平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義(一)

2.4.1平面向量數(shù)量積的

物理背景及其含義講課人：吳國(guó)杰一.問(wèn)題導(dǎo)入問(wèn)題1：請(qǐng)同學(xué)們回顧一下，我們學(xué)習(xí)了向量的哪些運(yùn)算？這些運(yùn)算的結(jié)果是什么？θsF問(wèn)題3

：從求功的運(yùn)算中，我們可以抽象出什么樣的數(shù)學(xué)運(yùn)算？其中力F

和位移s是向量，是F

與s

的夾角，而功是數(shù)量.問(wèn)題2：初中物理中的功是怎樣計(jì)算的？當(dāng)力和位移存在一個(gè)夾角θ，力對(duì)物體所做的功是多少？規(guī)定：

（2）兩向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量,不是向量。注意1、定義：

已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為，我們把數(shù)量

叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b

即（1）a·b不能寫(xiě)成a×b

，‘·’不能省.二、平面向量數(shù)量積OABbaB12、數(shù)量積的幾何意義，過(guò)點(diǎn)B作則的數(shù)量是|b|cosθ思考：向量的投影是正數(shù)嗎？

a·b的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上投影|b|cos的乘積。

θ為銳角時(shí)，|b|cosθ＞0θ為鈍角時(shí)，|b|cosθ＜0θ為直角時(shí)，|b|cosθ=0數(shù)量積的幾何意義OABbaB1bOABaB1OABba練一練例1．已知|a|=5，|b|=4，a與b的夾角

求:(1)a·b·

（2）a在b上的投影（3）b在a上的投影（1）如果我們把兩個(gè)非零向量的夾角特殊化，如數(shù)量積如何表示？（2）當(dāng)兩個(gè)非零向量相等時(shí)數(shù)量積等于什么，如何表示？（3）公式逆用可以得到什么結(jié)果？3、數(shù)量積的性質(zhì)3、數(shù)量積的性質(zhì)(點(diǎn)積為零是判定兩向量垂直的條件)(用于計(jì)算向量的模)(用于計(jì)算向量的夾角,以及判斷三角形的形狀)試一試1、已知|p|＝8，|q|＝6，p和q的夾角是60°求p?q2、設(shè)|a|＝12，|b|＝9，a?b＝－，求a和b的夾角3、已知中，AB＝a，AC＝b

當(dāng)a?b<0時(shí)，是＿＿＿三角形；當(dāng)a?b=0時(shí)，是＿＿＿三角形24135°鈍角直角類比得數(shù)量積運(yùn)算律:

在實(shí)數(shù)中在向量運(yùn)算中交換律:ab=ba

()結(jié)合律：(ab)c=a(bc)

()

()分配律：(a+b)c=ab+bc

()消去律:ab=bc(b≠0)a=c

()√√√

×

×4、數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律：4、數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律：如圖可知：例2.我們知道，對(duì)任意，恒有對(duì)任意向量是否