塑性力學-第三章

塑性力學

第三章40學時教材：塑性力學引論（修訂版），王仁、黃文彬、黃筑平著廣西大學土木建筑工程學院碩士研究生40學時課程第三章應變分析、應力分析和屈服條件

§3.1應變張量和應力張量

（2）或用張量定義表示來表示。在小變形假設(shè)下，相應的(工程)應變可定義為：在直角坐標系中，任意一點的位置可用坐標值或

來表示。相應點的位移可用或小變形下的應變定義如此定義的應變是二階對稱張量

上式中應變的六個獨立分量是通過三個位移分量的偏導數(shù)給出的，消去位移后可得到應變分量之間的關(guān)系，即協(xié)調(diào)條件。物體在變形和運動過程中，其質(zhì)點的速度分量假設(shè)下可表示為：（3）在小變形定義變形（速）率張量

在小變形情況下變形（速）率張量也是應變張量的時間變化率（4）

在此種情形下，應變增量可表示為（5）

對于率無關(guān)材料，與真實時間成單調(diào)遞增關(guān)系的參數(shù)都可取為時間參量。式中參數(shù)t不一定是真實時間。Cauchy應力張量

在通過物體內(nèi)任一點的面元上，其應力向量可用Cauchy公式來確定。用張量方式來描述，Cauchy公式可以寫作（6）

Tnz（6）式可以用來描述應力邊界條件

在連續(xù)介質(zhì)中應用Newton第二定律（或動量守恒定律），可以得到應力張量滿足的運動方程（7）（8）而

在連續(xù)介質(zhì)中應用動量矩守恒定律，可以得到應力張量滿足的對稱性條件（7）、（8）兩式是在變形后的幾何位置上建立起來的，但在小變形情形下，變形前后的坐標可不加區(qū)別。

準靜態(tài)情形下，省略（7）式的慣性項，從而得到平衡方程：（9）

§3.2應變張量或應力張量的不變量

當所截取的面元是以為法向量時，面元上只有正應變（或正應力）而沒有剪應變（或剪應力）時，向量稱為稱為主方向，相應的正應變（或正應力）則稱為主應變（或主應力）。先來看主應力，由任一截面上的應力向量滿足關(guān)系主方向、主應變和主應力當面元只有正應力時，該應力向量與面元法向量平行，故于是有

再來看主應變，由于應變張量的坐標變換公式與應力張量坐標變換公式相同，因此確定主應變也有相同公式（應變張量與應力張量都是二階對稱張量，在坐標變換上具有同樣的性質(zhì)）。于是，可以寫出統(tǒng)一的公式

（10）

式中是的主值。若代表應力張量，是主應力。若代表應變張量，是主應變。應力不變量與應變不變量（10）式具有非零解的條件是由此得到關(guān)于的三次多項式（11）（12）其中稱為的第一、第二和第三不變量。因為它們與坐標系的選擇無關(guān)。

可以證明有三個實根（可參考彈塑性力學的習題與例題，清華徐秉業(yè)編），這里不證。將的主值記為、和，且規(guī)定。（12）式也可用主值來表示：（13）

§3.3偏應力張量和偏應變張量

基于實驗測試結(jié)果，對于大多數(shù)金屬材料，在較大的靜水壓力作用下，材料仍表現(xiàn)為彈性性質(zhì)。這就意味著，應力張量可以分為兩部分。一部分是靜水應力，它對材料的作用不會造成塑性變形。另一部分可以使得材料產(chǎn)生塑性變形。定義靜水分量和偏量

（14）（15）

張量的偏量的幾點性質(zhì)：1.和具有相同的主方向，其不變量可表示為（16）

如果則也是相應偏張量的特征方程因此和具有相同的主方向2.可通過表示為（17）

證明于是有又得證上式也可通過主值表示為（18）如的主值滿足，則有基本不等式（19）證明

得證比較是很重要的參數(shù)，用它可定義一些重要的參量。如定義等效應變式中是應變張量的偏張量。（20）定義等效應力

（21）式中是應力張量的偏張量。定義等效剪應變（22）定義等效剪應力（23）定義八面體剪應變（24）定義八面體剪應力（25）§3.4屈服條件把簡單應力狀態(tài)下屈服應力的概念推廣到一般應力狀態(tài)。假定材料在變形的初始階段處于彈性狀態(tài)，這種彈性狀態(tài)的界限稱為屈服條件。當微元的應力狀態(tài)達到該界限時，進一步的加載就可能使微元產(chǎn)生不可恢復的塑性變形。屈服條件可以用表達式寫出。屈服條件在以應力分量為坐標的應力空間中一般是一個曲面，稱為屈服曲面。當應力位于此曲面之內(nèi),即時,材料處于彈性狀態(tài);當應力位于此曲面上,即時,材料將開始屈服而進入塑性狀態(tài)。各向同性假設(shè)：材料是初始各向同性的。即材料的初始屈服與材料的取向無關(guān)，即與坐標系選擇無關(guān)。由這一假設(shè)，屈服條件可表示成三個主應力的函數(shù)：（26）或應力張量不變量的函數(shù)：靜水應力不影響材料的塑性性質(zhì)的假設(shè)：即屈服條件只與應力偏量有關(guān)。于是屈服條件可以用應力偏張量的不變量來表達兩個重要的假設(shè)（27）（28）

一般來說，這兩個假設(shè)對多數(shù)金屬和飽和土是適用的。在不適用的情形，需要對屈服條件進行修正。

由這兩個假設(shè)，如果屈服曲面存在，則可能在主應力空間中用幾何方法加以描述。在主應力空間中，任意一應力狀態(tài)都可用一個向量來表示。

上式還可分解為偏量部分和靜水應力部分。

為主偏應力向量為靜水應力向量。注意到知與是正交的。過O點以為法向量的平面習慣上稱為π平面，可寫為（29）由于與正交，主偏應力向量過O點,知主偏應力向量是π平面的面內(nèi)向量。

以下，建立平面上的直角坐標系，并建立主應力主偏應力與平面上相應的點的坐標的關(guān)系。主應力坐標系基矢頂點構(gòu)成一平面，該平面平行于π平面。將基矢投影到π平面上，得。由于不平行于π平面,再將基矢的頂點連線投影到π平面上，由于這些頂點連線平行于π平面，投影所得線的長度不變。將有所縮減。中任意兩向量及頂點連線構(gòu)成一個等腰三角形，

其頂角角度為120，底角角度為30。因此可以算出

那么，主偏應力在π平面上的坐標值為：π平面上任一點的坐標可用主偏應力表達為：

同樣，主應力在π平面上的坐標值為：于是π平面上任一點的坐標可用主應力或主偏應力表達為：

（30）用極坐標描述，有：（31）上式中稱為Lode參數(shù)，表示了主應力之間的相對比值。（31）式中

因此有（31’）如果規(guī)定，則Lode參數(shù)的取值范圍為（-1，1）或。例如：純拉伸對應于。純剪切對應于。純壓縮對應于。注意到，由（30）式可解出：（32）屈服曲面與屈服曲線

屈服曲面與平面的交線稱為屈服曲線。

當屈服條件不受靜水應力影響時，從主應力空間來看，此時的屈服條件表示的是一個母線垂直于平面的柱面。因為該曲面與靜水應力（是向量的大?。┑拇笮o關(guān)，這意味著以任何一個平行于π平面的平面去截曲面，得到的交線都是形狀一樣的。在這種情形下，要討論屈服條件只需分析平面上的屈服曲線。屈服曲線的幾何性質(zhì)根據(jù)材料的屈服是初始各向同性的這一假定，如果

是屈服曲線上的一點，也是屈服曲線上的一點。由（30）式知也是屈服曲線上的一點可知屈服曲線對稱于軸，同理可知還對稱于軸和軸。

又根據(jù)材料的屈服是初始各向同性的這一假定，材料的拉伸和壓縮屈服極限相等（對許多金屬材料近似成立）。還可知，如果是屈服曲線上的一點，則也是屈服曲線上的一點。于是由（30）式知因此平面上也是屈服曲線上的一點。但由于屈服曲線對稱于軸，必是屈服曲線上的一點。故知屈服曲線對稱于過原點且垂直于軸的直線。

同理，過原點的另外兩條投影軸的垂線也是對稱軸。因此，在各向同性假設(shè)下屈服曲線有6條對稱軸。所以，在此情形下，只要在30?范圍內(nèi)做屈服試驗就可以確定屈服曲線。§3.5幾個常用的屈服條件一、Tresca屈服條件（1864年）

當最大剪應力達到某一極限值時，材料開始產(chǎn)生屈服。如果規(guī)定，則Tresca屈服條件可寫為（33）

由（30）式可知，上式在平面上相當于內(nèi)與軸平行的直線段：（34）

根據(jù)對稱性對其加以延拓，知Tresca屈服條件在平面上是一個正六邊形。如果不規(guī)定，則（33）式可寫為（35）

在主應力空間中Tresca屈服條件是一個正六面體柱面。其母線與軸線相平行。對于平面應力狀態(tài)，（35）式可寫作（36）

這在應力平面上是一個六邊形，它是六棱柱面與平面相截得到的交線。值的確定

值由實驗確定。例如可用簡單拉伸測得（37）

如果采用純剪切實驗，則（38）

顯然，如果Tresca屈服條件正確，則測得的值應相同，即應有（39）

關(guān)于Tresca屈服條件的應用

在主方向已知的情形下，Tresca屈服條件是便于應用的。如不是這樣，應用起來就不大方便。設(shè),即。由（31）和（32）式，有

于是這樣，Tresca屈服條件可寫為：

這樣Tresca屈服條件就能用偏應力張量的不變量來表示。一般來說，應用起來還是不大方便的。上式還可以寫為二、Mises屈服條件（1913年）Tresca屈服條件沒有考慮中間主應力的影響。Mises屈服條件假定（28）式具有如下的最簡形式：

（40）

其中為材料常數(shù)。由上式可見Mises屈服條件與無關(guān)。

由（31）式，上式也可寫為（41）

可見，Mises屈服條件在平面上是一個圓，在主應力空間中則是一個母線與軸線相平行的圓柱面。對于平面應力狀態(tài)，Mises屈服條件可表示為（42）

這在應力平面上是一個橢圓。對Mises屈服條件的物理解釋

材料微元的八面體剪應力或材料微元單位體積的剪切應變能達到一定數(shù)值時，材料微元就將開始進入屈服。八面體剪應力剪切應變比能值的確定值由實驗確定。

例如在簡單拉伸時，應用Mises屈服條件，可以測得（43）

如果采用純剪切實驗，則由（44）

顯然，如果Mises屈服條件正確，則用不同的試驗測得的值應相同，即應有（45）

Tresca屈服條件與Mises屈服條件的簡單比較

在平面上，假定簡單拉伸時兩個屈服面重合，則Tresca六邊形內(nèi)接于Mises圓。此時由（37）、（38）式,和（43）、（44）式，知若以拉伸試驗確定屈服參數(shù)，在純剪切時兩種屈服條件相差最大。

如假定純剪切時兩個屈服面重合，則Tresca六邊形外切于Mises圓。此時由（37）、（38）式和（43）、（44）式

知在簡單拉伸時，兩種屈服條件相差最大。不論哪種情況，最大的相對誤差都是三、最大偏應力屈服條件（或雙剪應力屈服條件）最大偏應力屈服條件

最大偏應力屈服條件的概念最早是由R.Schmidt在1932年提出的。俞茂宏用雙剪應力的概念對上述屈服條件作了說明。最大偏應力屈服條件可用下式表示（46）

上式又可表示為

顯然，考慮到對稱性，上式在平面上構(gòu)成由六條直線圍成的正六邊形。要確定這一六邊形，可利用（30）式。由（30）式的第二式，知正六邊形的一條直線與垂直。由拉壓屈服對稱，可得正六邊形另一條與垂直的直線。類推確定這一六邊形。最大偏應力屈服條件值的確定如果用簡單拉伸確定，則與Tresca屈服條件和Mises屈服條件的簡單比較最大偏應力屈服條件在平面上是一個外接于Mises圓的正六邊形。與Tresca六邊形相比，它的方位相差30。雙剪應力屈服條件

當兩個較大的主剪應力的絕對值之和達到某一數(shù)值時，材料將開始屈服。設(shè)，則主剪應力絕對值可定義為：（47）

雙剪應力屈服條件由下式表示：（48）

最大誰大？上式（雙剪應力屈服條件）與最大偏應力屈服條件（46）式等價，因為若，注意到，有

所以雙剪應力屈服條件與最大偏應力屈服條件等價

由（31）、（32）和（46）式，在未知最大主應力方向時最大偏應力屈服條件可寫為其中§3.6屈服條件的實驗驗證用這樣的試件和加載方式可以實現(xiàn)可變的雙向應力狀態(tài)。

設(shè)圓管的平均半徑為，壁厚為，。在拉力和內(nèi)壓的作用下，圓管近似地處于平均應力狀態(tài)。在柱坐標系中圓管中任意一點的應力分量為：，，（49）如果，則可取，故有：（50）當?shù)扔诹銜r，

這對應于簡單拉伸的情形。當時，

當時，

于是，知在的范圍內(nèi)改變和的比值時，可以得到在內(nèi)不同的值。與Lode的實驗結(jié)果比較

設(shè)，規(guī)定拉伸時各種屈服條件是重合的（即各種屈服條件的參數(shù)都以拉伸試驗來加以確定）。對Tresca屈服條件，有（51）

對于Mises屈服條件，由（41）式,，,和（43）式，有上式還可以表示為

因此屈服條件可以寫為（52）利用（30）和（31）式對于最大偏應力屈服條件,由，所以，或從上式中可解出而當時，但由最大偏應力屈服條件因此而當時，由最大偏應力屈服條件因此于是最大偏應力的屈服條件可寫為（53）

可知，以為縱坐標，以為橫坐標，將（51）、（52）和（53）式與試驗結(jié)果比較，便可看出哪種屈服條件更為接近真實結(jié)果。二、薄圓管受拉力和扭矩的聯(lián)合作用（Taylor-Quinney，1931年）在拉力和扭矩的作用下，（54）相應的主應力為：相應的主偏應力為：（55）（56）從而（57）

當時，，對應于簡單拉伸的情形。

當時，，對應于純剪切的情形。

于是，改變和的比值，可以得到在內(nèi)不同的值。

仍規(guī)定拉伸時各種屈服條件是重合的。對Tresca屈服條件，有或

（58）

對于Mises屈服條件，有（59）

或

對于最大偏應力屈服條件。由（56）式知，當時，。且，因此最大偏應力屈服條件可寫為或

（60）

于是，以為縱坐標，以為橫坐標，將（58）、（59）和（60）式與試驗結(jié)果比較便可看出哪種屈服條件更為接近真實結(jié)果回推法得到的屈服面(引自蘇莉－西北工業(yè)大學2007年碩士論文)鋼薄圓管軸向拉壓/扭轉(zhuǎn)測試初始屈服面§3.7*巖土力學中的庫倫屈服條件確定B點如何確定A點？π平面上I1＝0故由（66）式§3.8加載條件屈服條件—是指當材料未經(jīng)受任何塑性變形時的彈性響應的界限。加載條件—材料經(jīng)受過塑性變形后的彈性響應的界限。（68）

是用于刻劃塑性變形歷史的內(nèi)變量參量。在應力空間中，這是一個以為參數(shù)的曲面，稱之為加載曲面。

需要說明的幾點：隨的變化，加載曲面的大小、形狀和位置都要發(fā)生變化。

應力狀態(tài)不能位于加載曲面之外（不考慮應變率效應時）應力位于加載曲面之內(nèi)時，應力的改變不引起的變化，材料也不產(chǎn)生新的塑性變形。應力位于加載曲面之上時，繼續(xù)加載將使得改變，材料產(chǎn)生新的塑性變形，加載曲面也將變化。加載曲面的變化可用下式來描述：