離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析

第5章離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析離散時(shí)間信號(hào)5.1離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型和模擬5.2離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)5.3離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)5.4在本章以前，我們所討論的系統(tǒng)均屬連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，這類系統(tǒng)用于傳輸和處理連續(xù)時(shí)間信號(hào)。此外，還有一類用于傳輸和處理離散時(shí)間信號(hào)的系統(tǒng)稱之為離散時(shí)間系統(tǒng)，簡稱離散系統(tǒng)。數(shù)字計(jì)算機(jī)以及數(shù)字通信系統(tǒng)和數(shù)字控制系統(tǒng)的主要部分均屬于離散系統(tǒng)。鑒于離散系統(tǒng)在精度、抗干擾能力和可集成化等諸方面，比連續(xù)系統(tǒng)具有更大的優(yōu)越性。隨著數(shù)字技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，大量原屬于連續(xù)信號(hào)和系統(tǒng)的問題，越來越多地轉(zhuǎn)化成離散信號(hào)和系統(tǒng)的問題加以處理。

關(guān)于離散信號(hào)和系統(tǒng)的分析，在許多方面都與連續(xù)信號(hào)和系統(tǒng)的分析相類似，兩者之間具有一定的平行關(guān)系。在系統(tǒng)特性的描述方面，連續(xù)系統(tǒng)輸入-輸出關(guān)系的數(shù)學(xué)模型是微分方程。離散時(shí)間系統(tǒng)輸入-輸出關(guān)系的數(shù)學(xué)模型是差分方程；在系統(tǒng)分析方法方面，連續(xù)系統(tǒng)有時(shí)域、頻域和S域分析法，離散系統(tǒng)有時(shí)域、頻域和Z域分析法；在系統(tǒng)響應(yīng)的分解方面，則都可以分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，等等。無疑，在進(jìn)行離散信號(hào)與系統(tǒng)的學(xué)習(xí)時(shí)，經(jīng)常把它與連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)相對(duì)比，這對(duì)于其分析方法的理解、掌握和運(yùn)用是很有幫助的。但應(yīng)該指出，既然是兩類不同的問題，離散信號(hào)與系統(tǒng)有自己的特殊性，必然存在一些差別，學(xué)習(xí)時(shí)也應(yīng)該注意這些差別。本章討論離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析。

5.1離散時(shí)間信號(hào)5.1.1離散時(shí)間信號(hào)的時(shí)域描述

連續(xù)時(shí)間信號(hào)，在數(shù)學(xué)上可以表示為連續(xù)時(shí)間變量t的函數(shù)，除個(gè)別間斷點(diǎn)外，這些信號(hào)的波形是光滑的曲線，如圖5.1-1（a）所示，這一類信號(hào)稱為模擬信號(hào)（analogsignal）。大多數(shù)客觀存在的信號(hào)都是屬于這一類信號(hào)。還有一類信號(hào)（如電報(bào)信號(hào)等），雖然它的時(shí)間取值是連續(xù)的，但它的幅度卻只限于有限個(gè)數(shù)值，這一類信號(hào)稱為量化信號(hào)（quantizedsignal），如圖5.1-1（b）所示。以上兩類信號(hào)都是連續(xù)時(shí)間信號(hào)。離散時(shí)間信號(hào)（簡稱離散信號(hào)，discretesignal）與連續(xù)時(shí)間信號(hào)不同，它僅在一系列離散的時(shí)刻才有定義，因此它是離散時(shí)間變量tk的函數(shù)，如圖5.1-1（c）所示的離散信號(hào)只在t1、t2、t3…時(shí)刻有定義，在t1和t2，t2和t3…之間則沒有定義。如果信號(hào)不僅在時(shí)間取值是離散的，而且在幅度上又是量化的，則稱為數(shù)字信號(hào)（digitalsignal），如圖5.1-1（d）所示，在數(shù)字通信和計(jì)算機(jī)中傳輸和處理的信號(hào)就是數(shù)字信號(hào)。今后所討論的離散信號(hào)，可以是數(shù)字信號(hào)，也可以不是。兩者在分析方法上并無區(qū)別。有些信號(hào)盡管它們實(shí)際上是連續(xù)的，但是如果滿足取樣定理的要求，僅對(duì)它們的取樣值感興趣，或者由于無法或沒有必要了解它們整個(gè)過程的連續(xù)變化情況，而只能或只需測得其取樣值，也可以把它們當(dāng)作離散時(shí)間信號(hào)來看待。所以離散時(shí)間信號(hào)可以是連續(xù)時(shí)間信號(hào)經(jīng)過離散化（即取樣）的結(jié)果。用f(tk)表示離散時(shí)間信號(hào)，其中tk表示離散的時(shí)刻，通常離散時(shí)刻之間的間隔T是均勻的，即T=tk+1-tk為常量，故可以用f(kT)來表示離散時(shí)間信號(hào)，簡寫為f(k)。也就是說離散時(shí)間信號(hào)抽象為離散變量k的函數(shù)，這里k的取值為整數(shù)。這樣做不僅簡便而且具有更為普遍的意義，即離散變量k可以不限于代表時(shí)間。離散信號(hào)在數(shù)學(xué)上可以表示為數(shù)值的序列，為了方便，序列f(k)與序列的第k個(gè)值兩者在符號(hào)上不加區(qū)別。離散信號(hào)的函數(shù)值是一個(gè)序列{…，3，1，0，0，1，3，6，…}(下面畫有短線的數(shù)值是序號(hào)k=0的數(shù)值)。它的圖形如圖5.1-2所示，為了醒目，這些離散值畫成一條條不同高度的垂線，其中每條垂線的端點(diǎn)才是實(shí)際的函數(shù)值。

根據(jù)離散變量k的取非零值范圍，序列可分為以下三種情況：若序列f(k)對(duì)所有的整數(shù))都存在非零確定值，稱這類序列為雙邊序列。若，則f(k)稱為有始序列或右邊序列，反之若，則f(k)稱為有終序列或左邊序列。而的有始序列稱為因果序列，的有終序列稱為反因果序列。統(tǒng)稱為單邊序列。若f(k)僅在，整數(shù))區(qū)間有非零確定值，稱這類序列為有限序列。5.1.2離散信號(hào)的一些基本運(yùn)算在離散信號(hào)與系統(tǒng)分析中，常遇到序列的某些基本運(yùn)算。1.序列相加序列f1(k)與f2(k)相加，是指兩個(gè)序列同序號(hào)的數(shù)值逐項(xiàng)相應(yīng)相加，而構(gòu)成一個(gè)新的序列f(k)，即（5.1-1）2.序列相乘序列f1(k)與f2(k)相乘，是指兩個(gè)序列同序號(hào)的數(shù)值逐項(xiàng)相應(yīng)相乘，而構(gòu)成一個(gè)新的序列f(k)，即（5.1-2）3.序列折疊與位移

f(k)的自變量k如果用-k代替，即得到一個(gè)新序列f(-k)，表示f(k)相對(duì)于縱軸翻轉(zhuǎn)，稱為序列折疊。如圖5.1-3（b）所示。序列向后（右）移位是指原序列f(k)逐項(xiàng)依次后移或右移m位，而得到一個(gè)新的序列f(k-m)；序列向前（左）移位是指原序列f(k)逐項(xiàng)前移或左移m位，而得到一個(gè)新的序列f(k+m)。分別如圖5.1-3（c）、（d）所示。4.

序列的差分序列f(k)的一階前向差分（forwarddifference）Δf(k)定義為（5.1-3）一階后向差分（backwarddifference）定義為(5.1-4）同理，可以定義二階前向差分，二階后向差分。(5.1-5）(5.1-6）依次類推，可以得到更高階的前向和后向差分。差分與連續(xù)系統(tǒng)中的微分相對(duì)應(yīng)。5.序列求和（累加）序列的求和定義為（5.1-7）這是與連續(xù)系統(tǒng)中的積分相對(duì)應(yīng)的運(yùn)算。最后指出，對(duì)于離散信號(hào)，由于僅在為整數(shù)時(shí)才有意義，進(jìn)行尺度變換或波形的展縮時(shí)可能會(huì)使部分信號(hào)丟失或改變，因此，一般情況下不研究離散信號(hào)的尺度變換。5.1.3常用的離散信號(hào)1.單位函數(shù)單位函數(shù)的定義為（5.1-8）這個(gè)信號(hào)也稱為單位樣值信號(hào)和單位脈沖序列，必須注意在k=0時(shí)的幅度為有限值1，而不是象那樣在t=0時(shí)的幅度為∞。同理，可以定義延時(shí)單位脈沖序列。

（1）篩選特性(5.1-10）（2）加權(quán)特性（5.1-11）應(yīng)用此性質(zhì)，很容易理解把任意離散信號(hào)f(k)表示為單位函數(shù)的延時(shí)加權(quán)和，即（5.1-12）2.單位階躍序列單位階躍序列定義為（5.1-13）012341k…圖5.1-6單位階躍序列單位階躍序列與單位函數(shù)有如下關(guān)系：（5.1-16）（5.1-17）（5.1-18）或式（5.1-16）的成立是明顯的，式（5.1-17）的正確性在于僅在n=0時(shí)為1，其余n取值時(shí)為0，所以當(dāng)k<0時(shí)，求和式為零，而當(dāng)時(shí)，求和式為1，即3.斜變序列4.正弦序列正弦序列的表達(dá)式為（5.1-19）

這里幅值A(chǔ)、初相φ的含義與模擬正弦信號(hào)相同，但正弦序列的數(shù)字角頻率Ω0的含義與一般模擬信號(hào)模擬角頻率ω0的概念不同。由于離散信號(hào)定義的時(shí)間為kT，顯然有

Ω0=ω0T（5.1-20）模擬角頻率ω0的單位是rad/s，而數(shù)字角頻Ω0的單位為rad/s·s=rad。

Ω0表示相鄰兩個(gè)樣值間弧度的變化量。5.指數(shù)序列指數(shù)序列的一般形式為式中，A和可以是實(shí)常數(shù)，也可以是復(fù)常數(shù)。根據(jù)A和的取值不同，指數(shù)序列有下面幾種情況：(1)

若A和均為實(shí)數(shù)，則(5.1-22)為實(shí)指數(shù)序列。(2)若，A=1，

，

為虛指數(shù)序列。(5.1-23)根據(jù)歐拉公式，式(5.1-23)可寫成(5.1-24)可見，虛指數(shù)序列的實(shí)部和虛部都是正弦序列，只有其實(shí)部或虛部為周期序列時(shí)虛指數(shù)序列才是周期的。即只有滿足2/Ω0為有理數(shù)時(shí)，虛指數(shù)序列才是周期序列。(3)若A和均為復(fù)數(shù)，則為一般形式的復(fù)指數(shù)序列。虛指數(shù)序列的實(shí)部和虛部的波形如圖5.1-10所示。6.Z序列

Z序列可表示為(5.1-26)式中，z為復(fù)數(shù)。通常稱之為復(fù)序列。若取z為極坐標(biāo)的形式由歐拉公式，可寫成(5.1-28)顯然，Z序列與復(fù)指數(shù)序列只是表示形式不同，并無本質(zhì)上的差別。

以后的討論將會(huì)表明，在離散信號(hào)與系統(tǒng)的分析中，與連續(xù)時(shí)間基本信號(hào)相對(duì)應(yīng)的離散時(shí)間基本信號(hào)也具有非常相似的地位和作用。5.2離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型和模擬5.2.1離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型----差分方程

輸入和輸出都是離散信號(hào)的系統(tǒng)稱為離散系統(tǒng)，設(shè)輸入信號(hào)為x(k)，輸出信號(hào)為y(k)，離散時(shí)間系統(tǒng)可用圖5.2-1表示。我們把輸出y(k)看作是系統(tǒng)對(duì)輸入x(k)作用或處理的結(jié)果，表示為

y(k)=S[x(k)

]（5.2-1）在連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中，描述輸入和輸出關(guān)系的數(shù)學(xué)模型是微分方程。對(duì)于離散時(shí)間系統(tǒng)，由于變量k(或tk=kT)是離散的，因此必須采用另一種數(shù)學(xué)模型來描述，即差分方程來描述其輸入和輸出的關(guān)系。

與連續(xù)系統(tǒng)類似，離散系統(tǒng)同樣可以分為線性與非線性系統(tǒng)；時(shí)變與時(shí)不變系統(tǒng)，本書只討論線性時(shí)不變離散系統(tǒng)。線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的差分方程是常系數(shù)線性差分方程，具有如下兩種形式：或?qū)懗桑?.2-2）在式（5.2-2）的差分方程中，各序列的序號(hào)自k以遞增方式給出，稱為前向(或左移序)差分方程。另一種形式（5.2-3）式（5.2-3）中，各序列的序號(hào)自k以遞減方式給出，稱為后向(或右移序)差分方程。

在常系數(shù)線性差分方程中，各序列的序號(hào)同時(shí)增加或減少同樣的數(shù)目，該差分方程所描述系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系不變。因此前向差分方程和后向差分方程的相互轉(zhuǎn)換是非常容易的，在應(yīng)用中，究竟采用哪一種形式的差分方程比較方便，要根據(jù)具體情況來確定。

差分方程不僅僅用來描述離散系統(tǒng)，微分方程的數(shù)值解也往往可以借助于差分方程。

5.2.2離散時(shí)間系統(tǒng)的模擬既然差分方程與微分方程相似，則對(duì)于離散時(shí)間系統(tǒng)也可以象連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)那樣用適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算單元連接起來加以模擬。離散系統(tǒng)的模擬通常用延時(shí)器、加法器和標(biāo)量乘法器組成。加法器和標(biāo)量乘法器的功能和符號(hào)與連續(xù)系統(tǒng)相同，延時(shí)器則與積分器相對(duì)應(yīng)，它實(shí)際上是一個(gè)存儲(chǔ)器，它把信號(hào)存儲(chǔ)一個(gè)取樣時(shí)間T，常采用延時(shí)線或移位寄存器。延時(shí)器的時(shí)域表示符號(hào)如圖5.2-4（a）所示。若初始狀態(tài)不為零，則于延時(shí)器的輸出處用一加法器將初始狀態(tài)引入，如圖5.2-4（b）所示。

現(xiàn)在來討論如何運(yùn)用延時(shí)器、加法器和標(biāo)量乘法器對(duì)離散時(shí)間系統(tǒng)進(jìn)行模擬。對(duì)于一般的二階離散時(shí)間系統(tǒng)，若方程為（5.2-8）則與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的模擬一樣。引入輔助函數(shù)，使（5.2-9）應(yīng)有（5.2-10）這樣，式（5.2-8）就可以用式（5.2-9）和（5.2-10）兩式來等效，式（5.2-8）差分方程所描述的系統(tǒng)就可以用下圖來模擬。x(k)q(k)q(k＋1)q(k＋2)y(k)5.3離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析法求解微分方程一樣，在離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析法求解差分方程時(shí)，也可以分別求解相應(yīng)的齊次差分方程，求出僅由初始儲(chǔ)能引起的零輸入響應(yīng)和求解非齊次差分方程，求出僅由激勵(lì)引起的零狀態(tài)響應(yīng)，然后疊加求得全響應(yīng)。即從求解齊次差分方程的過程來看，差分方程和微分方程的求解有很多相類似的地方，所不同的是微分方程齊次解具有est的形式，而差分方程的齊次解則有rk的形式，其中s和r分別是微分方程和差分方程的特征根；但在初始條件的描述方面，微分方程和差分方程有所不同。在計(jì)算差分方程的零輸入響應(yīng)時(shí)，必須判別已知初始條件哪些是僅由初始儲(chǔ)能引起的，并遞推出所需的零輸入初始條件。5.4離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

離散時(shí)間系統(tǒng)求解零狀態(tài)響應(yīng)，可以直接求解非齊次差分方程得到。求解方法與經(jīng)典法計(jì)算連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)相似。即首先求齊次解和特解，然后代入僅由激勵(lì)引起的初始條件[若激勵(lì)在k=0時(shí)接系統(tǒng)，根據(jù)系統(tǒng)的因果性，零狀態(tài)條件為y(-1)=y(-2)=...=0]確定待定系數(shù)。但當(dāng)激勵(lì)信號(hào)較復(fù)雜，且差分方程階數(shù)較高時(shí)，上述求解非齊次差分方程的過程相當(dāng)復(fù)雜，因此，與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析一樣，離散時(shí)間系統(tǒng)計(jì)算零狀態(tài)響應(yīng)也常用卷積分析法。

5.4.1離散信號(hào)的分解與卷積和連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的卷積分析法其基本過程是：將激勵(lì)信號(hào)x(t)分解為一系列加權(quán)的沖激信號(hào)，根據(jù)系統(tǒng)對(duì)各個(gè)沖激的響應(yīng)，疊加得到系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)信號(hào)x(t)的零狀態(tài)響應(yīng)。這個(gè)疊加是連續(xù)疊加，表現(xiàn)為求卷積積分。在離散時(shí)間系統(tǒng)中，情況也大體相似，略有不同的是，激勵(lì)信號(hào)本來就是一個(gè)離散的序列。因此，第一步分解工作十分容易進(jìn)行，離散的激勵(lì)信號(hào)中的每一個(gè)離散量施加于系統(tǒng)，系統(tǒng)輸出一個(gè)與之相應(yīng)的響應(yīng)，每一響應(yīng)也均是一個(gè)離散序列，最后把這些響應(yīng)序列疊加起來，就得到系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)信號(hào)的零狀態(tài)響應(yīng)。這個(gè)疊加是離散疊加(即求和運(yùn)算，而不是積分運(yùn)算)，疊加的過程表現(xiàn)為求卷積和。

在連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中，用卷積分析法計(jì)算零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)，單位沖激函數(shù)(t)和單位沖激響應(yīng)h(t)起著十分關(guān)鍵的作用，在離散時(shí)間系統(tǒng)中，相應(yīng)的單位函數(shù)和單位函數(shù)響應(yīng)同樣起著十分重要的作用。如果已知離散時(shí)間系統(tǒng)對(duì)單位函數(shù)(k)的零狀態(tài)響應(yīng)為h(k)。根據(jù)線性時(shí)不變系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)疊加性和時(shí)不變性，則系統(tǒng)對(duì)x(n)(k-n)的零狀態(tài)響應(yīng)為y(n)(k-n)，則系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)信號(hào)的零狀態(tài)響應(yīng)為（5.4-1）式（5.4-1）稱為和的卷積和（convolutionsum）或離散卷積（discreteconvolution），用卷積符號(hào)記為（5.4-2）顯然，由式(5.1-12)，與單位函數(shù)的卷積和仍然是本身，即可見，離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)可由激勵(lì)信號(hào)x(k)與系統(tǒng)的單位函數(shù)響應(yīng)h(k)的卷積和獲得。這一點(diǎn)也與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)通過卷積積分求零狀態(tài)響應(yīng)相一致。同樣可以證明卷積和的代數(shù)運(yùn)算與卷積積分的代數(shù)運(yùn)算亦相同，也服從交換律、分配律和結(jié)合律。

對(duì)于因果系統(tǒng)來說，由于單位函數(shù)(k)僅存在于

k=0時(shí)刻，故當(dāng)

k<0時(shí)單位函數(shù)響應(yīng)h(k)=0；k<n時(shí)，h(k-n)=0。若x(k)是有始信號(hào)，且

k<0時(shí)，x(k)=0，則式（5.4-1）中求和取值區(qū)間只需從0到k即可，即（5.4-6）更一般的情況，k<k1時(shí)，x(k)=0；而k<k2時(shí)，h(k)=0。則有類似于式（2.3-14）的結(jié)論，即（5.4-7）計(jì)算卷積和也可以使用圖解法，其運(yùn)算過程與卷積積分的過程相似。只是求和運(yùn)算代替了積分運(yùn)算。設(shè)兩個(gè)離散函數(shù)（序列）為x(k)和h(k)，則其卷積和計(jì)算步驟如下：

1.換元：將x(k)和h(k)中的變量k更換成變量n；2.折疊：作出h(n)相對(duì)于縱軸的鏡象h(-n)；

3.位移：將折疊后的h(-n)沿n軸平移一個(gè)k值，得h(k-n)；4.相乘：將移位后的h(k-n)序列乘以x(k)；

5.求和：把h(k-n)和x(k)相乘所得的序列相加，即為k值下的卷積值。例5.4-2離散時(shí)間系統(tǒng)的激勵(lì)信號(hào)x(k)={2,1,5}，單位函數(shù)響應(yīng)h(k)={3,14,2}，試求其零狀態(tài)響應(yīng)。

解:在這個(gè)例題中，兩個(gè)序列都是有限序列，可以應(yīng)用一種優(yōu)于例5.4-1的方法，即依照普通