6.2排列與組合-選擇性必修第三冊(cè)同步講義(機(jī)構(gòu)專用)

nn學(xué)習(xí)奧數(shù)的優(yōu)點(diǎn)1、激發(fā)學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，更容易讓學(xué)生體驗(yàn)成功，樹立自信。2、訓(xùn)練學(xué)良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣和思維品質(zhì)。要

奧生思維更敏捷，考慮問(wèn)題比別人更深層次。3、鍛煉學(xué)優(yōu)良的意志品質(zhì)?？梢耘囵B(yǎng)持之以恒的耐心和克服困難的信心，以及戰(zhàn)勝難題的勇氣。可以養(yǎng)成堅(jiān)韌不拔的毅力4、獲得扎實(shí)的數(shù)學(xué)基本功，發(fā)揮創(chuàng)新精神和創(chuàng)造力的最大空間。6.2排列與組知梳一、排列、排列數(shù)從不同元素中取出≤n個(gè)元素的所___列____的個(gè)數(shù)，叫作從n個(gè)同元素中取出個(gè)素的排列數(shù)用符號(hào)表示為：m、排列相同的條件兩個(gè)排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)排列的元_完相，且元素的排列順____也相同．、排列數(shù)的公式：

Am

()

(

，其中

m,

且

m、把個(gè)不同的元素全部取出的一個(gè)排列，叫做個(gè)素的一個(gè)全排列，即：

n

(n)也就是說(shuō)將n個(gè)不同的元素全部取出的排列數(shù)于整數(shù)1n的乘積做n的乘用

!

表示即

A!

。規(guī)定：

!、排列數(shù)公式也可以寫成：

Amn

n()!

，其中

m,

且

m二、組合、組合：從個(gè)同元素中取出

mm)

個(gè)元素作為一組，叫做從n個(gè)同元素中取個(gè)素的一個(gè)組合、組合數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m≤n)個(gè)元素的__有組合_____的個(gè)數(shù)，叫作從個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示為：

、組合數(shù)公式：

Cm

A(n)Amm

n!(

，其中

m,

*

且

m規(guī)定：

C、組合數(shù)的性質(zhì)：1

C

；（）

C

知典題型一排列念例

判斷下列問(wèn)題是否為排列問(wèn)題．(1)北京、上海、天津三個(gè)民航站間的直達(dá)航線的飛機(jī)票的價(jià)(假設(shè)來(lái)回的票價(jià)相同；(2)選2個(gè)小組分別去植樹和種菜；(3)選2個(gè)小組去種菜；(4)選人組成一個(gè)學(xué)習(xí)小組；(5)選3個(gè)人分別擔(dān)任班長(zhǎng)、學(xué)習(xí)委員、活委員；(6)某班名學(xué)生在假期相互通信．【精彩點(diǎn)撥】

【自主解答】(2)(3)(4)(5)(6)AB鞏練

9A6－A5n910109991010n－Amn寫出下列問(wèn)題的所有排列．9A6－A5n910109991010n－Amn(1)從四數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字組成兩位，共有多少個(gè)不同的兩位數(shù)？(2)寫出從元素，b，c，d任取元素的所有排列．【精彩點(diǎn)撥】(1)(2)【自主解答】(1)12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43(2)adcdacdbcdcb

題型二排列式計(jì)算A5＋例(1)算：；證明：m－AmAm.nnn1010【精彩點(diǎn)撥】(1)2)Am【自主解答】(1)：

A5A4A6A5

4A45150A410A450

9A5A44×996：A6A510510×

(2)∵Am

1

＝

n－－m?。剑。剑?－m＝m

?。璵＝Am

1

n1nnn∴Amn1nnn

－Am＝mAm

1

鞏練給出下列四個(gè)關(guān)系式：①

!

(

②A

③

mn

n!(1)!④A(n)!(m)!其中正確的個(gè)數(shù)為（）A1個(gè)

B．2個(gè)

C．

D．個(gè)【答案】C【分析】①根據(jù)階乘公式判斷.②根據(jù)排列數(shù)公式判斷③根據(jù)排列公式判④根據(jù)排列數(shù)公判.【詳解】①因?yàn)?/p>

(

，故正②

!n()!(n)!

，故正③

mn

n!(n)!

，正確④因?yàn)?/p>

mn

n!(1)!，所以A(n)!(n)!

，故不正確.故選：題型三組合例

判斷下列各事件是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題．支隊(duì)以單循環(huán)進(jìn)行比(兩隊(duì)比賽一次)這次比賽需要進(jìn)行多少場(chǎng)次？支隊(duì)以單循環(huán)進(jìn)行比賽，這次比賽冠、亞軍獲得者有多少種可能？(3)從個(gè)人里選3個(gè)表去開會(huì)，有多少種選法？(4)從個(gè)人里選出3個(gè)同學(xué)科的課代表，有多少種選法？【精彩點(diǎn)撥】【自主解答】(1)(2)(3)

n100n100n100n100n1(4)n100n100n100n100n1鞏練甲、乙、丙、丁4支足球隊(duì)舉行循環(huán)賽（1）列出所有各場(chǎng)比賽的雙方（2）列出所有冠、亞軍的可能況解題型四組合公式計(jì)算例式子可示為()！AA100C．

B．C100D．101C101(2)求值：5＋C9

【精彩點(diǎn)撥】【自主解答】(1)101nn

101C101n

【答案】D(2)

n145≤n≤5nNn14545.n4C5n

n

C9n

C1C55n

n

C

n1

C

C16.鞏練（多選）下列等式中，成立的有（）A

An

n!m!

B．

mmnC．

Cn

D．A

【答案】BCD【分析】根據(jù)排列數(shù)公式和組合數(shù)性質(zhì)判斷．【詳解】A(n(nn

n!(n)!

，A錯(cuò)；根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)知

正確；Amn

n!()!

n1)![(nm

nAn

，正確．故選：．題型五排列式應(yīng)用例同學(xué)合影，其中男生，女生，站成了一排，要求3位生不相鄰的排法有（

）A12

B種

C．種

D．種【答案】A【分析】首先排女生，再排男生，然后再根據(jù)插空法以及排列式即可求【詳解】首先排女生，再排男生，然后再根據(jù)插空法可得：A2122

故選：A鞏練把2?4五個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，并把它們按由小到大的順序排成一個(gè)數(shù).（1是個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)？（2這個(gè)數(shù)列的第71項(xiàng)多少？（3求這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng).【答案】（1）第；）第71項(xiàng)3頭的五位數(shù)中第二大的數(shù)；）

【分析】（1先考慮大于的數(shù)，分為兩類：第一類開的五位數(shù)，第二類頭的五位數(shù)，求出對(duì)應(yīng)的個(gè)數(shù)，即可得出不大于的數(shù)的個(gè)數(shù)，進(jìn)而可到結(jié)果；（2分別求出開的五位數(shù)，2開的五位數(shù)，開的五位數(shù)，對(duì)應(yīng)的個(gè)數(shù)總和為7，進(jìn)而可得出結(jié)果；（3根據(jù)個(gè)位，十位，百位，千位，萬(wàn)位上的數(shù)字的取值情況，分組求和，即可得出結(jié).【詳解】（1先考慮大于的，分為以下兩類：第一類開頭的五位數(shù)有：

4

24第二類開頭的五位數(shù)有：一個(gè)∴不大于的數(shù)有：

A4120955

個(gè))即是數(shù)中第95項(xiàng)（2）頭的五位數(shù)有：

4

24頭的五位數(shù)有：

4

24頭的五位數(shù)有：

424共有24

(個(gè))所以第71項(xiàng)是3開的五位數(shù)中第二大的數(shù)，即35412.（3因?yàn)?，2，，4，5各萬(wàn)位上時(shí)都有

424

個(gè)五位數(shù)，所以萬(wàn)位數(shù)上的數(shù)字之和為

4同理，它們?cè)谇?，百位，十位，個(gè)位上也都有(1所以這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和為4

24個(gè)位數(shù)，432

0

11111

題型六組合式應(yīng)用例從3名醫(yī)生和名女生中，選派組成醫(yī)療小分隊(duì)，要求女生都有，則不同的選取方法種數(shù)為用字作答)【答案】

45【分析】根據(jù)題意分為兩類：男1女和，結(jié)合分類計(jì)數(shù)原理和組合數(shù)的計(jì)算公式，即可求.【詳解】由題意，從男醫(yī)生和名女醫(yī)中，選派人成醫(yī)療小分隊(duì)，要求女生都有，可分為兩類：第一類，若2男1女，共有

23

種不同的選取方法；第二類，若1男2女，共有

23

種不同的選取方法，由分類計(jì)數(shù)原理，可得不同的選取方法種數(shù)15故答案為：45.

種鞏練從進(jìn)入決賽的9名手中決出2一等獎(jiǎng)3名等獎(jiǎng)4名等獎(jiǎng)可能的決賽結(jié)果共有________種用數(shù)字作答）【答案】【分析】根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答【詳解】第一步，決出三等獎(jiǎng)，有

C49

126

種；第二步，決出二等獎(jiǎng)，有C種第三步，決出一等獎(jiǎng)，有

C

種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得，共有1261260

種故答案為：

1260鞏提

1、若A5

A42n

，則）B67D．【答案】B【分析】根據(jù)排列數(shù)與組合數(shù)公式列方程計(jì)算即.【詳解】解：由

A

得：5

n

2

，解得：

或n舍去.故選：2、下列等式不正確的是（）An

m

Cn

B．A

AC．

D．【答案】A【分析】根據(jù)排列組合數(shù)公式依次對(duì)選項(xiàng)，整理變形，分析可得答案．【詳解】A根據(jù)組合數(shù)公式，

n!(1)!m!()!(1)!()!

，A不正確；B

A

，n

故A

A

A

B確；C，

故

C正；D，

故D正；故選：A．3、若

A2

42

，則

n!3!(

的值為（）A60【答案】D【分析】

B

C．120D先由

A2

42

可求出，再代入式子即可求【詳解】

..

n

222

n2

42

，解得

或

（舍去），

n!7!71403!(3!3!3

故選：4、某校從5名學(xué)中選擇3人別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競(jìng)賽，則不同選法種數(shù)是（）A10

BD．125【答案】C【分析】先從名同學(xué)選擇分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競(jìng)賽，再根據(jù)學(xué)科的不同排列求【詳解】根據(jù)題意，某校從5名學(xué)中選擇分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競(jìng)賽，選出的人順序的區(qū)別，則有

3

種選法；故選：C.5、某小組共有5名同學(xué)，4名同現(xiàn)從該小組中選出同學(xué)分別到A，BC三進(jìn)行社會(huì)調(diào)查，每地1名若選出的同學(xué)中男女均有，則不同的安排方法有（）A70

B種

C．840

D．420種【答案】D【分析】先按“男女2

”或“男2

女”出

名同學(xué)，再排到三個(gè)地方，由此計(jì)算出不同的方法.【詳解】如果按“男1女

”選出

名同學(xué)，則方法數(shù)有

5

24

種，如果按“男2

女1”選

名同學(xué)，則方法數(shù)有

C240

種，再將選出的3名學(xué)安排到個(gè)方，則總的方法數(shù)有

3

種故選：D6、三名男生和三名女生站成一照相，男生甲與男生乙相鄰，且三名女生中恰好有兩名女生相鄰，則不同的站法共有()A72

B種

C．種

D．144種【答案】D【分析】

【詳解】男甲與男生乙種法，再與另一個(gè)男生排列，則有種方法，

2

3AA144D

2

7、以長(zhǎng)方體

AC111

的任意三個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，從中隨機(jī)取出三角形，則這三角形不共面的情兄有（）A【答案】B【分析】

B．D．1492根據(jù)平行六面體的幾何特征，可以求出以平行六面體

ABD1

的任意三個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形的總個(gè)數(shù)及從中隨機(jī)取出2個(gè)角形的情況總數(shù)，再求出這兩個(gè)三角形共面情況數(shù)，即可得到這兩個(gè)三角形不共面的情況數(shù)，即可得到答案．【詳解】因?yàn)槠叫辛骟w

D111

的8頂點(diǎn)任意三個(gè)均不共線，故從個(gè)頂點(diǎn)任取三個(gè)均可構(gòu)成一個(gè)三角形共有

3=56

個(gè)三角形，從中任選兩個(gè)，共有

C

種情況，因?yàn)槠叫辛骟w有六個(gè)面,六個(gè)角面，

從頂點(diǎn)中4點(diǎn)共面共有12種情況，每個(gè)面的四個(gè)頂點(diǎn)共確定個(gè)不同三角形，故任取出2三角形，則這三角形不共面共有-×61468，故選：、男同學(xué)和女同學(xué)站成一排（1）女同學(xué)必須站在一起，有多少種不同的排法？（2任何兩個(gè)女同學(xué)彼此不相鄰，有多少種不同的排法？（3其中甲、乙兩同學(xué)之間必須有人，有多少種不同的排法？（4男生和女生相間排列方法有多少種？【答案】（1）17280；）；（3；（4）.【分析】（1捆綁法求解即可；（2插空法求解即可；（3特殊位置法求解即可；（4插空法求解即.【詳解】（1）女同學(xué)必須站在一起，則視4女生為以整體，可得排法為

A464

；（2先排5個(gè)男同學(xué)，再插入女同學(xué)即可，所排法為：5

43200

；（3根據(jù)題意可得排法為：

C

A3

2

A

；（4）5男生中間有4個(gè)，插入女生即可故有排法

A5

.9、現(xiàn)有

本書和

位同學(xué)，將書全部分給這三位同（1若5本完全相同，每個(gè)同學(xué)至少有一本書，共有多少種分法？（2若5本都不相同，共有多少種分法？（3若

本書都不相同，每個(gè)同學(xué)至少有一本書，共有多少種分法？【答案】（1）

種；（2）

種；（3種【分析】

（1用擋板法求解；（2每本書都有三種分配方法，求冪便可得到答案；（3用分組分配問(wèn)題的求解方法求解，①將本書分成3，②將分好的三組全排列，對(duì)應(yīng)3名學(xué)生，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【詳解】解：（1）據(jù)題意，若

本書完全相同，將

本書排成一排，中間有個(gè)位可用，在4空位中任選2個(gè)插入擋板，有C

種況，即有

種不同的分法；（2根據(jù)題意，若

本書都不相同，每本書可以分給

人中任意，都有分法，則不同的書有35（3根據(jù)題意，分進(jìn)行分析：

243種①將

本書分成

組，若分成、、三組，有

C15102

種分組方法，若分成、、三組，有

C54152

種分組方法，025則有種分組方法；②將分好的三組全排列，對(duì)應(yīng)3名生，有則有25種分法

A3

種情況，10、現(xiàn)有編號(hào)為A，B，

，D，F(xiàn)，

G

的7個(gè)不同的小球．（1若將這些小球排成一排，且要求，，

三個(gè)球相鄰，則有多少種不同的排法？（2若將這些小球排成一排，要求A球排在中間，且B，，各相鄰，則有多少種不同的排法？（3若將這些小球排成一排，要求A，B，C，四球按從左到右排（可以相也可以不相鄰），則有多少種不同的排法？（4若將這些小球放入甲，乙，丙三個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)球，至多3個(gè)球，則有多少種不同的放法？【答案】（1）