材料現(xiàn)代研究方法2章x

第二章晶體投影和倒易點陣§2-1空間點陣一、晶體的描述數(shù)學抽象實際原子規(guī)則排列于空間規(guī)則排列的幾何點構(gòu)成空間點陣空間格架（晶格）平行直線將點連接幾何單元（晶胞）

剛球模型晶格晶胞二、空間點陣空間點陣：點子的空間排列稱為空間點陣空間點陣具有周期性。陣點（結(jié)點）：點陣中的每個幾何點稱為陣點。晶格：表示晶體中原子排列形式的空間格子叫晶格。三、晶胞、晶系和點陣類型1、晶胞晶胞：組成晶格的最基本的幾何單元。原胞：每個角上有一陣點的最小平行六面體稱為原胞選取晶胞應(yīng)具有代表性，能更好的代表點陣的對稱性。晶格常數(shù)(點陣參數(shù))：晶胞各邊尺寸a、b、c。晶胞各邊之間的夾角以、、表示。2、晶系：由a、b、c、a、b、g6個參數(shù)按照晶胞的大小和形狀可以將各種晶體歸于7種晶系。晶系點陣常數(shù)間的關(guān)系和特點實例三斜單斜斜方(正交)正方立方六方菱方abc,abg90oabc,a=b=

90o

g(第一種)

a=g=

90o

b(第二種)abc,a=b=g=90o

a=bca=b=g=90o

a=b=ca=b=g=90o

a=bca=b=

90og=120oa=b=ca=b=g

90oK2CrO7-SCaSO4.2H2Oa-S,Ga,Fe3Cb-Sn,TiO2Cu,Al,a-Fe,NaClZn,Cd,Ni-AsAs,Sb,Bi7種晶系3、14種布拉菲點陣：7種晶系可以形成14種空間點陣。三斜點陣

abc,abg90o單斜

abc,a=b=

90o

g

斜方（正交）

abc,a=b=g=90o

正方點陣a=bca=b=g=90o立方點陣a=b=ca=b=g=90o六方點陣a=bca=b=

90og=120o菱方點陣a=b=ca=b=g

90o四、布拉菲點陣與晶體結(jié)構(gòu)布拉非點陣：由等同點(表示原子分布規(guī)律的代表點)構(gòu)成的點陣叫布拉菲點陣（簡稱點陣）。晶體結(jié)構(gòu)：晶體中原子的集合（或分布）。簡單金屬，晶體結(jié)構(gòu)和點陣沒有差別。如:Cu,Ag,Au,Al,Ni,Pt,Pb,-Fe等都是面心立方(FCC).而V,Nb,Cr,Mo,W,-Fe等都是體心立方(BCC).但是對于其他一些具有復雜結(jié)構(gòu)的金屬和合金，晶體結(jié)構(gòu)就不同于點陣。如：Zn,Cd,Mg,Be,-Ti,-Zr,等金屬都具有簡單六方點陣，原子不僅分布在晶胞頂點上，而且還分布在(1/3,2/3,1/2),(1/3,-1/3,1/2),(-2/3,-1/3,1/2)處。晶體結(jié)構(gòu)相似而點陣不同具有相同點陣的晶體結(jié)構(gòu)五、晶胞與原胞選擇晶胞應(yīng)盡量滿足的條件：

1、能反映點陣的周期性還能包含整個陣點。

2、能反映點陣的對稱性。

3、晶胞的體積最小。第一種方法：保證對稱性的前提下選取體積盡量小的晶胞。這種反應(yīng)點陣對稱性的晶胞也叫結(jié)構(gòu)胞。第二種方法：只要求晶胞的體積最小。而不一定反映點陣的對稱性。通常稱為原胞。

FCC的原胞與晶胞晶胞體積a3原胞體積a3/4BCC的原胞與晶胞晶胞體積a3原胞體積a3/2密排六方晶體的晶胞與原胞六、晶面指數(shù)和晶向指數(shù)晶面：穿過晶體的原子面（平面）稱為晶面。晶向：連接晶體中任意原子列的直線方向稱為晶向。晶面、晶向指數(shù)：表示各種晶面和晶向位向的統(tǒng)一標號。（通用密勒指數(shù)）一、晶面和晶向指數(shù)的確定（一）、三指數(shù)表示晶面指數(shù)的確定及表示方法：

1.確定坐標系：2.求截距：求出待定晶面在三個軸上的截距

確定三要素：原點、坐標軸、單位長度3.取倒數(shù)：取這些截距的倒數(shù)

4.化簡：將上述倒數(shù)化為最小的整數(shù)，并加上園括號“()”，即為晶面指數(shù)。如（110）在立方晶體晶格中最常用有三個晶面，如右圖所示，分別為：晶面指數(shù)一般可記為。如果晶面得到負截距則在所得到指數(shù)上方冠以負號，如（）(hkl)

（110）、（111）、

（100）最常用有三個晶面，晶向指數(shù)的確定及表示方法1.確定坐標系：三要素,原點、坐標軸、單位長度2.引平行線：3.求坐標：通過坐標原點引一直線平行于所求的晶向求出該直線上任一點的坐標4.化簡：按比例化為最小整數(shù)，加一方括號，“[]”，即為所求晶向指數(shù)。如[112]晶向指數(shù)一般可記為。如果晶向得到負坐標值則在所得到指數(shù)上方冠以負號，如[]注意：一個晶面指數(shù)或晶向指數(shù)是代表一組相互平行的另外：在立方晶格中，具有相同指數(shù)的晶面與晶向之間是相互垂直的。在立方晶體晶格中最常用有三個晶向，如右圖所示，分別為：、［110］［111］、［100］最常用有三個晶向，晶面或晶向（在其上原子的排列方式是相同的）[uvw]晶面族{hkl}及晶向族<uvw>晶面族{hkl}

：表示位向不同但其原子排列相同的一組晶面晶向族<uvw>:表示方向不同但其原子排列相同的一組晶向如：｛100｝表示(100)、(010)、(001)三個晶面｛110｝表示(110)(110)(101)(101)(011)011)六個晶面｛111｝表示(111)(111)(111)(111)四個晶面

〈100〉表示[100]、[010]、[001]等一組晶向七、晶體的對稱性(一)、對稱要素和對稱變換對稱性：若一個物體（或晶體圖形）當對其施行某種規(guī)律的動作以后，它仍然能夠恢復原狀（即其中點、線、面都與原始的點、線、面完全重合）時，就把該物體（圖形）所具有的這種特性稱之為對稱性。對稱變換（操作）：借助某種幾何要素，能使物體（或?qū)ΨQ圖形）恢復原狀所施行的某種規(guī)律的動作。對稱要素（元素）：對物體（或圖形）進行對稱變換時所借以參考的幾何要素。1、宏觀對稱要素：僅從“有限的晶體圖形”（宏觀晶體）的外觀上的對稱點、線或面，對其所施行的對稱變換稱宏觀對稱變換。所借助參考的幾何要素為宏觀對稱要素。（1）對稱中心(中心反演）用符號“i”或表示為一假想的幾何點，相應(yīng)的對稱變換是對于這個點的倒反（反演，反伸）（2）(回轉(zhuǎn))對稱軸:為一假想的直線，相應(yīng)的對稱變換為圍繞此直線的旋轉(zhuǎn)：每轉(zhuǎn)過一定角度，各個相同部分就發(fā)生一次重復，即整個物體復原需要的最小轉(zhuǎn)角稱為基轉(zhuǎn)角（）。有1，2，3，4，6次五種只能有1，2，3，4，6次五種回轉(zhuǎn)對稱軸分別以1，2，3，4，6符號表示（3）對稱面：為一假想的平面，相應(yīng)的對稱變換為對此平面的反映。用符號“m”表示（4）旋轉(zhuǎn)–反演軸（倒轉(zhuǎn)軸）：是一種復合的對稱要素。它的輔助幾何要素有兩個：一根假想的直線和此直線上的一個定點。相應(yīng)的對稱變換就是圍繞此直線旋轉(zhuǎn)一定的角度及對于此定點的倒反。用符號表示

一次旋轉(zhuǎn)-反演軸就是對稱中心二次旋轉(zhuǎn)-反演軸就是對稱面三次旋轉(zhuǎn)-反演軸四次旋轉(zhuǎn)-反演軸2.微觀對稱要素：還包括平移對稱性。（1）平移軸為晶體結(jié)構(gòu)中一根假想的直線，圖形沿此直線移動一定距離，可使相同部分重復。使圖形復原的最小距離稱為平移軸的移距。晶體結(jié)構(gòu)中任一行列方向都是一個平移軸，行列的結(jié)點間距即為平移軸的移距，因此任何一個空間格子均有無窮多的平移軸。（2）

滑移(對稱)面：晶體結(jié)構(gòu)中一個假想的平面，當結(jié)構(gòu)圖形對平面反映，并在平行此平面的方向上移動一定距離后而復原。結(jié)構(gòu)中的每一質(zhì)點都和與其相同的質(zhì)點重合。（先平移后反映，效果相同）符號：如平移a/2b/2c/2寫作a,b,c;

如沿對角線平移1/2寫作n；如沿面對角線平移1/4寫作d。(a)為對稱面(b)為沿a滑移a/2的滑移面a（3）螺旋(對稱)軸

晶體結(jié)構(gòu)中一根假想直線，當結(jié)構(gòu)圍繞此直線旋轉(zhuǎn)一定角度，并沿此直線方向平移一定距離后，結(jié)構(gòu)中每一質(zhì)點都和與其相同的質(zhì)點重合。

旋轉(zhuǎn)+平移（先平移后旋轉(zhuǎn)等效）左旋與右旋—螺旋軸按旋轉(zhuǎn)方向分為左旋、右旋、中性三種，左旋符合左手法則，右旋符合右手法則，若同時按左右旋的性質(zhì)相同時稱為中性螺旋軸。軸次—螺旋軸按基轉(zhuǎn)角也分為二次、三次、四次和六次。每種軸次根據(jù)其移距t與平行該軸的結(jié)點間距T的相對大小又可分為一種或幾種

螺旋軸的國際符號螺旋軸的國際符號以右旋為標準而確定：

螺旋軸符號ns,S=1,2,….,n-1一次螺旋軸：即為平移軸;二次螺旋軸：21(t=1/2T)，如NaCl；三次螺旋軸：31(t=1/3T)，32(t=2/3T)，如-石英

右旋左旋四次螺旋軸：41(t=1/4T)，42(t=2/4T)，43(t=3/4T)，如金剛石

右旋中性左旋六次螺旋軸：61(t=1/6T)，62(t=2/6T)，63(t=3/6T)，64(t=4/6T)，65(t=5/6T)11種螺旋軸：21、31、32、41、42、43、61、62、63、64、65s是自然數(shù)n為軸次右旋中性左旋二次螺旋軸21：旋轉(zhuǎn)180o后平移1/2T.三次螺旋軸31和32：31表示右旋，移距t=1/3T32表示左旋，移距t=1/3T(a)對稱軸(b)螺旋軸(a)對稱軸3(b)右旋31

(c)左旋32四次螺旋軸：41(右旋)、42(中性)、43(左旋)。41、42和43按右旋方向的移距分別為1/4T、2/4T和3/4T。42為雙軌旋轉(zhuǎn)，在兩個晶胞(2T)的周期內(nèi)復原。43按左旋方向的移距為1/4T。(a)對稱軸(b)右旋41(c)中性42(d)左旋43(二)、點群及空間群1、點群

晶體可能存在的對稱類型可通過宏觀對稱要素在一點上組合運用而得出，但這些組合并不是任意的，只能有32種對稱類型，稱為32種點群。點群描述理想晶體的宏觀外形。晶體學中，點對稱操作只能有軸次為1,2,3,4,6的旋轉(zhuǎn)軸和反演軸。（對稱中心=，鏡面=）共有10種對稱操作。組合成32種點群。2、空間群

空間群用以描述晶體中原子組合的所有可能方式，它是通過宏觀和微觀對稱要素在三維空間的組合而得出的。屬于同一點群的晶體可因其微觀對稱要素的不同而分屬不同的空間群。晶體學家們已經(jīng)應(yīng)用空間群的幾何理論證實了晶體中可能存在的空間群有230種，分屬32種點群?？臻g群表示晶體結(jié)構(gòu)內(nèi)部的原子及離子間的對稱關(guān)系。

7個晶系和14種布拉菲點陣的點群和空間群數(shù)正方菱方八、常見晶體結(jié)構(gòu)及其幾何特征幾個描述晶體的幾何特征參數(shù)：1、配位數(shù)：一個原子周圍的最近鄰原子數(shù)稱配位數(shù)。通常用CN表示。如CN12。2、緊密系數(shù)K（或堆垛密度）:3、晶胞內(nèi)原子數(shù)n：每個晶胞內(nèi)所包含的原子數(shù)4、間隙：球形原子間的空隙。（一）體心立方晶格【BCC】八個原子占據(jù)立方體八個角，在立方體的體積中心還有一個原子。（如右圖）1晶胞內(nèi)原子數(shù)：1/8×8+1=22原子半徑：a3配位數(shù)：84堆垛密度：（二）面心立方晶格【FCC】八個原子占據(jù)立方體八個角，在立方體各面中心還有一個。（見右圖）1晶胞內(nèi)原子數(shù)：1/8×8+1/2×6=43配位數(shù)：124堆積密度：2原子半徑：a（三）密排六方晶格【HCP】以12個原子為頂點構(gòu)成簡單六方柱體，在柱體上下兩個底面中心還各有一個原子。另在兩個底面之間還有3個原子。理論計算表明：c/a=1.633

§2-2晶體投影晶體投影：按一定規(guī)則表示各晶面或晶向分布的圖形。一、球面投影將晶體放于球心。投影方法有兩種：跡式：晶面（大園）晶向（點）極式：晶面（極點）晶向（大園）一般晶面采用極式，晶向采用跡式。測角和旋轉(zhuǎn)欲測P1和P2間的夾角必須在大園上。欲測晶體繞軸旋轉(zhuǎn)，則任意極點將繞垂直轉(zhuǎn)軸的小園由起點P和終點P’間的轉(zhuǎn)角。刻度球及其應(yīng)用經(jīng)線；緯線緯度差經(jīng)度差二、極射投影1、定義投影點：N極或S極。投影面：與NS軸垂直的平面。2、極射赤面投影投影點：N極或S極。投影面：赤道平面。2、極射投影的性質(zhì)(1)經(jīng)線的投影為直線（直徑）(2)平行于投影面的大園其極射投影是一個園(投影基圓)，圓心為投影中心。

(3)平行于投影面的晶向或晶面法向，其投影必在基園上。

(4)只有半個球上極點的極射投影位于基園內(nèi)。

(4)球面上大園的極射投影是大園弧或直徑。

(5)球面上小園的極射投影也是小園。(6)與NS軸平行的小園的極射赤面投影為小圓弧。三、投影網(wǎng)及其應(yīng)用1、極式網(wǎng)

(投影面：赤道面或與其平行的面，觀測點N或S極組成：直徑和同心圓應(yīng)用：可測量繞投影基園中心軸的轉(zhuǎn)動角。測量落于同一直徑上兩極點的夾角。應(yīng)用不廣泛

2、烏氏網(wǎng)及其應(yīng)用烏氏網(wǎng)：刻度球的極射投影。光源：赤道上某點投影平面：垂直于光源和球心的連線應(yīng)用：

1)、測P1和P2間夾角：轉(zhuǎn)動烏氏網(wǎng)使P1和P2位于同一經(jīng)線上測緯度差。

2)、旋轉(zhuǎn)：將旋轉(zhuǎn)軸[uvw]轉(zhuǎn)到N或S極后使所有極點轉(zhuǎn)動角。四、標準投影

投影面為低指數(shù)的重要晶面或投影中心為低指數(shù)的重要晶向的極射投影為晶面的標準投影或晶向的標準投影。下圖為立方系(001)標準極圖。六方系鋅的（0001）標準極圖§2-3倒易點陣一、倒易點陣的定義

若正點陣的基矢為a、b、c。如果假設(shè)有一點陣其基矢為a*、b*、c*。兩種基矢間存在如下關(guān)系：

a*

·a

=b*·b=c*·c=1a*·b

=

a*·c=

b*·a=

b*·c=

c*·a=

c*·b=0則稱基矢a*、b*、c*所確定的點陣為基矢a、b、c

所確定的點陣的倒易點陣

倒易點陣也可用另一數(shù)學公式表達：晶體點陣中晶包體積為v=

c

·

(a

b)

因為:

c*·c=1=v/v

所以：

c*·c=c

·

(a

b)/v即：c*=(a

b)/v同理：

a*

=(b

c)/vb*=(c

a)/v二、倒易點陣的性質(zhì)

1、正點陣晶胞的體積v與倒易點陣晶胞的體積v*成倒數(shù)關(guān)系。v*=1/v

證明：v*=

a*

·(b*

c*)=1/v3{(b

c)·[(ca)(ab)]}

=1/v3{(b

c)·[((c

a)·

b)a-((c

a)·

a)

b]}

=1/v3{(b

c)·

va}=1/v

2、正點陣的基矢與倒易點陣的基矢互為倒易，即：

a

=(b*

c*)/v*

b=(c*

a*)/v*

c=(a*

b*)/v*證明：(b*

c*)/v*=v[(c

a)/v(ab)/v]

=1/v[((c

a)·

b)

a-((c

a)·

a)

b]=

a3、任意倒易矢量

g=ha*+kb*+lc*必然垂直于正點陣中的（hkl）面。證明：

g·AB=

g·(

OB

–

OA)

=[ha*+kb*+lc*]·(b/k-

a/h)=0所以

g垂直AB同理：

g垂直BC和CA所以

g垂直于（hkl）面。

4、|g|=1/d(hkl)

證明：因為M到原點的距離OM就是(hkl)的面間距d(hkl)d(hkl)=

OA·

g/|g|=(1/|g|)(a/h)·(ha*+kb*+lc*)=1/|g|

所以|g|=1/d(hkl)三、實際晶體的倒易點陣（1）簡單立方點陣

簡單立方點陣的倒易點陣仍為簡單立方，晶胞邊長為1/a。

(2)體心立方點陣

BCC點陣的倒易點陣為FCC，晶胞邊長為2/a

(3)面心立方點陣

FCC點陣的倒易點陣是BCC，其晶胞邊長為2/a。

即FCC點陣和BCC點陣互為倒易點陣

(4)簡單六方點陣

簡單六方點陣的倒易點陣仍為簡單六方。三、倒易點陣在推導晶體學關(guān)系中的應(yīng)用1、晶帶方程晶帶：相交于同一直線的兩個或多個晶面構(gòu)成一個晶帶。交線[uvw]叫做晶帶軸。與晶帶軸相交的所有平面(hkl)叫晶帶面。晶帶方程：hu+kv+lw=0證明：某個晶帶面(hkl)可由倒易矢量g=ha*+kb*+lc*表示，晶帶軸[uvw]由矢量

r=ua+vb+wc表示。則：g·r=(ha*+kb*+lc*)·(ua+vb+wc)=hu+kv+lw=0

(1)、晶帶的極射投影晶帶軸：跡點晶帶面：極點（位于同一大園上）。晶帶可能是：1)投影基園(水平晶帶)2)直徑

(直立晶帶)3)大園弧

(傾斜晶帶)(2)求(h1k1l1)和(h2k2l2)兩個晶面的交線即晶帶軸。

假定晶帶軸為[uvw]，由晶帶方程可得：

h1u+k1v+l1w=0

h2u+k2v+l2w=0

解此方程組，可求得[uvw]:u=k1l2-k2l1v=l1h2-l2h1w=h1k2-h2k1利用行列式方便記憶：

h1k1l1h1k1l1

h2k2l2h2k2l2uvw(3)求[u1v1w1]和[u2v2w2]決定的平面。

假定所求平面為(hkl),則分別應(yīng)用晶帶方程得：

u1h+v1k+w1l=0

u2h+v2k+w2l=0解此方程組，可求得(hkl):h=v1w2-v2w1k=w1u2-w2u1l=u1v2-u2v1利用行列式方便記憶：

u1v1w1u1v1w1

u2v2w2u2v2w2hkl

2、晶面間距

設(shè)晶面(hkl)的晶面間距為d(hkl)，根據(jù)倒易點陣性質(zhì)：1/d2(hkl)=

ghkl·ghkl

=(ha*+kb*+lc*)·(ha*+kb*+lc*)

=h2(a*)2+k2(b*)2+l2(c*)2+2hk

a*·b*+2kl

b*·c*+2lh

c*·a*

(a*)2=|bc|2/v2=b2c2sin2/v2;

(b*)2=c2a2sin2/v2(c*)2=a2b2sin2/v2a*

·b*=1/v2[(bc)·(ca)]=1/v2[(b·c)(c·a)-(b·c)c2]

=abc2/v2(coscos-cos)b*·c*=a2bc/v2(cos

cos-cos)c*·a*=ab2c/v2(cos

cos-cos)v2=|(a

b)·

c|2=|a

b|2c2cos2

(a

b,

c)

=|a

b|2

c2[1-sin2(a

b,

c)]=a2b2c2sin2-|(ab)c|2

=a2b2c2sin2-[c(ab)]·[c(ab)]

=a2b2c2sin2-[(