材料現(xiàn)代研究方法2章x

第二章晶體投影和倒易點(diǎn)陣§2-1空間點(diǎn)陣一、晶體的描述數(shù)學(xué)抽象實(shí)際原子規(guī)則排列于空間規(guī)則排列的幾何點(diǎn)構(gòu)成空間點(diǎn)陣空間格架（晶格）平行直線(xiàn)將點(diǎn)連接幾何單元（晶胞）

剛球模型晶格晶胞二、空間點(diǎn)陣空間點(diǎn)陣：點(diǎn)子的空間排列稱(chēng)為空間點(diǎn)陣空間點(diǎn)陣具有周期性。陣點(diǎn)（結(jié)點(diǎn)）：點(diǎn)陣中的每個(gè)幾何點(diǎn)稱(chēng)為陣點(diǎn)。晶格：表示晶體中原子排列形式的空間格子叫晶格。三、晶胞、晶系和點(diǎn)陣類(lèi)型1、晶胞晶胞：組成晶格的最基本的幾何單元。原胞：每個(gè)角上有一陣點(diǎn)的最小平行六面體稱(chēng)為原胞選取晶胞應(yīng)具有代表性，能更好的代表點(diǎn)陣的對(duì)稱(chēng)性。晶格常數(shù)(點(diǎn)陣參數(shù))：晶胞各邊尺寸a、b、c。晶胞各邊之間的夾角以、、表示。2、晶系：由a、b、c、a、b、g6個(gè)參數(shù)按照晶胞的大小和形狀可以將各種晶體歸于7種晶系。晶系點(diǎn)陣常數(shù)間的關(guān)系和特點(diǎn)實(shí)例三斜單斜斜方(正交)正方立方六方菱方abc,abg90oabc,a=b=

90o

g(第一種)

a=g=

90o

b(第二種)abc,a=b=g=90o

a=bca=b=g=90o

a=b=ca=b=g=90o

a=bca=b=

90og=120oa=b=ca=b=g

90oK2CrO7-SCaSO4.2H2Oa-S,Ga,Fe3Cb-Sn,TiO2Cu,Al,a-Fe,NaClZn,Cd,Ni-AsAs,Sb,Bi7種晶系3、14種布拉菲點(diǎn)陣：7種晶系可以形成14種空間點(diǎn)陣。三斜點(diǎn)陣

abc,abg90o單斜

abc,a=b=

90o

g

斜方（正交）

abc,a=b=g=90o

正方點(diǎn)陣a=bca=b=g=90o立方點(diǎn)陣a=b=ca=b=g=90o六方點(diǎn)陣a=bca=b=

90og=120o菱方點(diǎn)陣a=b=ca=b=g

90o四、布拉菲點(diǎn)陣與晶體結(jié)構(gòu)布拉非點(diǎn)陣：由等同點(diǎn)(表示原子分布規(guī)律的代表點(diǎn))構(gòu)成的點(diǎn)陣叫布拉菲點(diǎn)陣（簡(jiǎn)稱(chēng)點(diǎn)陣）。晶體結(jié)構(gòu)：晶體中原子的集合（或分布）。簡(jiǎn)單金屬，晶體結(jié)構(gòu)和點(diǎn)陣沒(méi)有差別。如:Cu,Ag,Au,Al,Ni,Pt,Pb,-Fe等都是面心立方(FCC).而V,Nb,Cr,Mo,W,-Fe等都是體心立方(BCC).但是對(duì)于其他一些具有復(fù)雜結(jié)構(gòu)的金屬和合金，晶體結(jié)構(gòu)就不同于點(diǎn)陣。如：Zn,Cd,Mg,Be,-Ti,-Zr,等金屬都具有簡(jiǎn)單六方點(diǎn)陣，原子不僅分布在晶胞頂點(diǎn)上，而且還分布在(1/3,2/3,1/2),(1/3,-1/3,1/2),(-2/3,-1/3,1/2)處。晶體結(jié)構(gòu)相似而點(diǎn)陣不同具有相同點(diǎn)陣的晶體結(jié)構(gòu)五、晶胞與原胞選擇晶胞應(yīng)盡量滿(mǎn)足的條件：

1、能反映點(diǎn)陣的周期性還能包含整個(gè)陣點(diǎn)。

2、能反映點(diǎn)陣的對(duì)稱(chēng)性。

3、晶胞的體積最小。第一種方法：保證對(duì)稱(chēng)性的前提下選取體積盡量小的晶胞。這種反應(yīng)點(diǎn)陣對(duì)稱(chēng)性的晶胞也叫結(jié)構(gòu)胞。第二種方法：只要求晶胞的體積最小。而不一定反映點(diǎn)陣的對(duì)稱(chēng)性。通常稱(chēng)為原胞。

FCC的原胞與晶胞晶胞體積a3原胞體積a3/4BCC的原胞與晶胞晶胞體積a3原胞體積a3/2密排六方晶體的晶胞與原胞六、晶面指數(shù)和晶向指數(shù)晶面：穿過(guò)晶體的原子面（平面）稱(chēng)為晶面。晶向：連接晶體中任意原子列的直線(xiàn)方向稱(chēng)為晶向。晶面、晶向指數(shù)：表示各種晶面和晶向位向的統(tǒng)一標(biāo)號(hào)。（通用密勒指數(shù)）一、晶面和晶向指數(shù)的確定（一）、三指數(shù)表示晶面指數(shù)的確定及表示方法：

1.確定坐標(biāo)系：2.求截距：求出待定晶面在三個(gè)軸上的截距

確定三要素：原點(diǎn)、坐標(biāo)軸、單位長(zhǎng)度3.取倒數(shù)：取這些截距的倒數(shù)

4.化簡(jiǎn)：將上述倒數(shù)化為最小的整數(shù)，并加上園括號(hào)“()”，即為晶面指數(shù)。如（110）在立方晶體晶格中最常用有三個(gè)晶面，如右圖所示，分別為：晶面指數(shù)一般可記為。如果晶面得到負(fù)截距則在所得到指數(shù)上方冠以負(fù)號(hào)，如（）(hkl)

（110）、（111）、

（100）最常用有三個(gè)晶面，晶向指數(shù)的確定及表示方法1.確定坐標(biāo)系：三要素,原點(diǎn)、坐標(biāo)軸、單位長(zhǎng)度2.引平行線(xiàn)：3.求坐標(biāo)：通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)引一直線(xiàn)平行于所求的晶向求出該直線(xiàn)上任一點(diǎn)的坐標(biāo)4.化簡(jiǎn)：按比例化為最小整數(shù)，加一方括號(hào)，“[]”，即為所求晶向指數(shù)。如[112]晶向指數(shù)一般可記為。如果晶向得到負(fù)坐標(biāo)值則在所得到指數(shù)上方冠以負(fù)號(hào)，如[]注意：一個(gè)晶面指數(shù)或晶向指數(shù)是代表一組相互平行的另外：在立方晶格中，具有相同指數(shù)的晶面與晶向之間是相互垂直的。在立方晶體晶格中最常用有三個(gè)晶向，如右圖所示，分別為：、［110］［111］、［100］最常用有三個(gè)晶向，晶面或晶向（在其上原子的排列方式是相同的）[uvw]晶面族{hkl}及晶向族<uvw>晶面族{hkl}

：表示位向不同但其原子排列相同的一組晶面晶向族<uvw>:表示方向不同但其原子排列相同的一組晶向如：｛100｝表示(100)、(010)、(001)三個(gè)晶面｛110｝表示(110)(110)(101)(101)(011)011)六個(gè)晶面｛111｝表示(111)(111)(111)(111)四個(gè)晶面

〈100〉表示[100]、[010]、[001]等一組晶向七、晶體的對(duì)稱(chēng)性(一)、對(duì)稱(chēng)要素和對(duì)稱(chēng)變換對(duì)稱(chēng)性：若一個(gè)物體（或晶體圖形）當(dāng)對(duì)其施行某種規(guī)律的動(dòng)作以后，它仍然能夠恢復(fù)原狀（即其中點(diǎn)、線(xiàn)、面都與原始的點(diǎn)、線(xiàn)、面完全重合）時(shí)，就把該物體（圖形）所具有的這種特性稱(chēng)之為對(duì)稱(chēng)性。對(duì)稱(chēng)變換（操作）：借助某種幾何要素，能使物體（或?qū)ΨQ(chēng)圖形）恢復(fù)原狀所施行的某種規(guī)律的動(dòng)作。對(duì)稱(chēng)要素（元素）：對(duì)物體（或圖形）進(jìn)行對(duì)稱(chēng)變換時(shí)所借以參考的幾何要素。1、宏觀對(duì)稱(chēng)要素：僅從“有限的晶體圖形”（宏觀晶體）的外觀上的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)、線(xiàn)或面，對(duì)其所施行的對(duì)稱(chēng)變換稱(chēng)宏觀對(duì)稱(chēng)變換。所借助參考的幾何要素為宏觀對(duì)稱(chēng)要素。（1）對(duì)稱(chēng)中心(中心反演）用符號(hào)“i”或表示為一假想的幾何點(diǎn)，相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)變換是對(duì)于這個(gè)點(diǎn)的倒反（反演，反伸）（2）(回轉(zhuǎn))對(duì)稱(chēng)軸:為一假想的直線(xiàn)，相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)變換為圍繞此直線(xiàn)的旋轉(zhuǎn)：每轉(zhuǎn)過(guò)一定角度，各個(gè)相同部分就發(fā)生一次重復(fù)，即整個(gè)物體復(fù)原需要的最小轉(zhuǎn)角稱(chēng)為基轉(zhuǎn)角（）。有1，2，3，4，6次五種只能有1，2，3，4，6次五種回轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)軸分別以1，2，3，4，6符號(hào)表示（3）對(duì)稱(chēng)面：為一假想的平面，相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)變換為對(duì)此平面的反映。用符號(hào)“m”表示（4）旋轉(zhuǎn)–反演軸（倒轉(zhuǎn)軸）：是一種復(fù)合的對(duì)稱(chēng)要素。它的輔助幾何要素有兩個(gè)：一根假想的直線(xiàn)和此直線(xiàn)上的一個(gè)定點(diǎn)。相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)變換就是圍繞此直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一定的角度及對(duì)于此定點(diǎn)的倒反。用符號(hào)表示

一次旋轉(zhuǎn)-反演軸就是對(duì)稱(chēng)中心二次旋轉(zhuǎn)-反演軸就是對(duì)稱(chēng)面三次旋轉(zhuǎn)-反演軸四次旋轉(zhuǎn)-反演軸2.微觀對(duì)稱(chēng)要素：還包括平移對(duì)稱(chēng)性。（1）平移軸為晶體結(jié)構(gòu)中一根假想的直線(xiàn)，圖形沿此直線(xiàn)移動(dòng)一定距離，可使相同部分重復(fù)。使圖形復(fù)原的最小距離稱(chēng)為平移軸的移距。晶體結(jié)構(gòu)中任一行列方向都是一個(gè)平移軸，行列的結(jié)點(diǎn)間距即為平移軸的移距，因此任何一個(gè)空間格子均有無(wú)窮多的平移軸。（2）

滑移(對(duì)稱(chēng))面：晶體結(jié)構(gòu)中一個(gè)假想的平面，當(dāng)結(jié)構(gòu)圖形對(duì)平面反映，并在平行此平面的方向上移動(dòng)一定距離后而復(fù)原。結(jié)構(gòu)中的每一質(zhì)點(diǎn)都和與其相同的質(zhì)點(diǎn)重合。（先平移后反映，效果相同）符號(hào)：如平移a/2b/2c/2寫(xiě)作a,b,c;

如沿對(duì)角線(xiàn)平移1/2寫(xiě)作n；如沿面對(duì)角線(xiàn)平移1/4寫(xiě)作d。(a)為對(duì)稱(chēng)面(b)為沿a滑移a/2的滑移面a（3）螺旋(對(duì)稱(chēng))軸

晶體結(jié)構(gòu)中一根假想直線(xiàn)，當(dāng)結(jié)構(gòu)圍繞此直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一定角度，并沿此直線(xiàn)方向平移一定距離后，結(jié)構(gòu)中每一質(zhì)點(diǎn)都和與其相同的質(zhì)點(diǎn)重合。

旋轉(zhuǎn)+平移（先平移后旋轉(zhuǎn)等效）左旋與右旋—螺旋軸按旋轉(zhuǎn)方向分為左旋、右旋、中性三種，左旋符合左手法則，右旋符合右手法則，若同時(shí)按左右旋的性質(zhì)相同時(shí)稱(chēng)為中性螺旋軸。軸次—螺旋軸按基轉(zhuǎn)角也分為二次、三次、四次和六次。每種軸次根據(jù)其移距t與平行該軸的結(jié)點(diǎn)間距T的相對(duì)大小又可分為一種或幾種

螺旋軸的國(guó)際符號(hào)螺旋軸的國(guó)際符號(hào)以右旋為標(biāo)準(zhǔn)而確定：

螺旋軸符號(hào)ns,S=1,2,….,n-1一次螺旋軸：即為平移軸;二次螺旋軸：21(t=1/2T)，如NaCl；三次螺旋軸：31(t=1/3T)，32(t=2/3T)，如-石英

右旋左旋四次螺旋軸：41(t=1/4T)，42(t=2/4T)，43(t=3/4T)，如金剛石

右旋中性左旋六次螺旋軸：61(t=1/6T)，62(t=2/6T)，63(t=3/6T)，64(t=4/6T)，65(t=5/6T)11種螺旋軸：21、31、32、41、42、43、61、62、63、64、65s是自然數(shù)n為軸次右旋中性左旋二次螺旋軸21：旋轉(zhuǎn)180o后平移1/2T.三次螺旋軸31和32：31表示右旋，移距t=1/3T32表示左旋，移距t=1/3T(a)對(duì)稱(chēng)軸(b)螺旋軸(a)對(duì)稱(chēng)軸3(b)右旋31

(c)左旋32四次螺旋軸：41(右旋)、42(中性)、43(左旋)。41、42和43按右旋方向的移距分別為1/4T、2/4T和3/4T。42為雙軌旋轉(zhuǎn)，在兩個(gè)晶胞(2T)的周期內(nèi)復(fù)原。43按左旋方向的移距為1/4T。(a)對(duì)稱(chēng)軸(b)右旋41(c)中性42(d)左旋43(二)、點(diǎn)群及空間群1、點(diǎn)群

晶體可能存在的對(duì)稱(chēng)類(lèi)型可通過(guò)宏觀對(duì)稱(chēng)要素在一點(diǎn)上組合運(yùn)用而得出，但這些組合并不是任意的，只能有32種對(duì)稱(chēng)類(lèi)型，稱(chēng)為32種點(diǎn)群。點(diǎn)群描述理想晶體的宏觀外形。晶體學(xué)中，點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作只能有軸次為1,2,3,4,6的旋轉(zhuǎn)軸和反演軸。（對(duì)稱(chēng)中心=，鏡面=）共有10種對(duì)稱(chēng)操作。組合成32種點(diǎn)群。2、空間群

空間群用以描述晶體中原子組合的所有可能方式，它是通過(guò)宏觀和微觀對(duì)稱(chēng)要素在三維空間的組合而得出的。屬于同一點(diǎn)群的晶體可因其微觀對(duì)稱(chēng)要素的不同而分屬不同的空間群。晶體學(xué)家們已經(jīng)應(yīng)用空間群的幾何理論證實(shí)了晶體中可能存在的空間群有230種，分屬32種點(diǎn)群?？臻g群表示晶體結(jié)構(gòu)內(nèi)部的原子及離子間的對(duì)稱(chēng)關(guān)系。

7個(gè)晶系和14種布拉菲點(diǎn)陣的點(diǎn)群和空間群數(shù)正方菱方八、常見(jiàn)晶體結(jié)構(gòu)及其幾何特征幾個(gè)描述晶體的幾何特征參數(shù)：1、配位數(shù)：一個(gè)原子周?chē)淖罱徳訑?shù)稱(chēng)配位數(shù)。通常用CN表示。如CN12。2、緊密系數(shù)K（或堆垛密度）:3、晶胞內(nèi)原子數(shù)n：每個(gè)晶胞內(nèi)所包含的原子數(shù)4、間隙：球形原子間的空隙。（一）體心立方晶格【BCC】八個(gè)原子占據(jù)立方體八個(gè)角，在立方體的體積中心還有一個(gè)原子。（如右圖）1晶胞內(nèi)原子數(shù)：1/8×8+1=22原子半徑：a3配位數(shù)：84堆垛密度：（二）面心立方晶格【FCC】八個(gè)原子占據(jù)立方體八個(gè)角，在立方體各面中心還有一個(gè)。（見(jiàn)右圖）1晶胞內(nèi)原子數(shù)：1/8×8+1/2×6=43配位數(shù)：124堆積密度：2原子半徑：a（三）密排六方晶格【HCP】以12個(gè)原子為頂點(diǎn)構(gòu)成簡(jiǎn)單六方柱體，在柱體上下兩個(gè)底面中心還各有一個(gè)原子。另在兩個(gè)底面之間還有3個(gè)原子。理論計(jì)算表明：c/a=1.633

§2-2晶體投影晶體投影：按一定規(guī)則表示各晶面或晶向分布的圖形。一、球面投影將晶體放于球心。投影方法有兩種：跡式：晶面（大園）晶向（點(diǎn)）極式：晶面（極點(diǎn)）晶向（大園）一般晶面采用極式，晶向采用跡式。測(cè)角和旋轉(zhuǎn)欲測(cè)P1和P2間的夾角必須在大園上。欲測(cè)晶體繞軸旋轉(zhuǎn)，則任意極點(diǎn)將繞垂直轉(zhuǎn)軸的小園由起點(diǎn)P和終點(diǎn)P’間的轉(zhuǎn)角。刻度球及其應(yīng)用經(jīng)線(xiàn)；緯線(xiàn)緯度差經(jīng)度差二、極射投影1、定義投影點(diǎn)：N極或S極。投影面：與NS軸垂直的平面。2、極射赤面投影投影點(diǎn)：N極或S極。投影面：赤道平面。2、極射投影的性質(zhì)(1)經(jīng)線(xiàn)的投影為直線(xiàn)（直徑）(2)平行于投影面的大園其極射投影是一個(gè)園(投影基圓)，圓心為投影中心。

(3)平行于投影面的晶向或晶面法向，其投影必在基園上。

(4)只有半個(gè)球上極點(diǎn)的極射投影位于基園內(nèi)。

(4)球面上大園的極射投影是大園弧或直徑。

(5)球面上小園的極射投影也是小園。(6)與NS軸平行的小園的極射赤面投影為小圓弧。三、投影網(wǎng)及其應(yīng)用1、極式網(wǎng)

(投影面：赤道面或與其平行的面，觀測(cè)點(diǎn)N或S極組成：直徑和同心圓應(yīng)用：可測(cè)量繞投影基園中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角。測(cè)量落于同一直徑上兩極點(diǎn)的夾角。應(yīng)用不廣泛

2、烏氏網(wǎng)及其應(yīng)用烏氏網(wǎng)：刻度球的極射投影。光源：赤道上某點(diǎn)投影平面：垂直于光源和球心的連線(xiàn)應(yīng)用：

1)、測(cè)P1和P2間夾角：轉(zhuǎn)動(dòng)烏氏網(wǎng)使P1和P2位于同一經(jīng)線(xiàn)上測(cè)緯度差。

2)、旋轉(zhuǎn)：將旋轉(zhuǎn)軸[uvw]轉(zhuǎn)到N或S極后使所有極點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)角。四、標(biāo)準(zhǔn)投影

投影面為低指數(shù)的重要晶面或投影中心為低指數(shù)的重要晶向的極射投影為晶面的標(biāo)準(zhǔn)投影或晶向的標(biāo)準(zhǔn)投影。下圖為立方系(001)標(biāo)準(zhǔn)極圖。六方系鋅的（0001）標(biāo)準(zhǔn)極圖§2-3倒易點(diǎn)陣一、倒易點(diǎn)陣的定義

若正點(diǎn)陣的基矢為a、b、c。如果假設(shè)有一點(diǎn)陣其基矢為a*、b*、c*。兩種基矢間存在如下關(guān)系：

a*

·a

=b*·b=c*·c=1a*·b

=

a*·c=

b*·a=

b*·c=

c*·a=

c*·b=0則稱(chēng)基矢a*、b*、c*所確定的點(diǎn)陣為基矢a、b、c

所確定的點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣

倒易點(diǎn)陣也可用另一數(shù)學(xué)公式表達(dá)：晶體點(diǎn)陣中晶包體積為v=

c

·

(a

b)

因?yàn)?

c*·c=1=v/v

所以：

c*·c=c

·

(a

b)/v即：c*=(a

b)/v同理：

a*

=(b

c)/vb*=(c

a)/v二、倒易點(diǎn)陣的性質(zhì)

1、正點(diǎn)陣晶胞的體積v與倒易點(diǎn)陣晶胞的體積v*成倒數(shù)關(guān)系。v*=1/v

證明：v*=

a*

·(b*

c*)=1/v3{(b

c)·[(ca)(ab)]}

=1/v3{(b

c)·[((c

a)·

b)a-((c

a)·

a)

b]}

=1/v3{(b

c)·

va}=1/v

2、正點(diǎn)陣的基矢與倒易點(diǎn)陣的基矢互為倒易，即：

a

=(b*

c*)/v*

b=(c*

a*)/v*

c=(a*

b*)/v*證明：(b*

c*)/v*=v[(c

a)/v(ab)/v]

=1/v[((c

a)·

b)

a-((c

a)·

a)

b]=

a3、任意倒易矢量

g=ha*+kb*+lc*必然垂直于正點(diǎn)陣中的（hkl）面。證明：

g·AB=

g·(

OB

–

OA)

=[ha*+kb*+lc*]·(b/k-

a/h)=0所以

g垂直AB同理：

g垂直BC和CA所以

g垂直于（hkl）面。

4、|g|=1/d(hkl)

證明：因?yàn)镸到原點(diǎn)的距離OM就是(hkl)的面間距d(hkl)d(hkl)=

OA·

g/|g|=(1/|g|)(a/h)·(ha*+kb*+lc*)=1/|g|

所以|g|=1/d(hkl)三、實(shí)際晶體的倒易點(diǎn)陣（1）簡(jiǎn)單立方點(diǎn)陣

簡(jiǎn)單立方點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣仍為簡(jiǎn)單立方，晶胞邊長(zhǎng)為1/a。

(2)體心立方點(diǎn)陣

BCC點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣為FCC，晶胞邊長(zhǎng)為2/a

(3)面心立方點(diǎn)陣

FCC點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣是BCC，其晶胞邊長(zhǎng)為2/a。

即FCC點(diǎn)陣和BCC點(diǎn)陣互為倒易點(diǎn)陣

(4)簡(jiǎn)單六方點(diǎn)陣

簡(jiǎn)單六方點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣仍為簡(jiǎn)單六方。三、倒易點(diǎn)陣在推導(dǎo)晶體學(xué)關(guān)系中的應(yīng)用1、晶帶方程晶帶：相交于同一直線(xiàn)的兩個(gè)或多個(gè)晶面構(gòu)成一個(gè)晶帶。交線(xiàn)[uvw]叫做晶帶軸。與晶帶軸相交的所有平面(hkl)叫晶帶面。晶帶方程：hu+kv+lw=0證明：某個(gè)晶帶面(hkl)可由倒易矢量g=ha*+kb*+lc*表示，晶帶軸[uvw]由矢量

r=ua+vb+wc表示。則：g·r=(ha*+kb*+lc*)·(ua+vb+wc)=hu+kv+lw=0

(1)、晶帶的極射投影晶帶軸：跡點(diǎn)晶帶面：極點(diǎn)（位于同一大園上）。晶帶可能是：1)投影基園(水平晶帶)2)直徑

(直立晶帶)3)大園弧

(傾斜晶帶)(2)求(h1k1l1)和(h2k2l2)兩個(gè)晶面的交線(xiàn)即晶帶軸。

假定晶帶軸為[uvw]，由晶帶方程可得：

h1u+k1v+l1w=0

h2u+k2v+l2w=0

解此方程組，可求得[uvw]:u=k1l2-k2l1v=l1h2-l2h1w=h1k2-h2k1利用行列式方便記憶：

h1k1l1h1k1l1

h2k2l2h2k2l2uvw(3)求[u1v1w1]和[u2v2w2]決定的平面。

假定所求平面為(hkl),則分別應(yīng)用晶帶方程得：

u1h+v1k+w1l=0

u2h+v2k+w2l=0解此方程組，可求得(hkl):h=v1w2-v2w1k=w1u2-w2u1l=u1v2-u2v1利用行列式方便記憶：

u1v1w1u1v1w1

u2v2w2u2v2w2hkl

2、晶面間距

設(shè)晶面(hkl)的晶面間距為d(hkl)，根據(jù)倒易點(diǎn)陣性質(zhì)：1/d2(hkl)=

ghkl·ghkl

=(ha*+kb*+lc*)·(ha*+kb*+lc*)

=h2(a*)2+k2(b*)2+l2(c*)2+2hk

a*·b*+2kl

b*·c*+2lh

c*·a*

(a*)2=|bc|2/v2=b2c2sin2/v2;

(b*)2=c2a2sin2/v2(c*)2=a2b2sin2/v2a*

·b*=1/v2[(bc)·(ca)]=1/v2[(b·c)(c·a)-(b·c)c2]

=abc2/v2(coscos-cos)b*·c*=a2bc/v2(cos

cos-cos)c*·a*=ab2c/v2(cos

cos-cos)v2=|(a

b)·

c|2=|a

b|2c2cos2

(a

b,

c)

=|a

b|2

c2[1-sin2(a

b,

c)]=a2b2c2sin2-|(ab)c|2

=a2b2c2sin2-[c(ab)]·[c(ab)]

=a2b2c2sin2-[(