山西省呂梁市樓街辦第一中學2021年高三數(shù)學理模擬試卷含解析

山西省呂梁市樓街辦第一中學2021年高三數(shù)學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.由不等式組確定的平面區(qū)域記為Ω1，不等式組確定的平面區(qū)域記為Ω2，在Ω1中隨機取一點，則該點恰好在Ω2內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】幾何概型；簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，求出對應的面積，利用幾何槪型的概率公式即可得到結(jié)論．【解答】解：平面區(qū)域Ω1，為三角形AOB，面積為，平面區(qū)域Ω2，為△AOB內(nèi)的四邊形BDCO，其中C（0，1），由，解得，即D（，），則三角形ACD的面積S==，則四邊形BDCO的面積S=，則在Ω1中隨機取一點，則該點恰好在Ω2內(nèi)的概率為，故選：D．2.平面向量與的夾角為，，則=

(

)

A.7B.

C.

D.3參考答案：

C略3.在的展開式中,常數(shù)項為15,則的一個值可以是(

)A.3

B.4 C.5

D.6參考答案：答案：D4.若即時起10分鐘內(nèi)，305路公交車和202路公交車由南往北等可能進入二里半公交站，則這兩路公交車進站時間的間隔不超過2分鐘的概率為（

）A．0.18 B．0.32 C．0.36 D．0.64參考答案：C設(shè)路車和路車的進站時間分別為、，“進站時間的間隔不超過分鐘”為時間，則．圖中陰影區(qū)域的面積，則，故選C．5.若復數(shù)z1，z2在復平面內(nèi)對應的點關(guān)于y軸對稱，且z1=2﹣i，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：B【考點】復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】由z1=2﹣i，復數(shù)z1，z2在復平面內(nèi)對應的點關(guān)于y軸對稱，求出z2，然后代入，利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，求出復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的坐標，則答案可求．【解答】解：∵z1=2﹣i，復數(shù)z1，z2在復平面內(nèi)對應的點關(guān)于y軸對稱，∴z2=﹣2﹣i．∴==，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的坐標為：（，），位于第二象限．故選：B．6.如圖為從空中某個角度俯視北京奧運會主體育場“鳥巢”頂棚所得的局部示意圖，在平面直角坐標系中，下列給定的一系列直線中（其中θ為參數(shù)，θ∈R），能形成這種效果的只可能是（）A．y=xsinθ+1 B．y=x+cosθC．xcosθ+ysinθ+1=0 D．y=xcosθ+sinθ參考答案：C【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】由圖形分析知轉(zhuǎn)化為：原點到各圓周切線的距離為定值，再利用點到直線的距離公式即可；【解答】解：由圖形分析知轉(zhuǎn)化為：原點到各圓周切線的距離為定值．對A：d=，此時d不是固定值，故舍去；對B：d=，此時d不是固定值，故舍去；對C：d=1，正確；對D：d=，此時d不是固定值，故舍去；故選：C7.圖中的圖象所表示的函數(shù)的解析式為（

）A．（0≤x≤2）

B．

（0≤x≤2）

C．

（0≤x≤2）

D．（0≤x≤2）參考答案：B略8.設(shè)l，m，n為三條不同的直線，α為一個平面，下列命題中正確的個數(shù)是（）①若l⊥α，則l與α相交②若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則l⊥α③若l∥m，m∥n，l⊥α，則n⊥α④若l∥m，m⊥α，n⊥α，則l∥n．A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C【考點】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【分析】根據(jù)空間線面位置關(guān)系的有關(guān)定理對四個命題逐個進行判斷即可找出命題中正確的個數(shù)．【解答】解：由于直線與平面垂直是相交的特殊情況，故命題①正確；由于不能確定直線m，n的相交，不符合線面垂直的判定定理，命題②不正確；根據(jù)平行線的傳遞性．l∥n，故l⊥α時，一定有n⊥α．即③正確；由垂直于同一平面的兩直線平行得m∥n，再根據(jù)平行線的傳遞性，即可得l∥n．即④正確．故正確的有①③④共3個．故選

C9.（2009安徽卷理）若集合則A∩B是

（A）

(B)（C）

(D)

參考答案：D解析：集合，∴選D10.已知函數(shù)

，則等于

（

）

不能確定參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.大衍數(shù)列，來源于中國古代著作《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論．其前10項為：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50．通項公式：an=如果把這個數(shù)列{an}排成右側(cè)形狀，并記A（m，n）表示第m行中從左向右第n個數(shù)，則A（10，4）的值為．參考答案：3612【考點】歸納推理．【分析】由題意，前9行，共有1+3+…+17==81項，A（10，4）為數(shù)列的第85項，即可求出A（10，4）的值．【解答】解：由題意，前9行，共有1+3+…+17==81項，A（10，4）為數(shù)列的第85項，∴A（10，4）的值為=3612．故答案為3612．12.設(shè)雙曲線C：（a＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線C上，如果|PF1|﹣|PF2|=10，那么該雙曲線的漸近線方程為

．參考答案：

【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】由雙曲線的定義可得，||PF1|﹣|PF2||=2a=10，求出a，再由由雙曲線C：得b=4，即可求得雙曲線的漸近線方程．【解答】解：由雙曲線的定義可得，||PF1|﹣|PF2||=2a=10，∴a=5，由雙曲線C：得b=4，∴該雙曲線的漸近線方程為y=±x，故答案為：13.拋物線上一點M到焦點的距離等于4，則p=_____；點M的坐標為______.參考答案：2

【分析】根據(jù)焦點坐標求出，根據(jù)拋物線的定義求出點M坐標即可.【詳解】因為焦點，所以設(shè)點，根據(jù)拋物線的定義得：，解得所以點的坐標為故答案為：2；【點睛】本題主要考查了求拋物線的標準方程以及考查了拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題.14.數(shù)列{an}，{bn}的前n項的和分別為An、Bn，數(shù)列{cn}滿足：cn=anBn+bnAn﹣anbn．若A2009=41，B2009=49，則數(shù)列{cn}的前2009項的和C2009=

．參考答案：2009【考點】數(shù)列的求和．【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學模型法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】cn=anBn+bnAn﹣anbn=（An﹣An﹣1）（Bn﹣bn）+（Bn﹣Bn﹣1）An=AnBn﹣An﹣1Bn﹣1．利用“累加求和”方法即可得出．【解答】解：cn=anBn+bnAn﹣anbn=（An﹣An﹣1）（Bn﹣bn）+（Bn﹣Bn﹣1）An=AnBn﹣An﹣1Bn﹣1．∴數(shù)列{cn}的前2009項的和C2009=（A2009B2009﹣A2008B2008）+（A2008B2008﹣A2007B2007）+…+（A2B2﹣A1B1）+A1B1=A2009B2009=41×49=2009．故答案為：2009．【點評】本題考查了“累加求和”、“裂項求和”方法、遞推關(guān)系的應用，考查了變形能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．15.給出下列不等式

①；

②；

③；

④其中一定成立的是

參考答案：③正確略16.已知函數(shù)的圖象在點處的切線與直線垂直，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值是

．參考答案：

【知識點】程序框圖．L1解析：因為，即過A點的切線斜率為，與直線垂直，可得=－1從而，，程序的算法中，，跳出循環(huán)時．故答案為6.【思路點撥】求導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，結(jié)合函數(shù)f（x）=x2﹣ax的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y=0垂直，建立方程，即可求出a的值，從而可求f（x）解析式，模擬運行程序，依次寫出每次循環(huán)得到的S，k的值，當S=時，滿足條件S＞，退出循環(huán)，輸出k的值為6，從而得解．17.已知R,，，則M的最大值是

．參考答案：．試題分析：由柯西不等式式易知，所以即是，故應填入．考點：1．復數(shù)的概念；2．虛數(shù)的定義；3．純虛數(shù)的定義．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）＝|x＋2|－|ax－2|．（1）當a＝2時，求不等式f（x）≥2x＋1的解集；（2）若不等式f（x）＞x－2對x∈（0，2）恒成立，求a的取值范圍．參考答案：（1）當a＝2時，，當x≤－2時，由x－4≥2x＋1，解得x≤－5；當－2＜x＜1時，由3x≥2x＋1，解得x∈?；當x≥1時，由－x＋4≥2x＋1，解得x＝1．綜上可得，原不等式的解集為{x|x≤－5或x＝1}．（2）因為x∈（0，2），所以f（x）＞x－2等價于|ax－2|＜4，即等價于，所以由題設(shè)得在x∈（0，2）上恒成立，又由x∈（0，2），可知，，所以－1≤a≤3，即a的取值范圍為[－1，3]．19.(本題13分)已知橢圓:的離心率為,過右焦點且斜率為的直線交橢圓于兩點,為弦的中點,為坐標原點.

(1)求直線的斜率；

(2)求證:對于橢圓上的任意一點,都存在,使得成立.參考答案：解:(1)設(shè)橢圓的焦距為,因為,所以有,故有.

從而橢圓的方程可化為:

①

易知右焦點的坐標為(),據(jù)題意有所在的直線方程為:.

②由①,②有:.

③設(shè),弦的中點,由③及韋達定理有:

所以,即為所求.

………5分(2)顯然與可作為平面向量的一組基底,由平面向量基本定理,對于這一平面內(nèi)的向量,有且只有一對實數(shù),使得等式成立.設(shè),由(1)中各點的坐標有:,故.

………7分又因為點在橢圓上,所以有整理可得:

.

④

由③有:.所以

⑤又點在橢圓上,故有.

⑥將⑤,⑥代入④可得:.

………11分所以,對于橢圓上的每一個點,總存在一對實數(shù),使等式成立,且.所以存在,使得.也就是:對于橢圓上任意一點,總存在,使得等式成立.

略20.將拋物線向上平移個單位長度后，拋物線過橢圓(＞＞0)的上頂點和左右焦點．（1）求橢圓方程；（2）若點滿足如下條件：過點P且傾斜角為的直線與橢圓相交于C、D兩點，使右焦點F在以CD線段為直徑的圓外，試求的取值范圍．參考答案：（1）拋物線的圖象向上平移個單位長度后其解析式為，其與、軸的交點坐標分別為、，∴，，（2分）∴，故橢圓的方程為．（4分）（2）由題意可得直線的方程為，代入橢圓方程消去得，，（6分）又＞0，∴＜＜．（7分）設(shè)C、D分別為，，則，，∴，∵，，∴，（10分）∵點在圓的外部，∴＞0，即＞0，解得＜0或＞3，又∵＜＜，∴＜＜0或3＜＜．（12分）21.如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，點E是BC邊的中點，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，連接AE，AC，DE，得到如圖2所示的幾何體．（Ⅰ）求證：AB⊥平面ADC；（Ⅱ）若AD=1，AB=，求二面角B﹣AD﹣E的大?。畢⒖即鸢福骸究键c】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）只需證明DC⊥AB，由AD⊥AB，DC∩AD=D，得AB⊥平面ADC（Ⅱ）易得∴，建立空間直角坐標D﹣xyz，則D（0，0，0），B（，0，0），C（0，，0），E（，，0），A（），求出平面DAB的法向量，平面ADE的法向量，由cos，求得二面角B﹣AD﹣E的大小為600．【解答】解：（Ⅰ）證明：因為平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，又DB⊥DC，所以DC⊥平面ABD…因為AB?平面ABD，所以DC⊥AB…又AD⊥AB，DC∩AD=D，所以AB⊥平面ADC．…（Ⅱ）∵AB=，AD=1．∴DB=依題意△ABD∽△BDC，所以，即．∴

…如圖所示，建立空間直角坐標D﹣xyz，則D（0，0，0），B（，0，0），C（0，，0），E（，，0），A（），，）．…由（Ⅰ）知平面DAB的法向量．…設(shè)平面ADE的法向量由，令x=，可?。詂os=﹣．…由圖可知二面角B﹣AD﹣E的平面角為銳角，所以二面角B﹣AD﹣E的大小為600．…

22.（12分）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，實驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：cm）．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布．（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及的數(shù)學期望；（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查．（?。┰囌f明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性：（ⅱ）下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：9.9510.129.969