2021高考數(shù)學(xué)(理)12 統(tǒng)計(jì)與概率 含解析

晨鳥教育專題限時(shí)集訓(xùn)(十

統(tǒng)計(jì)與概率1．(2019·全國卷)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200小鼠隨機(jī)分成AB兩組，每組100，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比，根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于”，根據(jù)直方圖得到(C)的估計(jì)值為求乙離子殘留百分比直方圖中，的值；分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)．[]

由已知得0.70＝a＋＋0.15，故a＝0.35.b＝1－－0.15－0.70＝甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為2×0.15＋3×4×＋×0.20＋6×＋×0.05乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為Earlybird

9090晨鳥教育90903×0.05＋4×5×＋×0.35＋7×＋×0.152．(2017·全國卷)某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣(單位：℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于，需求量為瓶．為了確定六月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫天數(shù)

2

16

36

25

7

4以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率．求六月份這種酸奶一天的需求量(單位：瓶)的分布列；設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為(單位：)，當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位：瓶)為多少時(shí)，的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？[]

由題意知，X有可能取值為200,300,500，由表格數(shù)據(jù)＝200)2＋1636＝＝，P(X＝300)＝，(X＝500)＝

257＋490

＝0.4.因此的分布列為

2000.2

3000.4

5000.4由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為，至少為，因此只需考慮200≤n≤當(dāng)300≤n≤，若最高氣溫不低于，則＝6n－4n＝2；若最高氣溫位于區(qū)間[，則Y＝6×＋2(n300)－4n＝1－2n；若最高氣溫低于，則＝6200＋2(n－－n＝8002n.因此E()＝2n×＋(1－)×0.4＋－)×0.26400.4n當(dāng)200≤n時(shí)，若最高氣溫不低于，則＝6n－4n＝2；若最高氣溫低于，則＝6200＋2(n－－n＝8002nEarlybird

晨鳥教育因此E()＝2n×(0.4＋－2n×＝160＋1.2n.所以n＝300時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520．3(2020·國卷Ⅲ)某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市天中每天的空氣質(zhì)量等級和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表(單位：天)：鍛煉人次空氣質(zhì)量等級1(優(yōu)2(良3(輕度污染4(中度污染

[0,200]2567

(200,400]161072

(400,600]251280分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級為的概率；(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)；若某天的空氣質(zhì)量等級為或則稱這天“空氣質(zhì)量好”某天的空氣質(zhì)量等級為34則稱這天“空氣質(zhì)量不好”根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？人次≤空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好nbc附：K2，

人次400(K2)k

.[]下表：

由所給數(shù)據(jù)，該市一天的空氣質(zhì)量等級為的概率的估計(jì)值如空氣質(zhì)量等級概率的估計(jì)值

10.43

20.27

30.21

40.09一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值為Earlybird

晨鳥教育1100

×20＋300×35＋×45)＝350.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得×列聯(lián)表：人次≤

人次＞400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好

3322

378根據(jù)列聯(lián)表得K

2

100×－×37＝5545×

≈5.820.由于＞3.841有95%把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)．4全國卷Ⅱ)如圖是某地區(qū)2000至年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y單位：億元)的折線圖．為了預(yù)測該地區(qū)年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了與時(shí)間變量的兩個(gè)線性回歸模型．根據(jù)年至2016的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2，…，^17)建立模型①＝－＋13.5t根據(jù)2010至2016的數(shù)據(jù)時(shí)間變量的值^依次為，…，建立模型②：＝＋17.5t分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值；你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由．[]

^利用模型①地區(qū)2018的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為＝－＋13.5×＝億元．利用模型，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為×＝256.5(億元)．利用模型②得到的預(yù)測值更可靠．

^y99＋Earlybird

晨鳥教育理由如下：(i)從折線圖可以看出2000年至2016的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線y＝30.4＋13.5t下，這說明利用年至年的數(shù)據(jù)建立的線性模型不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的趨勢.2010年相對年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加2010年至2016的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用年至^2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型＝＋17.5t可以較好地描述年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢，因此利用模型②得到的預(yù)測值更可靠．ⅱ)從計(jì)算結(jié)果看，相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額億元，由模型①得到的預(yù)測值元的增幅明顯偏低利用模型②得到的預(yù)測值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預(yù)測值更可靠．以上給出了2理由，答出其中任意一種或其他合理理由均可1肥城市第一高級中學(xué)高三月考)年4月，甲、乙兩校的學(xué)生參加了某考試機(jī)構(gòu)舉行的大聯(lián)考，現(xiàn)對這兩校參加考試的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)顯示，考生的數(shù)學(xué)成績X服從正態(tài)分布N，從甲、乙兩校100及以上的試卷中用系統(tǒng)抽樣的方法各抽取了20試卷將這份試卷的得分制作成如圖所示的莖葉圖：試通過莖葉圖比較這40試卷的兩校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)；若把數(shù)學(xué)成績不低于135分的記作數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，判斷是否有的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)成績在100分及以上的學(xué)生中數(shù)學(xué)成績是否優(yōu)秀與所在學(xué)校有關(guān)？從所有參加此次聯(lián)考的學(xué)生中(人數(shù)很多)任意抽取3人記數(shù)學(xué)成績在分以上的人數(shù)為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望．附若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布(μσ)則Pμ－σ<≤μ＋＝P(Earlybird

晨鳥教育－2<≤μ＋σ)＝，μ－σX≤＋3)＝0.997nbc參考公式與臨界值表：2＝，其中n＝a＋b＋＋d.(K

2

≥k)

k

[]

(1)由莖葉圖可知：甲校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為

128＋2

＝131.5，乙校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為

128＋2

＝所以這40份試卷的成績甲校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)比乙校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)高由題意，作出2×2聯(lián)表如下：數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀總計(jì)

甲校101020

乙校71320

總計(jì)172340計(jì)算得K

2

的觀測值k＝

4013－×72020×

≈0.9207<2.706，所以沒有90%把握認(rèn)為數(shù)學(xué)成績在100分及以上的學(xué)生中數(shù)學(xué)成績是否優(yōu)秀與所在學(xué)校有關(guān).因?yàn)閄～N(110,144)，所以＝，σ＝144＝，所以P(86<X≤＝，所以P(X>134)＝

1－2

＝由題意可知ξ～(3,0.0228)，所以ξ)＝×＝2(2020·沙模擬)某市房管局為了了解該市市民2018年1月至年月期間購買二手房情況首先隨機(jī)抽樣其中200名購房者并對其購房面積m(單位：平方米60≤m≤進(jìn)行了一次調(diào)查統(tǒng)計(jì)成了如圖所示的頻率分布直方圖，接著調(diào)查了該市20181月至2019年月期間當(dāng)月在售二手房均價(jià)y單位：萬元/平方米)制成如圖2所示的散點(diǎn)圖圖中月份代碼1至分別對應(yīng)年1月至20191月)．Earlybird

ii晨鳥教育ii圖1圖2試估計(jì)該市市民的平均購房面積m；從該市2018年1月至2019年1月期間所有購買二手房的市民中任取3人，用頻率估計(jì)概率，記這3人購房面積不低于100方米的人數(shù)為，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；^^^^^^根據(jù)散點(diǎn)圖選擇＝a＋bx和y＝＋dlnx兩個(gè)模型進(jìn)行擬合，經(jīng)過數(shù)據(jù)處^^理得到兩個(gè)回歸方程，分別為＝0.9369＋x和y＝＋0.030x，并得到一些統(tǒng)計(jì)量的值，如表所示：^y＝＋0.028

^y＝＋．03013^∑(i1

5910.000i

13∑(i1y)

050請利用相關(guān)指數(shù)判斷哪個(gè)模型的擬合效果更好，并用擬合效果更好的模型預(yù)測20206月份的二手房購房均價(jià)(精確到0.001)．參考數(shù)據(jù)：ln2≈，ln1.10，ln10≈2.30，≈，2，3≈，10≈3.16，19≈Earlybird

iii1＝i333605121iii1＝i33360512121參考公式：

n^∑y＝1－.n∑yi[]

(1)m＝650.05＋×0.1＋8595×＋105×0.2＋×0.15＋125×0.05＝96.每一位市民購房面積不低于方米的概率為0.20＋0.05＝0.4，∴X～(3,0.4)，∴P(X＝)＝C

k×0.4

k×0.63

＝，(X＝＝0.63＝，(X＝＝C×0.4×0.6＝0.432，(X＝＝C

×0.4

2

×＝，(X＝＝0.4

3

＝，∴的分布列為：

0

1

2

3∴E(X)＝3×0.4＝1.2.^^設(shè)模型＝9＋＝0.9554＋的相關(guān)指數(shù)分別為5910.000R，R，則2＝1－，2＝1－

，∴R＜R，^∴模型y＝＋6lnx擬合效果更好，20216份對應(yīng)的＝42，^∴y＝4＋6ln42＝4＋6(ln3＋ln≈元/平方米．3．(2020·深圳模擬)2020年是中國改革開放的第42周年，為了分認(rèn)識新形勢下改革開放的時(shí)代性，某地的民調(diào)機(jī)構(gòu)隨機(jī)選取了該地100市民進(jìn)行調(diào)查，將他們的年齡分成6段[

2030

)，[，

)，…[，80

)

，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．Earlybird

68686814284晨鳥教育68686814284現(xiàn)從年齡在[30)[30，[，)

內(nèi)的人員中按分層抽樣的方法抽取人，再從這人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行座談，用X表示年齡在[，數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

內(nèi)的人若用樣本的頻率代替概率隨機(jī)抽樣的方法從該地抽取20名市民進(jìn)行調(diào)查，其中有k市民的年齡在[30，50)的概率為P(＝k)(k＝0，1，2…，20

)

.當(dāng)P＝)最大時(shí)，求k的值．[]

按分層抽樣的方法抽取的8人中，年齡在[，

內(nèi)的人數(shù)為

＋0.010＋

×8＝1人，年齡在

[

3040

)

內(nèi)的人數(shù)為

＋0.010＋

×8＝2人，年齡在[，

內(nèi)的人數(shù)為

＋0.010＋

×8＝5人．所以的可能取值為0,1,2，所以P＝0

C0＝＝，C3(＝1)(＝2)

C1＝＝，C3C2＝＝，C3所以的分布列為

0514

11528

23285153(X)＝0×＋＋2×＝.設(shè)在抽取市民中在[，50

內(nèi)的人數(shù)X服從二項(xiàng)分布頻率分布直方圖可知，年齡在[，)

內(nèi)的頻率為0.010＋

)

×10，Earlybird

20設(shè)t＝＝23i10iiii112323320設(shè)t＝＝23i10iiii11232331232所以X～(

20

)

，所以P(X＝)＝Ck(0.35)k(1－0.35)－k

＝0,1,2，…，．(＝k)(0.35)k－0.35(＝k－1)0.35k11－0.35)21＝

7

(21－k)13

(

k＝12…，20

，若t，則<7.35，(＝k－1

)(＝k

；若t，則>7.35，

(X＝k－1

)(＝k

.所以當(dāng)k＝7，P

(X＝k)最大，即當(dāng)PX)最大時(shí)，k＝7.4(2020·皖南八校第二次聯(lián)考)2019全國美麗鄉(xiāng)村籃球大賽在中國農(nóng)村改革的發(fā)源地——徽鳳陽舉辦，其間甲、乙兩人輪流進(jìn)行籃球定點(diǎn)投籃比(每人各投一次為一輪)，在相同的條件下，每輪甲乙兩人在同一位置，甲先投，每人投一次球兩人有1命中命中者得1分未命中者得－分兩人都命中或都未命中，12兩人均得0分，設(shè)甲每次投球命中的概率為，乙每次投球命中的概率為，且各次投球互不影響．經(jīng)過1投球，記甲的得分為X，求X分布列；若經(jīng)過n輪投球，用p表示經(jīng)過第i輪投球，累計(jì)得分，甲的得分高于乙的得分的概率．①求p，，；②規(guī)定＝，經(jīng)過計(jì)算機(jī)計(jì)算可估計(jì)得＝＋＋(≠1)請根據(jù)＋－①中，p，p的值分別寫出a關(guān)于b表達(dá)式，并由此求出數(shù)列{p

}通項(xiàng)公式．[]

記一輪投球，甲命中為事件，乙命中為事件，A，相互獨(dú)立，12由題意P(A)＝，P(B)＝，甲的得分X的取值為－，(X＝－＝(AB)＝P))＝＝(＝P()＋(A)＝P(B)＋(A)P)×＋1＝，2Earlybird

11326111126362111433363666362163ii11132611112636211