四川省成都市2025屆高三第三次診斷性檢測數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁四川省成都市2025屆高三第三次診斷性檢測數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|1<x<3}，B={x|x<m}，若A?B，則實數(shù)m的取值范圍是(

)A.{m|m≤1} B.{m|m≥1} C.{m|m≤3} D.{m|m≥3}2.在復平面內，復數(shù)z對應的點的坐標是(?2,1)，則z的共軛復數(shù)對應的點位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.設x∈R，則“cosx=1”是“sinx=0”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.函數(shù)f(x)=sin?πxexA.B.

C.D.5.已知動圓C與圓(x+1)2+y2=1外切，同時與圓(x?1A.x29+y28=1 B.6.已知正四棱臺的上底面邊長為4，下底面邊長為8，側棱長為17，則其體積為(

)A.108 B.112 C.120 D.1247.已知實數(shù)x，y滿足2x=3yA.x+y≥2xy B.(x+y)(x?y)≥0

C.0≤xy≤1 8.在△ABC中，∠BAC=2π3，∠BAC的角平分線AD交BC于點D，若CD=6ABA.12 B.23 C.1 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知某地社交媒體用戶的日活躍時長X(單位：小時)服從正態(tài)分布N(2.4,0.72)，則A.E(X)=2.4，D(X)=0.72

B.若P(X≤1)=P(X≥b)，則b=3

C.P(X≤0.3)+P(X≥4.5)<P(0.3<X<4.5)

10.對于空間中一組向量ai(i=1,2,3)，若存在不全為零的實數(shù)ki(i=1,2,3)使得k1aA.若a=(?1,1,1)，b=(?2,2,2)，c=(3,1,?4)，則a，b，c線性相關

B.若a=(?1,1,1)，b=(1,2,3)，c=(2,3,4)，則a，b，c線性無關

C.若a1，a2，a3線性無關，則a1?a2，2a1?3a2，a3?a111.聲音是由于物體的振動產生的能引起聽覺的波，我們聽到的聲音一般都是純音合成的復合音.已知純音的數(shù)學模型是函數(shù)y=Asinωx.復合音的產生是因為發(fā)聲體在全段振動，產生頻率為f的基音的同時，其各部分，如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振動，產生的頻率恰好是全段振動頻率的倍數(shù)，如2f，3f，4f等.即我們聽到的聲音的函數(shù)是fn(x)=A.fn(x)的圖像關于(kπ,0)(k∈Z)對稱

B.f3(x)在(0,π)上有2個極大值點，1個極小值點

C.{y|y=f3三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.雙曲線x2?y13.若函數(shù)f(x)=x2+2x,x≤0,x3?3x+a,x>0的值域為[?1,+∞)，則實數(shù)14.如圖，一電路中，Si(i=1,2,3,4,5,6,7)為未閉合的開關，Lj(j=1,2,3)為能正常工作的燈泡，現(xiàn)每次等可能地閉合一個未閉合的開關，直到7個開關全部閉合，則L1四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

隨著粵港澳大灣區(qū)建設、黃河流域生態(tài)保護和高質量發(fā)展等區(qū)域重大戰(zhàn)略實施取得新成效，城鄉(xiāng)融合和區(qū)域協(xié)調發(fā)展繼續(xù)推進，2024年末全國常住人口城鎮(zhèn)化率增長至67.00%.下圖為2020?2024年年末常住人口城鎮(zhèn)化率的折線圖．

(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合常住人口城鎮(zhèn)化率y與年份代碼x的關系.請建立y關于x的回歸方程;(2)從這5年中任取2年，記常住人口城鎮(zhèn)化率超過65.00%的年數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望．

附：回歸方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘法公式分別為：b16.(本小題15分)已知正項數(shù)列{an}的前n項的和為S(1)求S1，(2)證明：{Sn(3)求數(shù)列{1Sn+Sn+117.(本小題15分)

如圖，在矩形ABCE中，AB=2，BC=1，D為EC中點，將△EAD沿AD翻折至△PAD，使得PB=PC．

(1)證明：平面PAD⊥平面ABCD;(2)線段PB上是否存在一點T，使得AT與平面PAD所成角的正弦值為66，若存在，求出PTTB的值18.(本小題17分)已知函數(shù)f(x)=a(1)討論f(x)的單調性;(2)若f(x)有兩個零點，f′(x)為f(x)的導函數(shù)．(ⅰ)求實數(shù)a的取值范圍;(ⅱ)記f(x)較小的一個零點為x0.證明：x19.(本小題17分)

如圖，在直角坐標系xOy中，已知F是拋物線Γ:x2=2py(p>0)的焦點，過點F的直線交拋物線Γ于A，B兩點，且滿足OA(1)求p的值;(2)已知點T(0,3)，直線AT，BT與拋物線Γ的另一個交點分別為C，D，直線CD交y軸于點P，交直線AB于點N.拋物線Γ在C，D處的切線交于點K，過點P作平行于x軸的直線，分別交直線KD，KC于點E，G．(ⅰ)求證：點P為定點;(ⅱ)記△ENK，△GNK的面積分別為S1，S2，求S1參考答案1.D

2.C

3.A

4.D

5.A

6.B

7.B

8.C

9.ACD

10.AB

11.ABD

12.2

13.[1,+∞)

14.277015.解：(1)設年份代碼的平均數(shù)為x，則x=3，

設常住人口城鎮(zhèn)化率的平均數(shù)為y，

則y=63.9+64.7+65.2+66.2+67.05=65.4，

因為i=15(xi?x)2=(?2)2+(?1)2+02+12+22=10，

i=15(xi?x)(yi?yX012P133所以X的數(shù)學期望為E(X)=0×11016.解：(1)由an(2Sn?an)=1，

令n=1，有a12=1，因為an>0，所以a1=1．

令n=2，有a2(a2+2a1)=1，即a22+2a2=1，

由a2>0，解得a2=2?1．

所以S1=1，S2=2．

(2)當n≥2時，由an=Sn?Sn?1，

代入an(217.解：(1)如圖，設線段AD的中點為M，線段BC的中點為N，

連接PM，MN，PN．

因為D為EC中點，所以PD=PA=1．

又因為PM是等腰△PAD底邊上的中線，所以PM⊥AD．

同理可得PN⊥BC．

因為ABCE是矩形，所以CD/?/AB，AB⊥BC．

因為M，N是中點，所以MN是梯形ABCD的中位線．

所以MN//AB，從而MN⊥BC．

因為MN?平面PMN，PN?平面PMN，MN∩PN=N，

所以BC⊥平面PMN．

因為PM?平面PMN，所以BC⊥PM．

因為AD?平面ABCD，BC?平面ABCD，AD和BC相交

所以PM⊥平面ABCD．

因為PM?平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD．

(2)易得AD⊥BD.由(1)可知PM⊥平面ABCD，所以PM⊥BD．

因為AD?平面PAD，PM?平面PAD，PM∩AD=M，

所以BD⊥平面PAD．

以D為坐標原點，DA的方向為x軸正方向，

建立如圖所示空間直角坐標系D?xyz，

則A(2,0,0)，B(0,2,0)，P(22,0,22)，

AB=(?2,2,0)，AP=(?22,0,22).

設PTTB=λ>0，則AT=λ1+λAB+11+λAP．

可得2(1+λ)AT=(?2λ?1,2λ,1)．

18.解：(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)，

f′(x)=2ax+(a?2)?1x=(ax?1)(2x+1)x，

?①當a≤0時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)在(0,+∞)單調遞減;

?②當a>0時，令f′(x)=0，解得x=1a，

當x∈(0,1a)時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調遞減;

當x∈(1a,+∞)時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調遞增．

綜上所述，當a≤0時，函數(shù)f(x)在(0,+∞)單調遞減;

當a>0時，函數(shù)f(x)在(0,1a)上單調遞減，在(1a,+∞)單調遞增．

(2)(i)若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一個零點;

若a>0，由(1)知，當x=1a時，f(x)取得最小值，

最小值為f(1a)=1?1a+lna.

因為當x→+∞時，f(x)→+∞;

當x→0+時，f(x)→+∞，

所以函數(shù)f(x)有兩個零點當且僅當f(1a)<0．

設g(a)=lna?1a+1，函數(shù)g(a)在(0,+∞)單調遞增．

因為g(1)=0，g(a)<0的解集為a∈(0,1)．

綜上所述，a的取值范圍是(0,1)．

(ii)因為f(x)=(x2+x)a?2x?lnx，

由f(1)=2a?2<0，結合(i)知0<x0<1，

要證x0f′(x0)>?2，即證(2x0+1)(ax0?1)>?2，

即ax19.解：(1)由題意，直線AB斜率必存在，

設AB:y=kx+p2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

聯(lián)立y=kx+p2,x2=2py得x2?2pkx?p2=0，

Δ=4p2(k2+1)>0.所以x1+x2=2pk，x1x2=?p2．

由OA?OB=x1x2+y1y2=x1x2+