山西省臨汾市鄉(xiāng)寧中學2021-2022學年高三數學理期末試題含解析

山西省臨汾市鄉(xiāng)寧中學2021-2022學年高三數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數的單調遞增區(qū)間是

A．

B．

C．

D．參考答案：D略2.設是等差數列的前項和，已知，，則A．

B．

C．

D．參考答案：C略3.函數在點處有定義是在點處連續(xù)的

(A)充分而不必要的條件

(B)必要而不充分的條件

(C)充要條件

(D)既不充分也不必要的條件參考答案：B

本題主要考查函數連續(xù)性的定義與充要條件的判斷，難度一般。

函數在處連續(xù)必定在處有定義，確定函數在某一處連續(xù)還需要確定函數在此處是否有極限，以及極限值是否與函數值相等。因此在點處有定義是在點處連續(xù)的必要非充分條件，選擇B。

4.如圖，矩形ABCD的四個頂點的坐標分別為A（0，﹣1），B（π，﹣1），C（π，1），D（0，1），正弦曲線f（x）=sinx和余弦曲線g（x）=cosx在矩形ABCD內交于點F，向矩形ABCD區(qū)域內隨機投擲一點，則該點落在陰影區(qū)域內的概率是(

) A． B． C． D．參考答案：B考點：幾何概型．專題：概率與統計．分析：利用定積分計算公式，算出曲線y=sinx與y=cosx圍成的區(qū)域包含在區(qū)域D內的圖形面積為S=2π，再由定積分求出陰影部分的面積，利用幾何概型公式加以計算即可得到所求概率．解答： 解根據題意，可得曲線y=sinx與y=cosx圍成的區(qū)域，其面積為（sinx﹣cosx）dx=（﹣cosx﹣sinx）|=1﹣（﹣）=1+；又矩形ABCD的面積為2π，由幾何概型概率公式得該點落在陰影區(qū)域內的概率是；故選B．點評：本題給出區(qū)域和正余弦曲線圍成的區(qū)域，求點落入指定區(qū)域的概率．著重考查了定積分計算公式、定積分的幾何意義和幾何概型計算公式等知識，屬于中檔題．5.設是空間中的一條直線，是空間中的一個平面，則下列說法正確的是（）A．過一定存在平面,使得

B．過一定不存在平面,使得C．在平面內一定存在直線，使得D．在平面內一定不存在直線，使得參考答案：C6.已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，若終邊經過點(3,4)，則等于（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B略7.已知f（x）為定義域為R的函數，f'（x）是f（x）的導函數，且f（1）=e，?x∈R都有f'（x）＞f（x），則不等式f（x）＜ex的解集為（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，0） C．（0，+∞） D．（1，+∞）參考答案：A【考點】利用導數研究函數的單調性．【分析】根據題意，令g（x）=，結合題意對其求導分析可得g′（x）＞0，即函數g（x）在R上為增函數，又由f（1）=e，可得g（e）==1，而不等式f（x）＜ex可以轉化為g（x）＜g（1），結合函數g（x）的單調性分析可得答案．【解答】解：根據題意，令g（x）=，其導數g′（x）==，又由，?x∈R都有f'（x）＞f（x），則有g′（x）＞0，即函數g（x）在R上為增函數，若f（1）=e，則g（e）==1，f（x）＜ex?＜1?g（x）＜g（1），又由函數g（x）在R上為增函數，則有x＜1，即不等式f（x）＜ex的解集為（﹣∞，1）；故選：A．8.“或是假命題”是“非為真命題”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A略9.已知Sn是等差數列{}的前n項和，且S3＝S8，S7＝Sk，則k的值為（）A、3B、4C、5D、6參考答案：B

10.已知為第二象限角，，則(

)A．

B．

C．

D．參考答案：二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.以為漸近線且經過點的雙曲線方程為______.參考答案：因為雙曲線經過點，所以雙曲線的焦點在軸，且，又雙曲線的漸近線為，所以雙曲線為等軸雙曲線，即，所以雙曲線的方程為。12.己知函數，當曲線y=f(x)的切線L的斜率為正數時,L在x軸上截距的取值范圍為____________.參考答案：略13.已知圓C：經過拋物線E：的焦點，則拋物線E的準線與圓C相交所得弦長為

參考答案：4

【知識點】直線與圓、圓與圓的位置關系拋物線E：x2=4y的焦點為（0，1），準線為y=-1．（0，1）代入圓C：x2+y2+8x+ay-5=0，可得1+a-5=0，∴a=4∴圓C：x2+y2+8x+4y-5=0，即（x+4）2+（y+2）2=25，

∴圓心到直線的距離為d=1，∴拋物線E的準線與圓C相交所得的弦長為2=4．【思路點撥】求出拋物線E：x2=4y的焦點為（0，1），準線為y=-1，確定圓的方程，即可求出拋物線E的準線與圓C相交所得的弦長．14.若，則=．參考答案：【考點】兩角和與差的余弦函數；兩角和與差的正弦函數．【分析】原式中的角度變形后，利用誘導公式化簡，將已知等式代入計算即可求出值．【解答】解：∵，∴=cos[﹣（+α）]=sin（+α）=．故答案為：．15.已知極坐標的極點在直角坐標系的原點O處，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C的參數方程為（為參數），直線的極坐標方程為．則直線與曲線C的位置關系為___________.參考答案：略16.一支田徑隊有男女運動員98人，其中男運動員有56人.按男女比例用分層抽樣的方法，從全體運動員中抽出一個容量為28的樣本，那么應抽取女運動員人數是_______.參考答案：12．設應抽取的女運動員人數是，則，易得.17.已知，，則

。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx﹣（ω＞0，x∈R）的圖象上相鄰兩個最高點的距離為π．（Ⅰ）求函數f（x）的單調遞增區(qū)間；（Ⅱ）若△ABC三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且c=，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值．參考答案：【考點】余弦定理；兩角和與差的正弦函數；正弦函數的單調性．【專題】解三角形．【分析】（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，整理為一個角的正弦函數，根據題意確定出ω的值，確定出f（x）解析式，利用正弦函數的單調性求出函數f（x）的單調遞增區(qū)間即可；（Ⅱ）由f（C）=0，求出C的度數，利用正弦定理化簡sinB=3sinA，由余弦定理表示出cosC，把各自的值代入求出a與b的值即可．【解答】解：f（x）=sin2ωx﹣（1+cos2ωx）﹣=sin（2ωx﹣）﹣1，∵f（x）圖象上相鄰兩個最高點的距離為π，∴=π，即ω=1，則f（x）=sin（2x﹣）﹣1，（Ⅰ）令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤kπ+，k∈Z，則函數f（x）的單調遞增區(qū)間為[﹣+kπ，kπ+]，k∈Z；（Ⅱ）由f（C）=0，得到f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，即sin（2x﹣）=1，∴2C﹣=，即C=，由正弦定理=得：b=，把sinB=3sinA代入得：b=3a，由余弦定理及c=得：cosC===，整理得：10a2﹣7=3a2，解得：a=1，則b=3．【點評】此題考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦、余弦函數公式，熟練掌握定理是解本題的關鍵．19.設是公比為正數的等比數列，，。

（Ⅰ）求的通項公式；

（Ⅱ）設是首項為1，公差為2的等差數列，求數列的前項和。參考答案：解：（I）設q為等比數列的公比，則由，即，解得（舍去），因此所以的通項為（II）

20.已知函數f(x)=x3-x．（1）求曲線y=f(x)在點M(t,f(t))處的切線方程；（2）設a>0，如果過點(a,b)可作曲線y=f(x)的三條切線，證明：-a<b<f(a)參考答案：解：（1）的導數．曲線在點處的切線方程為：，即．（2）如果有一條切線過點，則存在，使．若過點可作曲線的三條切線，則方程有三個相異的實數根．記，則．當變化時，變化情況如下表：000增函數極大值減函數極小值增函數由的單調性，當極大值或極小值時，方程最多有一個實數根；當時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數根；當時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數根．綜上，如果過可作曲線三條切線，即有三個相異的實數根，則即 ．略21.（本題滿分14分）設函數，其中．（Ⅰ）若函數僅在處有極值，求的取值范圍；（Ⅱ）若對于任意的，不等式在恒成立，求的取值范圍．參考答案：（Ⅰ）解：，

------1分顯然不是方程的根．為使僅在處有極值，必須成立，

------3分即有．解得．所以的取值范圍是．

------6分（Ⅱ）由條件，可知，從而恒成立．---8分當時，；當時，．因此函數在上的最大值是與兩者中的較大者．

------11分為使對任意的，不等式在上恒成立，當且僅當，即

在上恒成立．

------13分所以，因此滿足條件的的取值范圍是．

------14