高中數(shù)學(xué)人教A版第四章圓和方程 第27課時

第27課時直線與圓的位置關(guān)系課時目標(biāo)1.會用代數(shù)方法和幾何方法討論直線與圓的三種位置關(guān)系．2．掌握求圓的切線的方法．3．初步學(xué)習(xí)、體會分類討論的數(shù)學(xué)思想，養(yǎng)成嚴謹?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度．識記強化直線與圓位置關(guān)系的判定有兩種方法：①代數(shù)法：通過直線方程與圓的方程所組成的方程組，根據(jù)解的個數(shù)來研究，若有兩組不同的實數(shù)解，即Δ＞0，則相交；若有兩組相同的實數(shù)解，即Δ＝0，則相切；若無實數(shù)解，即Δ＜0，則相離．②幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來判斷：當(dāng)d＜r時，直線與圓相交；當(dāng)d＝r時，直線與圓相切；當(dāng)d＞r時，直線與圓相離．課時作業(yè)一、選擇題(每個5分，共30分)1．直線3x＋4y＋12＝0與⊙C：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系是()A．相交并且直線過圓心B．相交但直線不過圓心C．相切D．相離答案：D解析：圓心C(1,1)到直線的距離d＝eq\f(|3×1＋4×1＋12|,\r(32＋42))＝eq\f(19,5)，⊙C的半徑r＝3，則d＞r，所以直線與圓相離．2．設(shè)直線過點(0，a)，其斜率為1，且與圓x2＋y2＝2相切，則實數(shù)a的值為()A．±4B．±2eq\r(2)C．±2D．±eq\r(2)答案：C解析：由題意，知直線方程為y－a＝x，即x－y＋a＝0.又直線與圓相切，所以eq\f(|a|,\r(2))＝eq\r(2)，所以a＝±2.3．圓x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直線x－y－5＝0所得的弦長等于()\r(6)\f(\r(6),2)C．1D．5答案：A解析：圓的方程可化為(x－2)2＋(y＋2)2＝2，則圓的半徑r＝eq\r(2)，圓心到直線的距離d＝eq\f(|2＋2－5|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以直線被圓截得的弦長為2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(2－\f(1,2))＝eq\r(6).4．與⊙C：x2＋(y＋4)2＝8相切并且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線有()A．4條B．3條C．2條D．1條答案：B5．若過點A(0，－1)的直線l與圓x2＋(y－3)2＝4的圓心的距離為d，則d的取值范圍為()A．[0,4]B．[0,3]C．[0,2]D．[0,1]答案：A解析：圓x2＋(y－3)2＝4的圓心坐標(biāo)為(0,3)，半徑為2，點A(0，－1)在圓外，則當(dāng)直線l經(jīng)過圓心時，d最小，當(dāng)直線l垂直于點A與圓心的連線時，d最大，即d的最小值為0，最大值為eq\r(02＋3＋12)＝4，所以d∈[0,4]．6．直線l過點(－4,0)且與圓(x＋1)2＋(y－2)2＝25交于A、B兩點，如果|AB|＝8，那么直線l的方程為()A．5x＋12y＋20＝0B．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0C．5x－12y＋20＝0D．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0答案：D解析：∵圓的半徑為5，|AB|＝8，∴圓心(－1,2)到直線l的距離為3.當(dāng)直線l的斜率不存在時，因為直線l過點(－4,0)，所以直線l的方程為x＝－4.此時圓心(－1,2)到直線l的距離為3，滿足題意．當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0，則圓心(－1,2)到直線l的距離為eq\f(|－k－2＋4k|,\r(k2＋1))＝3，解之得k＝－eq\f(5,12)，∴直線l的方程為－eq\f(5,12)x－y－eq\f(20,12)＝0，整理得5x＋12y＋20＝0.綜上所述，滿足題意的直線l為5x＋12y＋20＝0或x＝－4，故選D.二、填空題(每個5分，共15分)7．圓x2＋y2－4x＝0在點P(1，eq\r(3))處的切線方程為________．答案：x－eq\r(3)y＋2＝0解析：由題意，知圓心為(2,0)，圓心與點P連線的斜率為－eq\r(3)，所以所求切線的斜率為eq\f(\r(3),3)，則在點(1，eq\r(3))處的切線方程為x－eq\r(3)y＋2＝0.8．垂直于直線2x－y＋1＝0且與圓x2＋y2＝5相切的直線的方程為__________．答案：x＋2y＋5＝0或x＋2y－5＝0解析：設(shè)所求直線方程為x＋2y＋m＝0，依題意eq\f(|0＋2×0＋m|,\r(22＋12))＝eq\r(5)，∴m＝±5.9．以C(2，－1)為圓心，截直線x＋y＋1＝0所得的弦長為2eq\r(2)的圓的方程是__________．答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝4解析：已知弦長求圓的半徑，利用r2＝d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))2，r為圓的半徑，eq\f(l,2)為弦長的一半，d為圓心到直線的距離．∵d＝eq\f(|2－1＋1|,\r(12＋12))＝eq\r(2)，eq\f(l,2)＝eq\r(2)，∴r＝eq\r(d2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))2)＝2，∴圓的方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝4.三、解答題10．(12分)設(shè)圓上的點A(2,3)關(guān)于直線x＋2y＝0的對稱點仍在圓上，且直線x－y＋1＝0被圓截得的弦長為2eq\r(2)，求圓的方程．解：設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由題意，知直線x＋2y＝0過圓心，∴a＋2b＝0.①又點A在圓上，∴(2－a)2＋(3－b)2＝r2.②∵直線x－y＋1＝0被圓截得的弦長為2eq\r(2)，∴(eq\r(2))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a－b＋1|,\r(12＋－12))))2＝r2.③由①②③可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝6,b＝－3,r2＝52))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝14,b＝－7，,r2＝244))故所求方程為(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.11．(13分)已知圓C：x2＋(y－1)2＝5，直線l：mx－y＋1－m＝0.(1)求證：對任意的m∈R，直線l與圓C恒有兩個交點；(2)設(shè)l與圓C相交于A，B兩點，求線段AB的中點M的軌跡方程．解：(1)方法一：由已知可得直線l：(x－1)m－y＋1＝0，∴直線l恒過定點P(1,1)．又12＋(1－1)2＝1＜5，∴點P在圓內(nèi)，∴對任意的m∈R，直線l與圓C恒有兩個交點．方法二：圓心C(0,1)到直線l的距離為d＝eq\f(|－1＋1－m|,\r(m2＋1))＝eq\f(|m|,\r(m2＋1))＜eq\f(|m|,|m|)＝1＜eq\r(5)，∴直線l與圓C相交，∴對任意的m∈R，直線l與圓C恒有兩個交點．(2)如圖所示，由(1)，知直線l恒過定點P(1,1)，且直線l的斜率存在．又M是AB的中點，∴CM⊥MP，∴點M在以CP為直徑的圓上．又以CP為直徑的圓的方程為(x－eq\f(1,2))2＋(y－1)2＝eq\f(1,4)，∴點M的軌跡方程為(x－eq\f(1,2))2＋(y－1)2＝eq\f(1,4)(x≠1)．能力提升12．(5分)過點A(11,2)作圓x2＋y2＋2x－4y－164＝0的弦，其中弦長為整數(shù)的共有________條．答案：32解析：圓方程化為(x＋1)2＋(y－2)2＝132，圓心為(－1,2)，到點A(11,2)的距離為12，最短弦長為10，最長弦長為26，所以所求直線條數(shù)為2＋2×(25－10)＝32(條)．13．(15分)已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈(1)證明：不論m取什么實數(shù)，直線l與圓恒交于兩點；(2)求直線被圓C截得的弦長最小時l的方程．解：(1)證明：直線方程可變形為(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0.∵m∈R，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－7＝0,x＋y－4＝0))，?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝