答案）

）解析【解析】(1)設(shè)“第1次和第2都抽到次品”為事件A則()==.(2)X的有能取值為2,3,4,5.P(X=2)=,PX=3)=

=,P(=4)=+

=,P(X=5)=+X的分列為

=.X

2

345P因此,()=2×+3×+5×=.【組均值差決】1全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）甲、乙兩家燈泡廠生產(chǎn)的燈泡壽命表1X(單：小時(shí)和Y的布列分別如表1和表2所示：XP

9000.1

10000.8

11000.1YP

9500.3

10000.4

10500.3試問(wèn)哪家工廠生產(chǎn)的燈泡質(zhì)量較好？【答案】乙廠生產(chǎn)的燈泡質(zhì)量較.【解析】由期望的定義，得E(X)＋1000×0.8＋1＝1000E(Y)＋1000×0.4＋1＝1000.兩家燈泡廠生產(chǎn)的燈泡壽命的期望值相等，需進(jìn)一步考查哪家工廠燈泡的質(zhì)量比較穩(wěn)定，即比其方差．由方差的定義，得D(X)－1000)×0.1＋(1000－12×0.8＋(1100000)2×0.1＝2000，D(Y)－1000)

×0.3＋(1000－1000)×0.4＋(1050－1000)×0.3＝1500.

因?yàn)镈(X)＞D(Y)，所以乙廠生產(chǎn)燈泡質(zhì)量比甲廠穩(wěn)定，即乙廠生產(chǎn)的燈泡質(zhì)量較好．2全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元未出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元價(jià)格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25需求量為瓶如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，需求量為300瓶；如最高氣溫低于20，需求量為200瓶為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫天數(shù)

[10，15)2

[1516

[20，25)36

[2525

[30，35)7

[35，40)4以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率．（1求六月份這種酸奶一天的求量（位：瓶）的分布列；（2設(shè)六月份一天銷售這種酸的利潤(rùn)（位：元月這種酸奶一天的貨量（位：瓶）為多少時(shí)，Y的學(xué)望達(dá)到最大值？【答案）分布列見(jiàn)解析）300【解析）由題意知，X所的可能取值為200，300，500，由表格數(shù)據(jù)知P

X

36X0.4，PX90

0.4

．因此X的布列為P

2000.2

3000.4

5000.4（2由題意知，這種酸奶一天需求量至多為500至少為200，因此只需考慮

當(dāng)

時(shí)，若最高氣溫不低于25，n；若最高氣溫位于區(qū)間20,25n

；若最高氣溫低于20，

Yn因此

E當(dāng)0n

時(shí)，若最高氣溫不低于20，n，若最高氣溫低于20，

Yn

，因此

所以n時(shí)，Y的學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元3全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）種大型醫(yī)療檢查機(jī)器生產(chǎn)商，對(duì)一次性購(gòu)買2臺(tái)器的客戶，出兩種超過(guò)質(zhì)保期后兩年內(nèi)的延保維修優(yōu)惠方案一納保金7000元延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)維修次，超過(guò)2次每收取維修費(fèi)2000元；方案二：交納延保金10000元，在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)維修4次，超過(guò)4次次收取維修費(fèi)1000元某院準(zhǔn)備一次性購(gòu)買這種機(jī)器需策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)購(gòu)買哪種延保方案，為此搜集并整理了50臺(tái)種機(jī)器超過(guò)質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)維修的次數(shù)，得下表：維修次數(shù)臺(tái)數(shù)

05

110

220

315以這50臺(tái)機(jī)維修次數(shù)的頻率替1機(jī)器維修次數(shù)發(fā)生的概率，記X表示這2臺(tái)器超過(guò)質(zhì)保后延保的兩年內(nèi)共需維修的次數(shù)．（1求X的布列；（2以所需延保金及維修費(fèi)用期望值為決策依據(jù)，醫(yī)院選擇哪種延保方案更合算？【答案）解析）擇延保方案二較合算【解析）X所可能的取值為，1，2，3，4，6

123，，X5

，31227PX，PX555

，P

X

39，

，∴X的布列為

012356

（Ⅱ）選擇延保一，所需費(fèi)用元的分布列為：1Y1

70009000110001300015000

725

EY

69700015000502525

（元）選擇延保二，所需費(fèi)用

元的分布列為：Y

100001100012000P

691100012000

（元）

∵

12

，∴該醫(yī)院選擇延保方案二較合.4全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）高校設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)學(xué)科的實(shí)驗(yàn)考查方:考生從道備選題中一次性隨機(jī)抽取3題按題目要求獨(dú)立完成全部實(shí)驗(yàn)操.定至少正確完成其中2題的可提交通過(guò)已知道備選題中考生甲有4題正確完,2題不完;生乙每題正確完成的概率都是

,且每題正確完成與否互不影響(1)分別寫(xiě)出甲、乙兩考生正確成題數(shù)的概率分布,計(jì)算均值(2)試從兩位考生正確完成題數(shù)均值及至少正確完成2的概率分析比較兩位考生的實(shí)驗(yàn)操作能.【答案）

EE(2

；）以判斷甲的實(shí)驗(yàn)操作力較.【解析】(1)設(shè)考生甲、乙正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)分別為,η,則ξ取值分別為1,2,3;η值分別為0,1,2,3.P(ξ=1)=

C1211C302,P(ξ=2)=2,P(ξ=3)=42C5C5

15

,∴考生甲正確完成題數(shù)的概率分布列為ξ123P

Eξ=1

+2

+3

=2.∵P(η=0)=01-,

同理P(η=1)=

,P(η=2)=,P(η=3)=,∴考生乙正確完成題數(shù)的概率分布列為η0123P

9

Eη=0

248+1+2+399

=2.(2)∵P(ξ≥2)=

18=0.8,P(η≥2)=9

0.74,ξ≥2)>P(η從做對(duì)題數(shù)的均值考,兩人水平相;至少完成題的概率考察甲得通過(guò)的可能性.因此可以判斷甲的實(shí)驗(yàn)操作能力較.5遼寧溪市·高二月考）為倡導(dǎo)綠色出行，某市推出“新能源分時(shí)租賃汽車”業(yè)其中一款新能源分時(shí)租賃汽車每次租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)