塑性力學(xué)-第三章

塑性力學(xué)

第三章40學(xué)時(shí)教材：塑性力學(xué)引論（修訂版），王仁、黃文彬、黃筑平著廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院碩士研究生40學(xué)時(shí)課程第三章應(yīng)變分析、應(yīng)力分析和屈服條件

§3.1應(yīng)變張量和應(yīng)力張量

（2）或用張量定義表示來(lái)表示。在小變形假設(shè)下，相應(yīng)的(工程)應(yīng)變可定義為：在直角坐標(biāo)系中，任意一點(diǎn)的位置可用坐標(biāo)值或

來(lái)表示。相應(yīng)點(diǎn)的位移可用或小變形下的應(yīng)變定義如此定義的應(yīng)變是二階對(duì)稱張量

上式中應(yīng)變的六個(gè)獨(dú)立分量是通過(guò)三個(gè)位移分量的偏導(dǎo)數(shù)給出的，消去位移后可得到應(yīng)變分量之間的關(guān)系，即協(xié)調(diào)條件。物體在變形和運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其質(zhì)點(diǎn)的速度分量假設(shè)下可表示為：（3）在小變形定義變形（速）率張量

在小變形情況下變形（速）率張量也是應(yīng)變張量的時(shí)間變化率（4）

在此種情形下，應(yīng)變?cè)隽靠杀硎緸椋?）

對(duì)于率無(wú)關(guān)材料，與真實(shí)時(shí)間成單調(diào)遞增關(guān)系的參數(shù)都可取為時(shí)間參量。式中參數(shù)t不一定是真實(shí)時(shí)間。Cauchy應(yīng)力張量

在通過(guò)物體內(nèi)任一點(diǎn)的面元上，其應(yīng)力向量可用Cauchy公式來(lái)確定。用張量方式來(lái)描述，Cauchy公式可以寫(xiě)作（6）

Tnz（6）式可以用來(lái)描述應(yīng)力邊界條件

在連續(xù)介質(zhì)中應(yīng)用Newton第二定律（或動(dòng)量守恒定律），可以得到應(yīng)力張量滿足的運(yùn)動(dòng)方程（7）（8）而

在連續(xù)介質(zhì)中應(yīng)用動(dòng)量矩守恒定律，可以得到應(yīng)力張量滿足的對(duì)稱性條件（7）、（8）兩式是在變形后的幾何位置上建立起來(lái)的，但在小變形情形下，變形前后的坐標(biāo)可不加區(qū)別。

準(zhǔn)靜態(tài)情形下，省略（7）式的慣性項(xiàng)，從而得到平衡方程：（9）

§3.2應(yīng)變張量或應(yīng)力張量的不變量

當(dāng)所截取的面元是以為法向量時(shí)，面元上只有正應(yīng)變（或正應(yīng)力）而沒(méi)有剪應(yīng)變（或剪應(yīng)力）時(shí)，向量稱為稱為主方向，相應(yīng)的正應(yīng)變（或正應(yīng)力）則稱為主應(yīng)變（或主應(yīng)力）。先來(lái)看主應(yīng)力，由任一截面上的應(yīng)力向量滿足關(guān)系主方向、主應(yīng)變和主應(yīng)力當(dāng)面元只有正應(yīng)力時(shí)，該應(yīng)力向量與面元法向量平行，故于是有

再來(lái)看主應(yīng)變，由于應(yīng)變張量的坐標(biāo)變換公式與應(yīng)力張量坐標(biāo)變換公式相同，因此確定主應(yīng)變也有相同公式（應(yīng)變張量與應(yīng)力張量都是二階對(duì)稱張量，在坐標(biāo)變換上具有同樣的性質(zhì)）。于是，可以寫(xiě)出統(tǒng)一的公式

（10）

式中是的主值。若代表應(yīng)力張量，是主應(yīng)力。若代表應(yīng)變張量，是主應(yīng)變。應(yīng)力不變量與應(yīng)變不變量（10）式具有非零解的條件是由此得到關(guān)于的三次多項(xiàng)式（11）（12）其中稱為的第一、第二和第三不變量。因?yàn)樗鼈兣c坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)。

可以證明有三個(gè)實(shí)根（可參考彈塑性力學(xué)的習(xí)題與例題，清華徐秉業(yè)編），這里不證。將的主值記為、和，且規(guī)定。（12）式也可用主值來(lái)表示：（13）

§3.3偏應(yīng)力張量和偏應(yīng)變張量

基于實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果，對(duì)于大多數(shù)金屬材料，在較大的靜水壓力作用下，材料仍表現(xiàn)為彈性性質(zhì)。這就意味著，應(yīng)力張量可以分為兩部分。一部分是靜水應(yīng)力，它對(duì)材料的作用不會(huì)造成塑性變形。另一部分可以使得材料產(chǎn)生塑性變形。定義靜水分量和偏量

（14）（15）

張量的偏量的幾點(diǎn)性質(zhì)：1.和具有相同的主方向，其不變量可表示為（16）

如果則也是相應(yīng)偏張量的特征方程因此和具有相同的主方向2.可通過(guò)表示為（17）

證明于是有又得證上式也可通過(guò)主值表示為（18）如的主值滿足，則有基本不等式（19）證明

得證比較是很重要的參數(shù)，用它可定義一些重要的參量。如定義等效應(yīng)變式中是應(yīng)變張量的偏張量。（20）定義等效應(yīng)力

（21）式中是應(yīng)力張量的偏張量。定義等效剪應(yīng)變（22）定義等效剪應(yīng)力（23）定義八面體剪應(yīng)變（24）定義八面體剪應(yīng)力（25）§3.4屈服條件把簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)下屈服應(yīng)力的概念推廣到一般應(yīng)力狀態(tài)。假定材料在變形的初始階段處于彈性狀態(tài)，這種彈性狀態(tài)的界限稱為屈服條件。當(dāng)微元的應(yīng)力狀態(tài)達(dá)到該界限時(shí)，進(jìn)一步的加載就可能使微元產(chǎn)生不可恢復(fù)的塑性變形。屈服條件可以用表達(dá)式寫(xiě)出。屈服條件在以應(yīng)力分量為坐標(biāo)的應(yīng)力空間中一般是一個(gè)曲面，稱為屈服曲面。當(dāng)應(yīng)力位于此曲面之內(nèi),即時(shí),材料處于彈性狀態(tài);當(dāng)應(yīng)力位于此曲面上,即時(shí),材料將開(kāi)始屈服而進(jìn)入塑性狀態(tài)。各向同性假設(shè)：材料是初始各向同性的。即材料的初始屈服與材料的取向無(wú)關(guān)，即與坐標(biāo)系選擇無(wú)關(guān)。由這一假設(shè)，屈服條件可表示成三個(gè)主應(yīng)力的函數(shù)：（26）或應(yīng)力張量不變量的函數(shù)：靜水應(yīng)力不影響材料的塑性性質(zhì)的假設(shè)：即屈服條件只與應(yīng)力偏量有關(guān)。于是屈服條件可以用應(yīng)力偏張量的不變量來(lái)表達(dá)兩個(gè)重要的假設(shè)（27）（28）

一般來(lái)說(shuō)，這兩個(gè)假設(shè)對(duì)多數(shù)金屬和飽和土是適用的。在不適用的情形，需要對(duì)屈服條件進(jìn)行修正。

由這兩個(gè)假設(shè)，如果屈服曲面存在，則可能在主應(yīng)力空間中用幾何方法加以描述。在主應(yīng)力空間中，任意一應(yīng)力狀態(tài)都可用一個(gè)向量來(lái)表示。

上式還可分解為偏量部分和靜水應(yīng)力部分。

為主偏應(yīng)力向量為靜水應(yīng)力向量。注意到知與是正交的。過(guò)O點(diǎn)以為法向量的平面習(xí)慣上稱為π平面，可寫(xiě)為（29）由于與正交，主偏應(yīng)力向量過(guò)O點(diǎn),知主偏應(yīng)力向量是π平面的面內(nèi)向量。

以下，建立平面上的直角坐標(biāo)系，并建立主應(yīng)力主偏應(yīng)力與平面上相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系。主應(yīng)力坐標(biāo)系基矢頂點(diǎn)構(gòu)成一平面，該平面平行于π平面。將基矢投影到π平面上，得。由于不平行于π平面,再將基矢的頂點(diǎn)連線投影到π平面上，由于這些頂點(diǎn)連線平行于π平面，投影所得線的長(zhǎng)度不變。將有所縮減。中任意兩向量及頂點(diǎn)連線構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，

其頂角角度為120，底角角度為30。因此可以算出

那么，主偏應(yīng)力在π平面上的坐標(biāo)值為：π平面上任一點(diǎn)的坐標(biāo)可用主偏應(yīng)力表達(dá)為：

同樣，主應(yīng)力在π平面上的坐標(biāo)值為：于是π平面上任一點(diǎn)的坐標(biāo)可用主應(yīng)力或主偏應(yīng)力表達(dá)為：

（30）用極坐標(biāo)描述，有：（31）上式中稱為L(zhǎng)ode參數(shù)，表示了主應(yīng)力之間的相對(duì)比值。（31）式中

因此有（31’）如果規(guī)定，則Lode參數(shù)的取值范圍為（-1，1）或。例如：純拉伸對(duì)應(yīng)于。純剪切對(duì)應(yīng)于。純壓縮對(duì)應(yīng)于。注意到，由（30）式可解出：（32）屈服曲面與屈服曲線

屈服曲面與平面的交線稱為屈服曲線。

當(dāng)屈服條件不受靜水應(yīng)力影響時(shí)，從主應(yīng)力空間來(lái)看，此時(shí)的屈服條件表示的是一個(gè)母線垂直于平面的柱面。因?yàn)樵撉媾c靜水應(yīng)力（是向量的大?。┑拇笮o(wú)關(guān)，這意味著以任何一個(gè)平行于π平面的平面去截曲面，得到的交線都是形狀一樣的。在這種情形下，要討論屈服條件只需分析平面上的屈服曲線。屈服曲線的幾何性質(zhì)根據(jù)材料的屈服是初始各向同性的這一假定，如果

是屈服曲線上的一點(diǎn)，也是屈服曲線上的一點(diǎn)。由（30）式知也是屈服曲線上的一點(diǎn)可知屈服曲線對(duì)稱于軸，同理可知還對(duì)稱于軸和軸。

又根據(jù)材料的屈服是初始各向同性的這一假定，材料的拉伸和壓縮屈服極限相等（對(duì)許多金屬材料近似成立）。還可知，如果是屈服曲線上的一點(diǎn)，則也是屈服曲線上的一點(diǎn)。于是由（30）式知因此平面上也是屈服曲線上的一點(diǎn)。但由于屈服曲線對(duì)稱于軸，必是屈服曲線上的一點(diǎn)。故知屈服曲線對(duì)稱于過(guò)原點(diǎn)且垂直于軸的直線。

同理，過(guò)原點(diǎn)的另外兩條投影軸的垂線也是對(duì)稱軸。因此，在各向同性假設(shè)下屈服曲線有6條對(duì)稱軸。所以，在此情形下，只要在30?范圍內(nèi)做屈服試驗(yàn)就可以確定屈服曲線?！?.5幾個(gè)常用的屈服條件一、Tresca屈服條件（1864年）

當(dāng)最大剪應(yīng)力達(dá)到某一極限值時(shí)，材料開(kāi)始產(chǎn)生屈服。如果規(guī)定，則Tresca屈服條件可寫(xiě)為（33）

由（30）式可知，上式在平面上相當(dāng)于內(nèi)與軸平行的直線段：（34）

根據(jù)對(duì)稱性對(duì)其加以延拓，知Tresca屈服條件在平面上是一個(gè)正六邊形。如果不規(guī)定，則（33）式可寫(xiě)為（35）

在主應(yīng)力空間中Tresca屈服條件是一個(gè)正六面體柱面。其母線與軸線相平行。對(duì)于平面應(yīng)力狀態(tài)，（35）式可寫(xiě)作（36）

這在應(yīng)力平面上是一個(gè)六邊形，它是六棱柱面與平面相截得到的交線。值的確定

值由實(shí)驗(yàn)確定。例如可用簡(jiǎn)單拉伸測(cè)得（37）

如果采用純剪切實(shí)驗(yàn)，則（38）

顯然，如果Tresca屈服條件正確，則測(cè)得的值應(yīng)相同，即應(yīng)有（39）

關(guān)于Tresca屈服條件的應(yīng)用

在主方向已知的情形下，Tresca屈服條件是便于應(yīng)用的。如不是這樣，應(yīng)用起來(lái)就不大方便。設(shè),即。由（31）和（32）式，有

于是這樣，Tresca屈服條件可寫(xiě)為：

這樣Tresca屈服條件就能用偏應(yīng)力張量的不變量來(lái)表示。一般來(lái)說(shuō)，應(yīng)用起來(lái)還是不大方便的。上式還可以寫(xiě)為二、Mises屈服條件（1913年）Tresca屈服條件沒(méi)有考慮中間主應(yīng)力的影響。Mises屈服條件假定（28）式具有如下的最簡(jiǎn)形式：

（40）

其中為材料常數(shù)。由上式可見(jiàn)Mises屈服條件與無(wú)關(guān)。

由（31）式，上式也可寫(xiě)為（41）

可見(jiàn)，Mises屈服條件在平面上是一個(gè)圓，在主應(yīng)力空間中則是一個(gè)母線與軸線相平行的圓柱面。對(duì)于平面應(yīng)力狀態(tài)，Mises屈服條件可表示為（42）

這在應(yīng)力平面上是一個(gè)橢圓。對(duì)Mises屈服條件的物理解釋

材料微元的八面體剪應(yīng)力或材料微元單位體積的剪切應(yīng)變能達(dá)到一定數(shù)值時(shí)，材料微元就將開(kāi)始進(jìn)入屈服。八面體剪應(yīng)力剪切應(yīng)變比能值的確定值由實(shí)驗(yàn)確定。

例如在簡(jiǎn)單拉伸時(shí)，應(yīng)用Mises屈服條件，可以測(cè)得（43）

如果采用純剪切實(shí)驗(yàn)，則由（44）

顯然，如果Mises屈服條件正確，則用不同的試驗(yàn)測(cè)得的值應(yīng)相同，即應(yīng)有（45）

Tresca屈服條件與Mises屈服條件的簡(jiǎn)單比較

在平面上，假定簡(jiǎn)單拉伸時(shí)兩個(gè)屈服面重合，則Tresca六邊形內(nèi)接于Mises圓。此時(shí)由（37）、（38）式,和（43）、（44）式，知若以拉伸試驗(yàn)確定屈服參數(shù)，在純剪切時(shí)兩種屈服條件相差最大。

如假定純剪切時(shí)兩個(gè)屈服面重合，則Tresca六邊形外切于Mises圓。此時(shí)由（37）、（38）式和（43）、（44）式

知在簡(jiǎn)單拉伸時(shí)，兩種屈服條件相差最大。不論哪種情況，最大的相對(duì)誤差都是三、最大偏應(yīng)力屈服條件（或雙剪應(yīng)力屈服條件）最大偏應(yīng)力屈服條件

最大偏應(yīng)力屈服條件的概念最早是由R.Schmidt在1932年提出的。俞茂宏用雙剪應(yīng)力的概念對(duì)上述屈服條件作了說(shuō)明。最大偏應(yīng)力屈服條件可用下式表示（46）

上式又可表示為

顯然，考慮到對(duì)稱性，上式在平面上構(gòu)成由六條直線圍成的正六邊形。要確定這一六邊形，可利用（30）式。由（30）式的第二式，知正六邊形的一條直線與垂直。由拉壓屈服對(duì)稱，可得正六邊形另一條與垂直的直線。類推確定這一六邊形。最大偏應(yīng)力屈服條件值的確定如果用簡(jiǎn)單拉伸確定，則與Tresca屈服條件和Mises屈服條件的簡(jiǎn)單比較最大偏應(yīng)力屈服條件在平面上是一個(gè)外接于Mises圓的正六邊形。與Tresca六邊形相比，它的方位相差30。雙剪應(yīng)力屈服條件

當(dāng)兩個(gè)較大的主剪應(yīng)力的絕對(duì)值之和達(dá)到某一數(shù)值時(shí)，材料將開(kāi)始屈服。設(shè)，則主剪應(yīng)力絕對(duì)值可定義為：（47）

雙剪應(yīng)力屈服條件由下式表示：（48）

最大誰(shuí)大？上式（雙剪應(yīng)力屈服條件）與最大偏應(yīng)力屈服條件（46）式等價(jià)，因?yàn)槿?，注意到，?/p>

所以雙剪應(yīng)力屈服條件與最大偏應(yīng)力屈服條件等價(jià)

由（31）、（32）和（46）式，在未知最大主應(yīng)力方向時(shí)最大偏應(yīng)力屈服條件可寫(xiě)為其中§3.6屈服條件的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證用這樣的試件和加載方式可以實(shí)現(xiàn)可變的雙向應(yīng)力狀態(tài)。

設(shè)圓管的平均半徑為，壁厚為，。在拉力和內(nèi)壓的作用下，圓管近似地處于平均應(yīng)力狀態(tài)。在柱坐標(biāo)系中圓管中任意一點(diǎn)的應(yīng)力分量為：，，（49）如果，則可取，故有：（50）當(dāng)?shù)扔诹銜r(shí)，

這對(duì)應(yīng)于簡(jiǎn)單拉伸的情形。當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

于是，知在的范圍內(nèi)改變和的比值時(shí)，可以得到在內(nèi)不同的值。與Lode的實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較

設(shè)，規(guī)定拉伸時(shí)各種屈服條件是重合的（即各種屈服條件的參數(shù)都以拉伸試驗(yàn)來(lái)加以確定）。對(duì)Tresca屈服條件，有（51）

對(duì)于Mises屈服條件，由（41）式,，,和（43）式，有上式還可以表示為

因此屈服條件可以寫(xiě)為（52）利用（30）和（31）式對(duì)于最大偏應(yīng)力屈服條件,由，所以，或從上式中可解出而當(dāng)時(shí)，但由最大偏應(yīng)力屈服條件因此而當(dāng)時(shí)，由最大偏應(yīng)力屈服條件因此于是最大偏應(yīng)力的屈服條件可寫(xiě)為（53）

可知，以為縱坐標(biāo)，以為橫坐標(biāo)，將（51）、（52）和（53）式與試驗(yàn)結(jié)果比較，便可看出哪種屈服條件更為接近真實(shí)結(jié)果。二、薄圓管受拉力和扭矩的聯(lián)合作用（Taylor-Quinney，1931年）在拉力和扭矩的作用下，（54）相應(yīng)的主應(yīng)力為：相應(yīng)的主偏應(yīng)力為：（55）（56）從而（57）

當(dāng)時(shí)，，對(duì)應(yīng)于簡(jiǎn)單拉伸的情形。

當(dāng)時(shí)，，對(duì)應(yīng)于純剪切的情形。

于是，改變和的比值，可以得到在內(nèi)不同的值。

仍規(guī)定拉伸時(shí)各種屈服條件是重合的。對(duì)Tresca屈服條件，有或

（58）

對(duì)于Mises屈服條件，有（59）

或

對(duì)于最大偏應(yīng)力屈服條件。由（56）式知，當(dāng)時(shí)，。且，因此最大偏應(yīng)力屈服條件可寫(xiě)為或

（60）

于是，以為縱坐標(biāo)，以為橫坐標(biāo)，將（58）、（59）和（60）式與試驗(yàn)結(jié)果比較便可看出哪種屈服條件更為接近真實(shí)結(jié)果回推法得到的屈服面(引自蘇莉－西北工業(yè)大學(xué)2007年碩士論文)鋼薄圓管軸向拉壓/扭轉(zhuǎn)測(cè)試初始屈服面§3.7*巖土力學(xué)中的庫(kù)倫屈服條件確定B點(diǎn)如何確定A點(diǎn)？π平面上I1＝0故由（66）式§3.8加載條件屈服條件—是指當(dāng)材料未經(jīng)受任何塑性變形時(shí)的彈性響應(yīng)的界限。加載條件—材料經(jīng)受過(guò)塑性變形后的彈性響應(yīng)的界限。（68）

是用于刻劃塑性變形歷史的內(nèi)變量參量。在應(yīng)力空間中，這是一個(gè)以為參數(shù)的曲面，稱之為加載曲面。

需要說(shuō)明的幾點(diǎn)：隨的變化，加載曲面的大小、形狀和位置都要發(fā)生變化。

應(yīng)力狀態(tài)不能位于加載曲面之外（不考慮應(yīng)變率效應(yīng)時(shí)）應(yīng)力位于加載曲面之內(nèi)時(shí)，應(yīng)力的改變不引起的變化，材料也不產(chǎn)生新的塑性變形。應(yīng)力位于加載曲面之上時(shí)，繼續(xù)加載將使得改變，材料產(chǎn)生新的塑性變形，加載曲面也將變化。加載曲面的變化可用下式來(lái)描述：