高二數(shù)學選修1-1-雙曲線的簡單幾何性質(zhì)(整理修改)

小結(jié)或或關(guān)于坐標軸和原點都對稱性質(zhì)雙曲線范圍對稱性頂點

漸近線離心率圖象關(guān)于x軸、y軸、原點對稱圖形方程范圍對稱性頂點離心率yxOA2B2A1B1..F1F2yB2A1A2B1

xO..F2F1A1（-a，0），A2（a，0）B1（0，-b），B2（0，b）F1(-c,0)F2(c,0)F1(-c,0)F2(c,0)關(guān)于x軸、y軸、原點對稱A1（-a，0），A2（a，0）漸進線無“共漸近線”的雙曲線的應用λ>0表示焦點在x軸上的雙曲線；λ<0表示焦點在y軸上的雙曲線?？偨Y(jié)：例1、雙曲線型自然通風塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，它的最小半徑為12m,上口半徑為13m,下口半徑為25m,高55m.選擇適當?shù)淖鴺讼?，求出此雙曲線的方程(精確到1m).

A′A0xC′CB′By131225例題講解

xyOlF引例：點M(x,y)與定點F(c,0)的距離和它到定直線的距離比是常數(shù)

(c>a>0)，求點M的軌跡.M解：設(shè)點M(x,y)到l的距離為d，則即化簡得(c2－a2)x2－

a2y2=a2(c2

－a2)設(shè)c2－a2=b2，(a>0,b>0)故點M的軌跡為實軸、虛軸長分別為2a、2b的雙曲線.b2x2－a2y2=a2b2即就可化為:M點M的軌跡也包括雙曲線的左支.一、第二定義

雙曲線的簡單幾何性質(zhì)(3)---直線與雙曲線的位置關(guān)系橢圓與直線的位置關(guān)系及判斷方法判斷方法?<0?=0?>0（1）聯(lián)立方程組（2）消去一個未知數(shù)（3）復習:相離相切相交一、直線與雙曲線的位置關(guān)系一、直線與橢圓的位置關(guān)系：（2）弦長問題（3）弦中點問題（4）經(jīng)過焦點的弦的問題(利用定義)（1）直線與橢圓位置關(guān)系二、直線與雙曲線位置關(guān)系種類：XYO種類:相離;相切;相交(兩個交點,一個交點)1)位置關(guān)系種類XYO種類:相離;相切;相交(0個交點，一個交點，一個交點或兩個交點)2)位置關(guān)系與交點個數(shù)XYOXYO相離:0個交點相交:一個交點相交:兩個交點相切:一個交點兩個交點一個交點0個交點相交相切相交相離交點個數(shù)方程組解的個數(shù)有沒有問題?結(jié)論一：[1]0個交點和兩個交點的情況都正常,

那么,依然可以用判別式判斷位置關(guān)系[2]一個交點卻包括了兩種位置關(guān)系:

相切和相交(特殊的相交),那么是否意味著判別式等于零時,即可能相切也可能相交?判斷下列直線與雙曲線之間的位置關(guān)系：[1][2]相切相交試一下:判別式情況如何?一般情況的研究顯然,這條直線與雙曲線的漸進線是平行的,也就是相交.把直線方程代入雙曲線方程,看看判別式如何?根本就沒有判別式!當直線與雙曲線的漸進線平行時,把直線方程代入雙曲線方程,得到的是一次方程,根本得不到一元二次方程,當然也就沒有所謂的判別式了。結(jié)論：判別式依然可以判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系！結(jié)論二：3)判斷直線與雙曲線位置關(guān)系的操作程序把直線方程代入雙曲線方程得到一元一次方程得到一元二次方程直線與雙曲線的漸進線平行相交（一個交點）計算判別式>0=0<0相交相切相離(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=01.二次項系數(shù)為0時，L與雙曲線的漸近線平行或重合。重合：無交點；平行：有一個交點。2.二次項系數(shù)不為0時,上式為一元二次方程,

Δ>0直線與雙曲線相交（兩個交點）

Δ=0直線與雙曲線相切

Δ<0直線與雙曲線相離②相切一點:△=0③相離:△＜0注:①相交兩點:△＞0

同側(cè)：＞0

異側(cè):＜0

一點:直線與漸進線平行特別注意直線與雙曲線的位置關(guān)系中：一解不一定相切，相交不一定兩解，兩解不一定同支例1、判斷下列直線與雙曲線的位置關(guān)系：相交(一個交點)相離y..F2F1O.xy..F2F1O.例.已知直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=4,試討論實數(shù)k的取值范圍,使直線與雙曲線(1)沒有公共點;(2)有兩個公共點;(3)只有一個公共點;(4)交于異支兩點；(5)與左支交于兩點.(3)k=±1，或k=±；(4)-1＜k＜1；(1)k＜

或k＞；(2)＜k＜；1.過點P(1,1)與雙曲線只有共有_______條.

變題:將點P(1,1)改為1.A(3,4)2.B(3,0)3.C(4,0)4.D(0,0).答案又是怎樣的?41.兩條;2.三條;3.兩條;4.零條.交點的一個直線XYO（1，1）。例4、如圖，過雙曲線的右焦點傾斜角為的直線交雙曲線于A，B兩點，求|AB|。三、弦長問題xyo..NM四.弦中點問題xyo..NMxyo..NM例.已知雙曲線方程為3x2-y2=3,求：

(1)以2為斜率的弦的中點軌跡；

(2)過定點B(2,1)的弦的中點軌跡；

(3)以定點B(2,1)為中點的弦所在的直線方程.(4)以定點(1,1)為中點的弦存在嗎？說明理由.1.位置判定2.弦長公式3.中點問題4.設(shè)而不求(韋達定理、點差法)

5.垂直與對稱小結(jié)：1.已知直線y=ax+1與雙曲線3x2-y2=1相交于A、B兩點.(1)當a為何值時，以AB為直徑的圓過坐標原點；

(2)是否存在這樣的實數(shù)a,使A、B關(guān)于y=2x對稱，若存在，求a;若不存在，說明理由.（備選）垂直與對稱問題解：將y=ax+1代入3x2-y2=1又設(shè)方程的兩根為x1,x2，A(x1,y1),B(x2,y2),得(3-a2)x2-2ax-2=0,它有兩個實根，必須△>0,∵原點O（0，0）在以AB為直徑的圓上，∴OA⊥OB，即x1x2+y1y2=0,即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0,∴(a2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0,解得a=±1.

(1)當a為何值時，以AB為直徑的圓過坐標原點；

(2)是否存在這樣的實數(shù)a,使A、B關(guān)于y=2x對稱，若存在，求a;若不存在，說明理由.3、設(shè)雙曲線C：與直線相交于兩個不同的點A、B。（1）求雙曲線C的離心率e的取值范圍。（2）設(shè)直線l與y軸的交點為P，且求a的值。4、由雙曲線上的一點P與左、右兩焦點構(gòu)成，求的內(nèi)切圓與邊