2020屆高考數(shù)學專題十等差數(shù)列與等比數(shù)列精準培優(yōu)專練理

72n72n培點

等數(shù)與比列一等、比列基運例1：等比數(shù)列

{}n

的前n

項和為

Sn

，已知

a25

，且

4

與

a

7

的等差中項為

54

，則

S5

等于（）A．

B．

C．

D．36【答案】【解析】由

a2

，得

4

．又

a47

51，所以，以q2

，所以

1

，所以

S5

51

31

，故選B．例2：

{}n

是公差不為0的等數(shù)列，滿足a24

5

6

27

，則該數(shù)列的前1

項和

S10

等于（）A．

B．

C．0

D．【答案】【解析】由題意，得

2

，即

(a)aa)4765

，即

(a))4

，又因為，以4

，則該數(shù)列的前0

項和

10

a)110)6

．故選C．例3：已知遞增數(shù)列

{}n

對任意

nN*

均滿足aNn

*

，

an

，記

(nN

*

)

，則數(shù)列

{}n

的前

項和等于（）A．

n

B．

n

C．

n

D．

n1

【答案】【解析】因為

an，所以a1

，若

，么1a

矛盾；若

，么1

成立；若

1

，那么

a3

矛盾，，21

an

，又有

aa

，333n

，于是得到n

2

3

2

n

，即

bb

，數(shù)列

{}首項為，比為3n

的等比數(shù)列，所以前n項和為

n3(13)n112

，故選D．二等、比列性及用例4：已知數(shù)列

{}{}滿足bloga，*，中n

{}n

是等差數(shù)列，且

a8

2008

14

，則

122015

等于（）A．

log2

B．2015

C．

D．1008【答案】2

2*))2*))【解析】∵數(shù)列

{}n

，

{}n

滿足

logan2n

，

n*

，其中

{}n

是等差數(shù)列，∴數(shù)列

{}n

是等比數(shù)列，由

a8

2008

14

，可得

a1008

14

，即

a1008

12

，∴

aa12015

2

1007

1009

21008

14

，∴

b132015

212015

1()2

2015

．例5：各項均為正數(shù)的等比數(shù)列

{}n

的前項和為S，10，則等（）n4128A．

B．

C．40

或

D．

或【答案】【解析】∵數(shù)列

{}n

為等比數(shù)列且數(shù)列

{}前項和為，nn∴

S4

，

S8

4

，

S128

也構成等比數(shù)列，∴)2(S)448

，∵

S10，S412

，各項均為正數(shù)的等比數(shù)列

{}n

，∴(S8

2

)∴8

．故選B．例6：等比數(shù)列

{}n

3的首項為，比為，項為S，則當時22

1

的最大值與最小值之和為（）A．

23

B．

712

C．

14

D．

56【答案】【解析】依題意得，

n

1)n212

n

．3

n1n2n1n2當

為奇數(shù)時n

12

隨著

13的增大而減小2n2

1隨S的大而增大，150

；當n

為偶數(shù)時，

Sn

31隨著n的大而增大，4n

，

1

隨著

Sn

的增大而增大，

712S

．因此S

S

577的最大值與最小值分別為、，最大值與最小值之和為6126

，故選C．三等、比列綜問例7：已知等差數(shù)列

{}n

的公差為且212

．（1求數(shù)列

{}n

的通項公式

與前項n

Sn

；（2將數(shù)列{}n

的前4

項抽去其中一項后，剩下三項按原來順序恰為等比數(shù){}n

的前3

項，記{}n

的前項為T，存在mn

*

，使對任意

*

，總有

Snm

恒成立，求實數(shù)的值范圍．【答案）

，nn

(9)

）(2,【解析）由

得a∴427121

，∴

，從而Snn

n)2

．（2由題意知

，2，12

，設等比數(shù)列

{}n

b1的公比為q，2b2

，4

1)11)1**∴Tm

11)

m

m，)隨m增加而遞減，∴

數(shù)列，得

．又

n)1981(n)(n)22224

，(S)故，nmax4若存在，對任意nN總有nm

，則10

，得

，即實數(shù)的值范圍為四數(shù)與他識交例8：已知等差數(shù){a}n

的

項和為

Sn

，若

BOA1

OC

，且A

，B

，

三點共(該直線不過S點)，則A．

2016

等于（）B．

C．

D．【答案】【解析】∵

，B

、C

三點共線∴

AB

AC

，∴OA

(OCOA)

，OB

，又∵OBOA2016

，∴

1

，

2016

，∴

12016

，∴

2016

2016(a)110082

，∴故選B．5

111201111201對增集一、選擇題1．設等差數(shù)列

{}前n項和，若4，，則a等（）n1520A．【答案】【解析】等差數(shù)列

B．6{}前n項和為S，n

C．

D．∵

4，S3

，

dd60

，解得

a1

12

，

d

12

，∴

11ad1022

．故選C．2．等比數(shù)列

{}，，，則數(shù)列{lg}的前1項等于（）n4nA．2

B．

C．10

D．5【答案】【解析】∵等比數(shù)列

{}，，a，aaan471047

，∴數(shù)列

{a}n

的前

項和lglga110

a510

，故選D．3．在正項等比數(shù)列

{}n

中，已知

35

，則

1

的最小值為（）6

99A．64

B．32

C．16

D．【答案】【解析】在正項等比數(shù)列

{}中，∵aa，a64n331

，∴a216117的最小值為1，選C．∴17

，當且僅當

a17

時取等號，4．在等比數(shù)列

{}n

中

3

，

15

是方程

x

x

的兩根，則

a17a

的值為（）A．

3

B．

C．

2

D．【答案】【解析】∵

3

，

15

是方程

x

的兩根，∴

315

，

315

，∵

{}n

為等比數(shù)列，又

3

，

9

，

15

同號，∴

9

，∴a9

，3∴

aa2117a9

．故選A．5．一個等比數(shù)列的前三項的積2

，最后三項的積為4

，且所有項的積為64

，則該數(shù)列的項數(shù)是（）A．

B．12

C．11

D．10【答案】【解析】設等比數(shù)列為

{}其前項積為，已知得nn

aa，aa13nn

，可得(a)31n

，

a1n

，∵

an1

，T2n

a2

)

a)(2n

)()a)11

64

，∴

．6．若

{}n

是等差數(shù)列，首項

01

，

2016

2017

，

2016

2017

，使前n項和

n

成立的最大7

正整數(shù)

是（）A．

B．2017

C．4032

D．【答案】【解析】因為

01

，

2016

2017

，

2016

2017

，所以0，

2016

，

2017

0

，所以

4032

)4032()1403220162017

，

4033

4033(a)12017

，所以使前項n

成立的最大正整數(shù)是，選．7．數(shù)列

{}n

中，若

1

，且對任意正整數(shù)，k

，總有

m

，則

{}的前n項n

Sn

等于（）A．

nn

B．

nn2

C．

n(

D．

n2【答案】【解析】依題意得

n

n1

，即有

n

n1

，所以數(shù)列

{}n

是以

為首項，2

為公差的等差數(shù)列，2n2nn

，

nn)2

(n

，故選C．8．記S為正項等比列n

{}n

的前n

項和，若

S3SS3

，且正整數(shù)，n滿足m

2a3

，則

mn

的最小值是（）8

A．

157

B．

95

C．

53

D．

75【答案】【解析】∵

{}n

是等比數(shù)列，設

{}n

S的公比為q，∴1266，3

，∴

6

3

，解得(負舍去)．又aa12

5

，∴a31

m

a21

4

)

3

1

，∴mn

，∴

18118()(mn)m15n

17

2m2817m15

，當且僅當

28n

，即

，6

時等號成立，∴

18的最小值是，選C．39列

{}n

是以

為首項

為公比的等比數(shù)列列

{}n

滿足

n2

(nn

2

，

)

，數(shù)列

{}滿足c2nn

(，，n

)

，若

{n

}

為等比數(shù)列，則a等（）A．

B．3

C．

D．【答案】【解析】由題意知，當

時，

{}n

不是等比數(shù)列，所以

b

．由aab

，則

n

)a

，得

n

ab(1n1abn1(11(1

2

，要使

{}n

2(1為等比數(shù)列，必有1

，得

，a3

，故選B．9

2210．我國古代著名的數(shù)學專著九章算術》里有一段敘述：今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊，齊長安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增一十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里；良馬至齊，復還迎駑馬，二馬相逢．問：幾日相逢？（）A．

日

B．

日C．12

日D．

日【答案】【解析】由題可知，良馬每日行程

n

構成一個首項為

，公差3

的等差數(shù)列，駑馬每日行程

n

構成一個首項為97

，公差為

的等差數(shù)列，則

103n90n

，

970.5(n97.5nn

，則數(shù)列

{}n

與數(shù)列

{}n

的前n

項和為12250

，又∵數(shù)列

{}n

的前n

項和為

n2

(103n90)

，數(shù)列

{}n

的前

項和為

97.50.5n

，n(10390)(970.5n2

，整理得

25n9000，n

，解得：n9或n

(舍)，即九日相逢．故選B．11．在由正數(shù)組成的等比數(shù)列{a}中，若an34

，則

sin(logalog313

a)37

的值為（）A．

B．

C．1

D．

【答案】【解析】因為aa345

34

，所以

π4

，10

n2n2即

loglog(aa31332

)loglog373

π3

，所以a)1323二、填空題

32

．12．數(shù)列

{}n

的通項

a·(cos2n

3

sin

2

3

)

，其前

項和為

Sn

，則

S30

________．【答案】【解析】由題意可知，

an

2

23

，若n3k

，則

)

2

k

(N*)

；若k，a(3n

2

2k

(N

*

)

；若nk

，則)2(kN*)

，∴

a3

3

5k，*3k

，∴

5902

．13．已知數(shù)列

{}n

滿足

1

，且

(

，

*)

，則

n

________．【答案】

an

n2n

(*)【解析】由

a

2n1n，，是(aaann

，

*)

．11

為首項，**min為首項，**min11又，數(shù){an

1是以為首項，為比的等比數(shù)列，2故

n1an

，∴

an

n2

(

*

)

．14．數(shù)列

{a}kn

是首項為

，公差為

的等差數(shù)列，其中

，且k

．設

calgann

，若

{}n

中的每一項恒小于它后面的項，則實數(shù)k

的取值范圍________．【答案】(0,

)(1,【解析】由題意得

logankn

，則

，∴

k2(nk2n

2

，即數(shù)列

{}n

是以

k

2

為公比的等比數(shù)列，clg2)

lgk

，要使

cn

對一切

n*

恒成立，即

(nnk

2

k對切恒立；當k

時，

k，

2

對一切nN恒立；當

時，

k

，

nk

2

對一切

n*

恒成立，只需

k2

nn

)

min

．∵

nn

單調(diào)遞增，∴當

n時，取得最小值，即n

(

n)n

，∴

k

，且0

，∴

0

63

．綜上，

k(0,

)(1,

．15．艾薩克·牛頓(1643年1月-1727年31日英國皇家學會會長，英國著名物理學家，時在數(shù)12

f'(x)nf'(x)n學上也有多杰出貢獻牛頓用“作切線”的法求函數(shù)

fx

的零點時給出個數(shù)列

{}n

滿足f(x)xxn

，我們把該數(shù)列稱為牛頓數(shù)列．如果函數(shù)

f(

2

(a

有兩個零點，2，數(shù)列

{}n

為牛頓數(shù)列，設ln

xx

，已知

，，{}1nn

的通項公式．n【答案】【解析】∵函數(shù)

f((a0)

有兩個零點1

，

，∴

，解得ab

，∴

f()

2

，fa

．則

xxn

axax2xnnnaxa2xnn

，∴

x2nxxx2(2xxnnn)xxxxnn2n

2

，則數(shù)列是2為比的等比數(shù)列，n又∵

1

，∴數(shù)列

{}n

是以

為首項，以2

為公比的等比數(shù)列，則a

．三、解答題16．已知數(shù)列

{}n

的前

項和為

Sn

，且(n

*

)

．（1求

1

，

2

，

3

的值；（2是否存在常數(shù)使數(shù)

{n

}

為等比數(shù)列？若存在，求出值和通項公式a；若不存在，n請說明理由．13

nnn3nnn3【答案）

1

，

2

，

213

）在，

，3(2n*)n

．【解析）當

時，由

1

，得

1

；當n

時，由

S22

，可得

2

；當n

時，由

233

，得

213

．（2令(a2

2

a13

2

，解得由

及nn

n

2an

n

，兩式相減，得

n

2n

．由以上結論得

n

nn

，所以數(shù)列

{n

是首項為6

，公比為2

的等比數(shù)列，因此存在

，使得數(shù)列

{n

為等比數(shù)列，所以an1

n

，an*)n

．17．已知數(shù)列

{}前n項和為S，S3(ann

*

)

．（1求數(shù)列

{}n

的通項公式；（2設數(shù)列

{}足nn

3)2

a

，若

n

對于任意正整數(shù)n都立，求實數(shù)的