2021年 北京海淀高三一模 數(shù)學(xué)

2021京海淀高三一模數(shù)

學(xué)2021.本試卷共6頁(yè)150分考試時(shí)120分。考生務(wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回。第部（擇共40）一選題10題每小4分，40分在小列的個(gè)選中選符題要的一。1．海一模已知集合A＝，＝xx≥A∪＝，實(shí)數(shù)a的值范圍是（∞、）（∞，1]】B

（＋）（），＋∞）2．海一模如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為．復(fù)數(shù)yP2-1x

i

的虛部為（）

（）﹣1

（）

（）2】A1/

3．海一模已知a}為差數(shù)列S為其前n項(xiàng)．若a＝S＝，則a＝nn551（）﹣

（）﹣4

（）3

（）﹣】4．海一模在

(x)

的展開式中x4

的系數(shù)為12，則的為（）

（）﹣2

（）1

（）﹣】B5．海一模函①(xsinx，②fx)cosx，

f()(

中，周期是且奇函數(shù)的所有函數(shù)的序號(hào)是（）①②（）②（）③（D）②③】D6．海一模已函數(shù)(x)足(1)f)，當(dāng)x＞時(shí)，f(x)logx，ff(2（）﹣

（）﹣1

（）1

（）3】7．海一模已知a，是位向量＝＋2，若⊥，c＝（）

（）

（）3

（）】2/

21nn21nn8．海一模已知點(diǎn)xx)11率為的

，xx2)2

，C(0,)，eq\o\ac(△,“)是邊三角是直線AB的斜4（）充分而不必要條件（）充分必要條件】A

（）必要而不充分條件（）既不充分也不必要條件9．海一模設(shè)無(wú)窮等比數(shù)列{a的項(xiàng)為S若a＜＜，nn121（）S為遞減數(shù)列（）數(shù)列有大項(xiàng)】D

（）S}為遞增數(shù)列n（）數(shù)列S有最小項(xiàng)n10．海淀一模我魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)造了一個(gè)稱為牟方的立體圖形來(lái)推算球的體積，如圖，一個(gè)棱長(zhǎng)為2的立方體內(nèi)作兩個(gè)互相垂直的內(nèi)切圓柱，其相交的部分就是牟合蓋，如圖，設(shè)平行于水平面且水平面距離為的平面為，記平面a截牟合方蓋所得截面的面積為，函數(shù)S＝f(h)的圖象是水平面1

23/

SaO2a（）S

（）aO2a（）（）】D第部（選題分二、填空題共5小，每小題5，共25分。．海一已函數(shù)f(x＝＋若曲線＝(x點(diǎn)（，）處的切線的斜率為2則實(shí)數(shù)的是____________．】﹣112．海一模已雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則該雙曲線的離心率．213．淀一模已點(diǎn)O，，(1，，m0)(m＞則4/

,

=_____________

51123511234123若是OA為的矩形的項(xiàng)點(diǎn)，則m＝．

14．海一模若數(shù)，滿方程組

，則的一值是_．2】0答案不唯一．滿足k或3

2,kZ

即可．15．海淀一)對(duì)平面直角坐標(biāo)系xOy中兩組點(diǎn)，如果存在一條直線ax＋＝使兩點(diǎn)分別位于該直線的兩側(cè)，則稱該直線“類直”對(duì)于一條分類直線，記所有的點(diǎn)詞的距離的最小值為，約定d越，分類直線的分類效果越好，某學(xué)校高三）出的位同學(xué)在2020年期間網(wǎng)購(gòu)文具的費(fèi)x（單位：百元）網(wǎng)購(gòu)圖書的費(fèi)用y（位：百元）的情況如圖所示，現(xiàn)將，，和P歸第組點(diǎn)，樽QQ，歸為第II組點(diǎn)，在上述約定下，可得這兩組點(diǎn)的分類效果最好的分類直線，記為L(zhǎng)給出下列四個(gè)結(jié)論：百元）

O1.5

QQ

Q

百元）①直x＝2.5比線－－＝的類效果好；②分直線L的率為；③該另一位同學(xué)小明的網(wǎng)購(gòu)文具與網(wǎng)購(gòu)圖書的費(fèi)用均為300元?jiǎng)t小明的這兩項(xiàng)網(wǎng)購(gòu)花銷的5/

11費(fèi)用所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與第II組位于的側(cè)；④如從第組點(diǎn)中去掉點(diǎn)P，組保持不，則分類效果最好的分類直線不是L．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)．】②③④三解題6小，85分。答寫文說(shuō)、算驟或明程16．海一模如，在四邊形ABCD中ABCD，＝，CD＝，＝

，cos

ADB

13

．

D（）cosBDC；（）BC的．

B解：（）在△ABD

中，因?yàn)閏os

63

，

13

，所以A1

32，ADB1cos．33所以

cosABDADB)AsinAsin)

61．3339因?yàn)?/CD，所以ABD．6/

所以cosBDCcosABD

69

．（Ⅱ）在△ABD

中，由正弦定理得

BDABsinAsin

．因?yàn)?/p>

，所以

6

．因?yàn)?/p>

CD

，在△CBD中由弦定理得BDCDBD

69

．所以BC1117．海一模在圖所示的多面體中ABCD，四邊形ACFE為形，AB＝＝，ADCD＝2．（）證：平面平CDF；（）平面∩面CDFl，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇若干個(gè)作為已知，使二面角B－的小確定，并求此二面角的余弦值．條件①AB⊥；條件②AE⊥平面ABCDF

條件③：平面AED⊥面ABCD．7/

解：（）因?yàn)樗倪呅螢樾?，所?/AE．

，又因?yàn)锳B/CD，ABA平，平，

F

DCD平面，平CDF，

所以平面ABE//平CDF．（Ⅱ）選擇①②，或①②③

C因?yàn)锳E面，AB面，AD平ABCD，所以AEAB，．又因?yàn)锳D，所以分別以，AD，AE所的直線為，y軸，軸立如圖所示的空間直角坐系，由題意得B，E(0,0,1)，所以，BF．

．設(shè)平面的法向量為nx,y,z

，則

BE

即

xy0.令x，y

，z．于是n1,1)

．由（Ⅰ可得：AD面．取平面CDF的個(gè)法向量為

．所以cosn

mm||n

33

．8/

所以二面角B的弦值為選擇①③

33

．因?yàn)槠矫鍭ED平ABCD，面AEDABAD，AB平ABCD，所以平面AED．又因?yàn)槠?，所以．在矩形，AEAC．

平面ABCDAD，因?yàn)锳B平ABCD，平，

AC

，所以面．又因?yàn)锳D面ABCD，所以AE．分別以AB，，所的直線為x軸，y軸軸立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意得B(1,0,0)，，(2,2,1)所以BE1,0,1)，BF(1,2,1)

．設(shè)平面的法向量為xyz

，則

即xy令x，

，于是n(1,

．由（Ⅰ可得：AD面CDF．9/

2020取平面CDF的個(gè)法向量為m(0,1,0)

．所以,n

m．|m||n3所以二面角B的弦值為．318．海一模每的月日是聯(lián)合國(guó)教科文組織確定世界讀書”，又稱世界圖書和版權(quán)日，了解某地區(qū)高一學(xué)生讀時(shí)間的分配情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了00名一學(xué)生進(jìn)行線調(diào)查，得到了這500名生的日平均閱讀時(shí)單：小時(shí)，將樣本數(shù)據(jù)分成，2]，，，(4，，，，，，12]，，16]，，九，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．頻率組距0.15a0.050.040.030.020.01

246810121418

日平閱讀時(shí)間（小時(shí)）（）值；（）進(jìn)一步了解這500名生數(shù)字媒體閱讀時(shí)間和紙質(zhì)圖書閱讀時(shí)間的分配情況，從日平均閱讀時(shí)間在（，，三內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了人、現(xiàn)從這人隨機(jī)抽取3人記平均閱讀時(shí)間在14，內(nèi)學(xué)生人數(shù)為，X的布列；（）調(diào)查結(jié)果的頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取20名學(xué)生，（）表示這名生中恰有k學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在10，單位：小時(shí)）內(nèi)的概率，其中＝0，，，，．當(dāng)P（）最大時(shí)，寫出k的值需出結(jié)論）2010/

33132133313213解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖可得：20.050.050.150.050.04解得．（Ⅱ）由頻率分布直方圖可知，這名生中日平均閱讀時(shí)間在組內(nèi)的學(xué)生人數(shù)分別為人人，500人若采用分層抽樣的方法抽取了10人則從日平均閱讀時(shí)間在人50

內(nèi)的學(xué)生中抽取了現(xiàn)從這10人隨機(jī)抽取3人，則的能取值為，1，，3．

610

，6C601PX4，12010

C46，1201010

CC

412030

．所以的分布列為XP

0

3（Ⅲ）

．19．海一模已函數(shù)()＝sin．11/

0000π（）斷函數(shù)f(x)區(qū)間(，)上單調(diào)性，并說(shuō)明理由；2π（）證：函數(shù)f(x在，內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)；2（）函數(shù)g(x)＝

(x)

在區(qū)間1π]上的最小值．解：（Ⅰ）由題意知，fsinxπ因?yàn)?0，)，所以f

π所以f(x)在(0，)單調(diào)遞增．2（Ⅱ）設(shè)h)f

，

2cosxsinxπ當(dāng)x)2所以hx)f

時(shí)，h．在)內(nèi)調(diào)減．2π又因?yàn)閒)，f2

，π所以存在唯一(π2

，使得f

．f()

π與fx在區(qū)間(π)xf)f()

上的情況如下：π(，)2極大值

(π)12/

π所以f(x)在)內(nèi)且有一個(gè)極值點(diǎn)．2（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）可知，f()

在x)

內(nèi)單調(diào)遞增，在(,π)

內(nèi)單調(diào)遞減．又因?yàn)?/p>

f(1)

，f()所以當(dāng)xπ]，f(x)．又因?yàn)楫?dāng)π]

時(shí)，0xπ，所以g()

f(x)1lnxlnπ

，當(dāng)且僅當(dāng)x

時(shí)等號(hào)成立．所以()在π]的最小值為

π

．20．海一模已橢圓M：

yb

(a＞＞過(guò)A－，，(0，兩點(diǎn)．（）橢圓M的離心率；（）橢圓M的頂點(diǎn)為C，點(diǎn)在圓M上P不與橢圓M的點(diǎn)重)直線AB與直線CP交于點(diǎn)Q，線交x軸點(diǎn)S，求證：直線SQ過(guò)定點(diǎn)．解：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)，B(0,1)都橢圓M上所以a，b所以

a

3

．所以橢圓M的心率

e

c3a

．（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）知橢圓的程為

4

，

．13/

ss由題意知：直線的程為2y

．設(shè)P(xy)

（y，）Qyy)，S

．因?yàn)镃,PQ三共，所以有CQ．所以(2)y(2y所以y0y

．所以

yxQ,)．因?yàn)锽S,P點(diǎn)共線，所以

yxs0

，即x．yx所以S(1y

,0)

．所以直線的程為x

yxy1xyyy

，x2yx即x000yy(1)100

．又因?yàn)辄c(diǎn)P

在橢圓M上所以

y．所以直線QS的程為

y

(y．所以直線QS過(guò)點(diǎn)(2,1)方法二：直線QS過(guò)點(diǎn)，理由如下：14/

42nnn42nnn設(shè)直線

1為（k且k）12直線CP為yx

（0

且k）．所以直線BP與

軸的交點(diǎn)

1S

．因?yàn)橹本€AB的程為

x所以直線

與線AB的點(diǎn)Q(

4k4k,2

．所以直線的率k

2

1，直線的率．所以

1(k)11k)224

．將kx

代入方程y得

0

．所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x

84

，則

4k4k

．將點(diǎn)P的標(biāo)代入直線CP的程k(2)

，整理得k

kkk

k．所以

kk

因?yàn)?k所以1k2k4k0所以k

．所以直線QS過(guò)點(diǎn)T(2,1)．21．海一模已無(wú)窮數(shù)列a，對(duì)于m∈N*，若a同時(shí)滿足以下三個(gè)條件，則稱數(shù)列a}15/

nnnnnnnnTannnnnnnnTann具有性質(zhì))．條件①：＞（＝，，n條件②：存在常數(shù)T＞，得≤（＝，，n條件③：＋＝（＝，，…nn+1n（）＝＋

×()

（＝，，數(shù){a具性質(zhì)P)，接寫出m的和一個(gè)T的值；（）否存在具有性質(zhì)的數(shù)列a}？若存在，求數(shù)a}的通項(xiàng)公式；若不存在說(shuō)明理由；（）數(shù)列a具有性質(zhì)m，且各項(xiàng)均為正整數(shù)，求數(shù){a}的項(xiàng)公式．解：（）m；案不唯一，如．（Ⅱ）不存在具有性質(zhì)的數(shù)列{}理由如下：假設(shè)存在具有性質(zhì)P的數(shù)列，設(shè)為{}則