2021屆高考內、外接球的沖刺專題(原卷版)

2021屆高考內、外接沖刺專題一、幾類常用的結論設R為外接球的半徑：類型一：正棱椎、圓錐公式：=

l2

l是側棱或母線長，h是正棱椎或圓錐的高）類型二：長方體、正方體或者能夠快速補成長方體或正方體的幾何體公式R

a

2

2

2

2

（、、分別是長方體的長、寬、高）類型三：有側棱垂直底面的椎體或柱體（棱柱、圓柱、棱錐、圓錐）h公式：R（)2

2

2

是側棱長，r是底面外接圓的半徑）備注：三角形外接圓半徑（1）直角三角形：斜邊的一半。（2）一般三角形：正弦定理求解。（

abcR）AsinC（3）球與截面圓圓O的連線垂直于截面圓及球O與弦中點的連線（3）二、幾類常見幾何體球心的位置⑴長方體或正方體的外接球的球心是其體對角線的中點⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心連線的中點⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心連線的中點⑷正棱錐的外接球球心在其高上體位置可通過建立直角三角形運用勾股定理計算得到.⑸若棱錐的頂點可構成共斜邊的直角三角形公共斜邊的中點就是其外接球的球心.三、幾類常見長方體、正方體補形法⑴正四面體、三條側棱兩兩垂直的正三棱錐、四個面都是直角三角形的三棱錐⑵同一個頂點上的三條棱兩兩垂直的四面體、相對的棱相等的三棱錐⑶若已知棱錐含有線面垂直關系，則可將棱錐補成長方體或正方體⑷若三棱錐的三個側面兩兩垂直，則可將三棱錐補成長方體或正方體1

四：常見幾何體的外接球小結1、設正方體的棱長a求（1）內切球半徑；）外接球半徑；（3）與棱相切的球半徑。（1）截面圖為正方形EFGH的內切圓，R

a2

；（2）與正方體各棱相切的球：球與正方體的各棱相切，切點為各棱的中點，如圖2。作截面圖，O為正方形EFGH的外接圓，易得R

22

a（3）正方體的外接球：正方體的八個頂點都在球面上，如圖3，以對角AA作截面圖得，O為矩形AACC的外接圓，易R

32

a。圖1

圖

圖32、正四面體的外接球和內切球的半徑（正四面體棱長a也是球心）內切球半徑為：r外接球半徑為：R

61264

aa正四面體的高：h

63

a球O為正四面體高的四等分點，內心、外心兩心合一。2

一、基礎過關12021·林長春市高其他模擬（理））已知圓柱上下底面圓周均在球面上，且圓柱底面直徑和高相等，則該球與圓柱的體積之比為（）A．

B．

5

C．

．

2天高三二模矩形

ABCD

的頂點都在半徑為4的

的球面上

，BC，則棱錐ABCDA．3C．243

的體積為（）B．8．363．（全國高三專題練習（文））已知正四面體P接于球O，E底面三角形

一邊的點，過點作球

的截面，若存在半徑為的面圓，則正四面體

ABC

棱長的取值范圍是（）A．[2，C．[23]

B．[．[24川高三月考（文））一塊邊長10cm的正方形鐵片如圖所示的陰影部分截下，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器個正四棱錐的外接球的表面積為（）A．

2894

B．

28916

C．

．

5西高三三模（理））在三棱ABC中，是邊三角形，頂在底面

的投影是底面的中心，側V

側面

AC

，則此三棱錐的體積與其外接球的體積之比為（）A．

B．

C．

39

．

93

6．（江西上饒市高三三模（理））羅德島太陽神巨像是古代世界七大跡之它是希臘太陽神赫利俄斯的青銅鑄像如圖所示陽神赫利俄斯手中所持的幾何含火焰近似是一個底面相同的兩個圓錐合在一起方向投影過去平面幾何圖形形狀是上方內角為60為的.在其中一個圓錐中放置一個球體，使得球與圓錐側面、底面均相切，則該球的體積為（）A．

481

B．

4327

C．

827

．

32277．（全國高三其他模擬（文））在三棱錐

中，ABAC7,tanBAC積是（）

32

此三棱錐的體積最大時三棱錐外接球的體A．π

B．

C．

3

．

928．2021·天高三二模）在《九章算術》中，將底面為矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬．已知四棱錐MABCD為馬，側棱MA底面ABCD，MA

，

，．若該四棱錐的頂在都在同一球面上，則該球的表面為（）A．

B．20

C．

25

．

4

二、強化訓練1．2021·江高三其他模擬（理））在三棱P

中，

△

是等邊三角形，平面

平面ABCAB360，三棱錐P的接球體積為（）A．

3

B．

3

C．

3

．

2．川雅安市高三三模（理））在四面體ABCD中，已知平面ABD平

，且

ADDBACCB

，其外接球表面積為（）A．

403

B．

803

C．

．

3西西安市西北工業(yè)大學附屬中學高三其他模擬）已知四面體ABCD的每個頂點都在球的表面上，

AC

，

，

底面ABC，為

ABC

的重心，且直線DM與底面所角的正切值為

12

，則球的表面積是（）A．

623

B．

6349

C．

6719

．

25099

4．2021·河鄭州市·三二模（文））已知三棱錐的各頂點都在球的表面上，面ABC，AB，，AC，是線段

上一點，且

．過點D球

的截面，若所得截面圓面積的最大值與最小值之差為28

，則球的面積為（）A．

128

B．

132

C．

144

．

1565．（全國高三其他模擬）已知三棱錐

ABC

中，點D平面

ABC

上的投影恰為點A，，F(xiàn)分為棱BC，CD的中點，直線DE，BF相于點，直線DG平面

ABC

所成角為若AC

33

3，三棱錐

ABC

外接球的表面積為（）A．98π

B．

π

C．

π

．

π5

6．2021·千縣中學高三其他模擬（文））某四棱錐的三視圖如圖所示，則此四棱錐的內切球的半徑為（）A．

B．22

C．

．27．（全國高三其他模擬）在正四棱錐

中，2，

，點

為四棱錐

外接球球面上一點，且點，Q不平面ABCD

的同一側，則三棱錐ABC

體積的最大值為（）A．12B．

274

C．

814

．8北石家莊市高三二模在三棱錐ABC中面ABC，，2，a，動點從B點發(fā)，沿外表面經過棱PC上點到點A的短距離為10，該棱錐的外接球的表面積為（）A．5

B．

C．

10

．

9．東高三一模）切割是焊接生產備料工序的重要加工方法，各種金屬和非金屬切割已經成為現(xiàn)代工業(yè)生產中的一道重要工.焊工件所需要的幾何形狀和尺寸，絕大多數(shù)是通過切割來實現(xiàn)的原料利用率是衡量切割水平的一個重要指現(xiàn)把一個表面積為28球形鐵質原材料切割成為一個底面邊長和側棱長都相等的正三柱工業(yè)用零配件該零配件最大體積為（）6

A．B．3

C．D．

3102021·黑江齊齊哈爾·高三二文某圓錐的側面展開后是一個圓心角為的扇形，則該圓錐的體積與它的外接球的體積之比為（）

A．

243256

B．

C．

128729

．

11．西太原市高三一模（文））已知正四面體BCD的長，點E在AB上

作面體

外接球的截面所作截面面積最小值）A．

103

B．3

C．

3

．

12．陜西安市高三二模（文））已知四棱錐P底面ABCD是形，其中AD，AB，，，直線PB與CD所角余弦值為

31313

，則四棱錐外接球表面積為（）A．

283

B．

3

C．

433

．

313．四成都市高三三模（文））在三棱錐

ABC

中，已知面

，ABAC，BAC的半徑為（）

23

.若棱錐PABC的頂點都在球O的面球A．

B．2

C．3

．14．2021·江贛州市高二模（文））如圖，菱A的長為6，BAD

3

，將其沿著對角線BD折至直二面角

A

，連接

AC

，得到四面體

，則此四面體的外接球的表面積為（）7

A．

56

B．

72

C．36

．6015．全高三月考（文））已知面積為

334

的

的頂點都在球

的球面上，

，點是

的球面上一動點，且點D到面

的最大距離為

3

，則球

的表面積為（）A．

25

B．

509

C．

．

16（2021·安徽高三月考（文）已知三棱ABC

的每個頂點都在球

的球面上，平面ABC平面，，，AB，PB，三棱錐ABC

外接球的表面積為（）A．

503

B．

C．

．32

．2021·北襄陽市襄陽五中高三二模）蹴鞠（如圖所示），又蹴球、蹴圓、筑球、踢圓等，蹴有用腳蹴、踢的含義，鞠最早系外包皮革、內實米糠的.因蹴鞠就是指古人以腳蹴、塌、踢皮球的活動，類似今日的足.

年日，蹴鞠已作為非物質文化遺產經國務院批準列入第一批國家非物質文化遺傳名.知某蹴鞠的表面上有四個點S、A、B、

C

，滿足

SABC

為正三棱錐，是

SC

的中點，且

AM

SB

，側棱

2

，則該蹴鞠的表面積為（）A．

B．

C．32

．

3618．浙高三專題練習）已知圓錐的頂點和底面圓周都在球O面，圓錐的側面展8

323323開圖的圓心角為

2

，面積為3，則球O的面積等于（）A．

818

B．

812

C．

．

19．全高三專題練習）《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬；將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．若三棱錐PABC為鱉臑⊥平面ABC＝＝AC4，棱錐的四個頂點都在球的面上，則球O的表面積為（）A．π

B．

C．20π

．π20．2021·射縣第二中學高二學考試）已知球O是棱錐PABC的接球，

，則點到面

的距離取最大值時球

的表面積是（）A．

163

B．

C．27

163．321．山煙臺市高三二模）在一次綜合實踐活動中，某手工制作小組利用硬紙板做了一個如圖所示的幾何模型，底面

為邊長是4的方形，半圓面底面

經究發(fā)現(xiàn)當在圓弧AD（含A，D點運時三錐的外接球始終保持不變，則該外接球的表面積．22．全高三三模）我國古代數(shù)學名著《九章算數(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱棱垂直于底面的三棱柱稱“塹堵棱柱

BC11

為一個塹”，底面

是以

為斜邊的直角三角形，

如三棱柱

BC11

有半徑為9

1的切球，則三棱柱

C的接的面積為．11

三、綜合提升1．（四川宜賓·高三二模（理））在三棱錐

中，

ABC

是邊長為的等邊三角形且平面ABC平面，三棱錐DABC的個頂點都在同一個球面上，且該球的表面積為

，則三棱維

D

體積的最大值為__________.2．（山西臨汾市高三一模（理））在棱長為2的方體

ABC111

中，平面

B1

，則以平截方體所得的截面面積最大時的截面為底面以B為頂點的錐體的外接球的表面積為（）A．

B．

253

C．

203

．

3．（全國高三其他模擬（理））在四棱錐

P

中，已知面ABCD,BCADCD且PAAD2的體積為（）

則該四棱錐外接球A．4

B．

203

C．

203

．54．千陽縣中學高三其他模擬（理））《九章算術中記載：將底面為直角三角形的直三棱柱稱“塹堵一“塹堵沿一頂點與相對的棱剖開到一個陽馬(底面是矩形，且有一條側棱垂直于底面的四棱)和個鱉”四面均為直角三角的四面.在如圖所示的塹堵（）

BC11

中，BB，，.下列結論中正確的是A．塹堵

BC11

的內切球半徑為3B．馬

11

的外接球的表面積為

1

C．點MN分別在線段上，則M1

的最小值為面ABC

分別截塹堵

BC11

所得上方部鱉

ABB1

的下方部分的體積之比為：5．（全國高三專題練習（理））已知四面體

是球

的內接四面體，且球

的一條直徑ADBD

有下面四個結論

的表面積為1

AC上存在一點M得AD/BM

若為CD的點ON面體

體積的最大值為

.其中正確結論的個數(shù)是（）A．

B．

C．

3

．462021·曲市第二中學高三二（如在梯形ABCD中AB//，D，將該圖形沿對角線折成圖的三棱錐B且，ADCD2則此三棱錐外接球的體積___________.

2

，7．（全國高三專題練習）已知半球與臺OO的底面，圓臺上底面圓周