山西省呂梁市興縣高家村中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

山西省呂梁市興縣高家村中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.（5分）一個(gè)四面體各棱長都為，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（） A． 3π B． 4π C． D． 6π參考答案：A考點(diǎn)： 球內(nèi)接多面體．專題： 計(jì)算題．分析： 正四面體擴(kuò)展為正方體，二者有相同的外接球，通過正方體的對角線的長度就是外接球的直徑，求出球的表面積．解答： 由于正四面體擴(kuò)展為正方體，二者有相同的外接球，所以正方體的棱長為：1，所以正方體的對角線的長度就是外接球的直徑，所以球的半徑為：．所以球的表面積為：4πR2==3π．故選A．點(diǎn)評： 本題是中檔題，考查正四面體的外接球的表面積的求法，注意正四面體擴(kuò)展為正方體，二者有相同的外接球是本題解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力，計(jì)算能力．2.已知函數(shù)的最小正周期為，則該函數(shù)的圖象（

）.關(guān)于點(diǎn)對稱

.關(guān)于直線對稱.關(guān)于點(diǎn)對稱

.關(guān)于直線對稱參考答案：A3.圓心為(1,1)且過原點(diǎn)的圓的方程是（）A.B.C.D.參考答案：D試題分析：設(shè)圓的方程為，且圓過原點(diǎn)，即，得，所以圓的方程為.故選D.考點(diǎn)：圓的一般方程.4.（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B由誘導(dǎo)公式得故選.5.如圖，已知l1⊥l2，圓心在l1上，半徑為1m的圓O在t=0時(shí)與l2相切于點(diǎn)A，圓O沿l1以1m/s的速度勻速向上移動，圓被直線l2所截上方圓弧長記為x，令y=，則y與時(shí)間t（0≤t≤1，單位：s）的函數(shù)y=f（t）的圖象大致為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】通過t=0時(shí)y=0，排除選項(xiàng)C、D，利用x的增加的變化率，說明y=sin2x的變化率，得到選項(xiàng)即可．【解答】解：因?yàn)楫?dāng)t=0時(shí)，x=0，對應(yīng)y=0，所以選項(xiàng)C，D不合題意，當(dāng)t由0增加時(shí)，x的變化率先快后慢，又y=sin2x在[0，1]上是增函數(shù)，所以函數(shù)y=f（t）的圖象變化先快后慢，所以選項(xiàng)B滿足題意，C正好相反，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)圖象的變換快慢，考查學(xué)生理解題意以及視圖能力，屬于中檔題．6.

參考答案：

7.5分）已知扇形的面積為4，弧長為4，求這個(gè)扇形的圓心角是（） A． 4 B． 2° C． 2 D． 4°參考答案：C考點(diǎn)： 扇形面積公式．專題： 三角函數(shù)的求值．分析： 首先根據(jù)扇形的面積求出半徑，再由弧長公式得出結(jié)果．解答： 根據(jù)扇形的面積公式S=lr可得：4=×4r，解得r=2cm，再根據(jù)弧長公式l=rα，解得α22，扇形的圓心角的弧度數(shù)是2，故選：C點(diǎn)評： 本題主要是利用扇形的面積公式先求出扇形的半徑，再利用弧長公式求出圓心角．8.若

=(2,3),=(4,-1+y)，且，則

（

）A、6

B、5

C、7

D、8

參考答案：C略9.函數(shù)的定義域是：A．

B． C．∪

D．∪參考答案：Ｄ10.當(dāng)強(qiáng)度為x的聲音對應(yīng)的等級為f(x)分貝時(shí)，有（其中為常數(shù)）.裝修電鉆的聲音約為100分貝，普通室內(nèi)談話的聲音約為60分貝.則裝修電鉆的聲音強(qiáng)度與普通室內(nèi)談話的聲音強(qiáng)度的比值為（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】由解析式分別求出裝修電鉆的聲音強(qiáng)度和普通室內(nèi)談話的聲音強(qiáng)度，再求比值即可.【詳解】設(shè)裝修電鉆的聲音強(qiáng)度為，普通室內(nèi)談話的聲音強(qiáng)度為，由題意，，所以裝修電鉆的聲音強(qiáng)度和普通室內(nèi)談話的聲音強(qiáng)度比值為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查對數(shù)的運(yùn)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.化簡：+（π＜α＜）=．參考答案：﹣【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡求值．【分析】原式被開方數(shù)分子分母都等于分母，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及二次根式性質(zhì)化簡，即可得到結(jié)果．【解答】解：∵π＜α＜，∴sinα＜0，則原式=+=+==﹣．故答案為：﹣．12.已知一圓錐表面積為15πcm2，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則圓錐的底面半徑為cm．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積．【分析】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，母線長為l，利用側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，求得母線長與底面半徑之間的關(guān)系，代入表面積公式求r．【解答】解：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，母線長為l，∵側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，∴πl(wèi)=2πr?l=2r，∵圓錐的表面積為15π，∴πr2+πrl=3πr2=15π，∴r=，故圓錐的底面半徑為（cm）．故答案為：．13.已知a是函數(shù)f（x）=2﹣log2x的零點(diǎn)，則a的值為

?參考答案：4【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)．【專題】對應(yīng)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義，得f（a）=0，從而求出a的值．【解答】解：a是函數(shù)f（x）=2﹣log2x的零點(diǎn)，∴f（a）=2﹣log2a=0，∴l(xiāng)og2a=2，解得a=4．故答案為：4．【點(diǎn)評】本題考查了零點(diǎn)的定義與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．14.函數(shù)的定義域是

▲

．參考答案：15.不等式的解為

．參考答案：16.已知，0＜β＜α＜，cos（α﹣β）=，且sin（α+β）=，則sin2α的值為．參考答案：【考點(diǎn)】兩角和與差的正弦函數(shù)．【分析】由0＜β＜α＜，可得0＜α﹣β＜，0＜α+β＜，利用已知及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sin（α﹣β），cos（α+β）的值，根據(jù)sin2α=sin[（α﹣β）+（α+β）]由兩角和的正弦函數(shù)公式即可求值．【解答】解：∵0＜β＜α＜，cos（α﹣β）=，sin（α+β）=，∴0＜α﹣β＜，0＜α+β＜，∴sin（α﹣β）==，cos（α+β）==，∴sin2α=sin[（α﹣β）+（α+β）]=sin（α﹣β）cos（α+β）+cos（α﹣β）sin（α+β）=×+×=．故答案為：．17.數(shù)列，，，…的一個(gè)通項(xiàng)an=．參考答案：【考點(diǎn)】81：數(shù)列的概念及簡單表示法．【分析】通過觀察可以看出：分子是由奇數(shù)組成的數(shù)列，分母是由偶數(shù)組成的數(shù)列．即可得出．【解答】解：觀察數(shù)列，，，…，可知：分子是由奇數(shù)組成的數(shù)列，分母是由偶數(shù)組成的數(shù)列．因此可得一個(gè)通項(xiàng)an=．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某工廠要建造一個(gè)無蓋長方體水池，底面一邊長固定為8，最大裝水量為72，池底和池壁的造價(jià)分別為元、元，怎樣設(shè)計(jì)水池底的另一邊長和水池的高，才能使水池的總造價(jià)最低？最低造價(jià)是多少？參考答案：解：設(shè)池底一邊長為，水池的高為，池底、池壁造價(jià)分別為，則總造價(jià)為

由最大裝水量知，

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，總造價(jià)最低，答：將水池底的矩形另一邊和長方體高都設(shè)計(jì)為時(shí)，總造價(jià)最低，最低造價(jià)為元。

略19.函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的圖象與y軸的交點(diǎn)為（0，），它的一個(gè)對稱中心是M（，0），點(diǎn)M與最近的一條對稱軸的距離是．（1）求此函數(shù)的解析式；（2）求此函數(shù)取得最大值時(shí)x的取值集合；（3）當(dāng)x∈（0，π）時(shí)，求此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．參考答案：【考點(diǎn)】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；正弦函數(shù)的圖象．【分析】（1）由函數(shù)的周期性、圖象的對稱性求出ω、φ的值，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出A的值，可得函數(shù)的解析式．（2）利用正弦函數(shù)的最大值，求得函數(shù)取得最大值時(shí)x的取值集合．（3）利用正弦函數(shù)的調(diào)增區(qū)間，求得當(dāng)x∈（0，π）時(shí)，此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的圖象的一個(gè)對稱中心是M（，0），點(diǎn)M與最近的一條對稱軸的距離是，故，求得ω=2，φ=．再根據(jù)函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)為（0，），可得Asin（ω?0+）=，∴A=2，函數(shù)f（x）=2sin（2x+）．（2）令2x+=2kπ+，求得x=kπ+，k∈Z，故函數(shù)取得最大值時(shí)x的取值集合為{x|x=kπ+，k∈Z}．（3）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函數(shù)的增區(qū)間為[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．再結(jié)合x∈（0，π），可得函數(shù)的增區(qū)間為（0，]、[，π）．20.數(shù)列{an}滿足，.（1）設(shè)，求證：{bn}為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.參考答案：解析:（1）由題意，，所以是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.（2）由（1）知,從而令,兩式相減有所以

21.已知函數(shù)f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間上的最大值和最小值．參考答案：【考點(diǎn)】GQ：兩角和與差的正弦函數(shù)；GT：二倍角的余弦；H5：正弦函數(shù)的單調(diào)性．【分析】將函數(shù)解析式先利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，整理后再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，最后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，（Ⅰ）找出ω的值，代入周期公式，即可求出f（x）的最小正周期，由正弦函數(shù)的遞增區(qū)間即可求出函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；（Ⅱ）又x的范圍，求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出函數(shù)f（x）的值域，即可得到f（x）的最大值與最小值．【解答】解：f（x）=4cosx（sinx+cosx）﹣1=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），（Ⅰ）∵ω=2，∴T=π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，則f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ﹣，kπ+]，