第39課 幾何應用性問題

第39課幾何應用性問題基礎知識題型分類要點梳理題型一有關長度、周長和面積、容積

的問題助學微博基礎自測題型二解直角三角形的應用題型三利用三角函數(shù)進行圖形計算題型四幾何圖形設計易錯警示27.證明三角形相似缺乏條理要點梳理幾何應用題的形式有長度、面積、體積、角度以及三角函數(shù)的計算，還有方案設計等．基本解法：先根據(jù)題目已知條件準確畫出圖形，把生活情景的問題轉化為數(shù)學問題，再運用幾何計算中的一些基本方法予以解決．首頁助學微博幾何應用題的解題策略首先要閱讀材料，理解題意，找到考查的主要內容和知識點，揭示實際問題的數(shù)學本質，把實際問題轉化成數(shù)學問題．幾何應用性問題的解題策略是：將實際問題幾何化(從實際問題中抽象出基本幾何圖形)，解題時需要畫出圖形，在圖形中標出已知線段長和角的度數(shù)等，注意幾何與代數(shù)的聯(lián)系，及數(shù)學思想方法的綜合運用．首頁助學微博用代數(shù)方法解幾何應用題幾何求值問題，當未知量不能直接求出時，一般需設出未知數(shù)，繼而建立方程(組)，用解方程(組)的方法去求結果，這是解題中常見的具有導向作用的一種思想．首頁基礎自測1．(2013·北京)如圖，為估算某河的寬度，在河對岸邊選定一個目標點A，在近岸取點B、C、D，使得AB⊥BC，CD

⊥BC，點E在BC上，并且點A、E、D在同一條直線上．若測得BE＝20m，EC＝10m，CD＝20m，則河的寬度AB等于()A.60mB.40mC.30mD.20m解析由△EDC∽△EAB，解得：AB＝40(m)．故選B.B首頁基礎自測2．(2013·綿陽)如圖，要擰開一個邊長為a＝6cm的正六邊形螺帽，扳手張開的開口b至少為()解析畫出正六邊形，如圖，通過計算可知，故選C.C首頁基礎自測3．(2013·山西)如圖，某地修建高速公路，要從B地向C地修一座隧道(B、C在同一水平面上)，為了測量B、C兩地之間的距離，某工程師乘坐熱氣球從C地出發(fā)，垂直上升100m到達A處，在A處觀察B地的俯角為30°，則BC兩地之間的距離為()解析依題意得：在Rt△ABC中，AC＝100，∠ABC＝30°，故選A.A首頁基礎自測4．(2013·柳州)小明在測量樓高時，先測出樓房落在地面上的影長BA為15米(如圖)，然后在A處樹立一根高2米的標桿，測得標桿的影長AC為3米，則樓高為()A．10米B．12米C．15米D．22.5米解析本題考查了相似三角形在測量高度時的應用，解題時關鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應邊成比例列出方程，建立適當?shù)臄?shù)學模型來解決問題．首頁基礎自測在同一時刻物高和影長成正比，即在同一時刻的兩個物體、影子、經過物體頂部的太陽光線三者構成的兩個直角三角形相似．根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等，即可求解．4．(2013·柳州)小明在測量樓高時，先測出樓房落在地面上的影長BA為15米(如圖)，然后在A處樹立一根高2米的標桿，測得標桿的影長AC為3米，則樓高為()A．10米B．12米C．15米D．22.5米首頁基礎自測4．(2013·柳州)小明在測量樓高時，先測出樓房落在地面上的影長BA為15米(如圖)，然后在A處樹立一根高2米的標桿，測得標桿的影長AC為3米，則樓高為()A．10米B．12米C．15米D．22.5米∴樓高＝10(米)．故選A.A首頁基礎自測5．(2013·綿陽)如圖，在兩建筑物之間有一旗桿，高15米，從A點經過旗桿頂點恰好看到矮建筑物的墻角C點，且俯角

α為60°，又從A點測得D點的俯角β為30°，若旗桿底點

G為BC的中點，則矮建筑物的高CD為()解析∵GE∥AB∥CD，BC＝2GC，GE＝15，∴AB＝2GE＝30，∴CD＝AB－DF＝30－10＝20(米)．故選A.A首頁題型分類

題型一有關長度、周長和面積、容積的問題【例1】張先生前年在美美家園住宅小區(qū)訂購了一套住房，圖紙如圖所示．已知：①該住房的價格a＝15000元/平方米；②樓層的電梯、樓梯及門廳前室面積由兩戶購房者平均負擔；③每戶配置車庫16平方米，每平方米以6000元計算．根據(jù)以上提供的信息和數(shù)據(jù)計算：(1)張先生這次購房總共應付款多少元？(2)若經過兩年，該住房價格變?yōu)?1600元/平方米，那么該小區(qū)房價的年平均增長率為多少？首頁(3)張先生打算對室內進行裝修，甲、乙兩公司推出不同的優(yōu)惠方案：在甲公司累計購買10000元材料后，再購買的材料按原價的90%收費；在乙公司累計購買5000元材料后，再購買的材料按原價的95%收費．張先生怎樣選擇能獲得更大優(yōu)惠？首頁單位：毫米．首頁解(1)室內總面積＝4.65×4.2＋6.6×5＋8.4×5.7＝100.41(平方米)，樓梯電梯面積＝3.9×4.2＋3.6×5＝34.38(平方米)，需張先生負擔的面積＝100.41＋34.38÷2＝117.6(平方米)，總費用＝117.6×15000＋16×6000＝1860000(元)．(2)設年增長率為x，則有15000(1＋x)2＝21600，解得x1＝0.2，x2＝－2.2(舍去)，故該小區(qū)房價的年平均增長率為0.2(或20%)．首頁(3)①如果累計購物不超過5000元，兩個公司購物花費一樣多；②如果累計購物超過5000元而不超過10000元，在乙公司購物省錢；③如果累計購物超過10000元，設累計購物為x元(x>10000)．如果在甲公司購物花費小，則5000＋0.95(x－5000)>10000＋0.9(x－10000)，解得x>15000；首頁如果在乙公司購物花費小，則5000＋0.95(x－5000)<10000＋0.9(x－10000)，解得x<15000；而當花費恰好是15000元時，在兩個店花費一樣多．所以，累計購物超過10000元而不到15000元時，在乙公司購物省錢；累計購物等于15000元，兩個公司花費一樣多；累計購物超過15000元時，在甲公司購物省錢.探究提高適當分割，將圖形轉化為便于求長度、面積的幾何圖形．首頁

知能遷移1已知△ABC中，∠ACB＝90°(如圖)，點P到∠ACB

兩邊的距離相等，且PA＝PB.(1)先用尺規(guī)作出符合要求的點P(保留作圖痕跡，不需要寫作法)，然后判斷△ABP的形狀，并說明理由；(2)設PA＝m，PC＝n，試用m、n的代數(shù)式表示△ABC的周長和面積．首頁解(1)依題意可知，點P既在∠ACB的平分線上，又在線段

AB的垂直平分線上．如圖①，作∠ACB的平分線CP，作線段AB

的垂直平分線PM，CP與PM的交點即為所求的P點.△ABP是等腰直角三角形．理由如下：過點P分別作PE⊥AC，PF⊥CB，垂足為E、

F(如圖②)．∵PC平分∠ACB，PE⊥AC，PF⊥CB，∴PE＝PF.首頁又∵PA＝PB，∴Rt△APE≌Rt△BPF(HL)，∴∠APE＝∠BPF.∵∠PEC＝90°，∠PFC＝90°，∠ACB＝90°，∴∠EPF＝90°，∴∠APB＝90°.又∵PA＝PB，∴△ABP是等腰直角三角形．首頁(2)如圖②，在Rt△ABP中，∠APB＝90°，PA＝PB＝m，由Rt△APE≌Rt△BPF，△PCE≌△PCF可得，AE＝BF，CE＝CF，∴CA＋CB＝CE＋EA＋CB＝CE＋CF＝2CE.在Rt△PCE中，∠PEC＝90°，∠PCE＝45°，PC＝n，首頁首頁題型分類

題型二解直角三角形的應用【例2】(2013·蘇州)如圖，在一筆直的海岸線l上有AB

兩個觀測站，A在B的正東方向，AB＝2(單位：km)．有一艘小船在點P處，從A測得小船在北偏西60°的方向，從B

測得小船在北偏東45°的方向．(1)求點P到海岸線l的距離；(2)小船從點P處沿射線AP的方向航行一段時間后，到點C

處，此時，從B測得小船在北偏西15°的方向，求點C

與點B之間的距離．(上述兩小題的結果都保留根號)首頁解(1)如圖，過點P作PD⊥AB于點D，設PD＝x.在Rt△PBD中，∠BDP＝90°，∠PBD＝90°－45°＝45°，∴BD＝PD＝x.在Rt△PAD中，∠ADP＝90°，∠PAD＝90°－60°＝30°，∵BD＋AD＝AB，首頁(2)如圖，過點B作BF⊥AC于點F.在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，∠BAF＝30°，在△ABC中，∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝45°.在Rt△BCF中，∠BFC＝90°，∠C＝45°，首頁探究提高解直角三角形在實際中有廣泛的應用，其解題思路是：弄清題中名詞術語的意義，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學模型，將實際問題中的數(shù)量關系歸結為解直角三角形中各元素之間的關系．本題考查了解直角三角形的應用與方向角問題，通過作輔助線，構造直角三角形是解題的關鍵．首頁知能遷移2

(2013·荊門)A、B兩市相距150千米，分別從A、

B處測得國家級風景區(qū)中心C處的方位角如圖所示，風景區(qū)區(qū)域是以C為圓心，45千米為半徑的圓，tanα＝1.627，tanβ＝1.373.為了開發(fā)旅游，有關部門設計修建連接AB

兩市的高速公路．問連接AB高速公路是否穿過風景區(qū)，請說明理由．首頁解

AB不穿過風景區(qū)．理由如下：如圖，過C作CD⊥AB于點D，根據(jù)題意得：∠ACD＝α，∠BCD＝β，在Rt△ACD中，AD＝CD·tanα，在Rt△BCD中，BD＝CD·tanβ，∵AD＋BD＝AB，∴CD·tanα＋CD·tanβ＝AB，∵CD＝50＞45，∴高速公路AB不穿過風景區(qū)．首頁題型分類

題型三利用三角函數(shù)進行圖形計算【例3】(2012·張家界)黃巖島是我國南海上的一個島嶼，其平面圖如圖甲所示，小明據(jù)此構造出該島的一個數(shù)學模型，如圖乙所示，其中∠B＝∠D＝90°，AB＝BC

＝15千米，CD＝3千米，請據(jù)此解答如下問題：(1)求該島的周長和面積；(結果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：(2)求∠ACD的余弦值．圖甲圖乙首頁解(1)連接AC，∵AB＝BC＝15，∠B＝90°，又∵∠D＝90°，首頁探究提高當有些圖形不是直角三角形時，可適當添加輔助線，把它們分割成直角三角形，把實際問題中的數(shù)量關系歸結為直角三角形中各元素之間的關系．首頁知能遷移3

(2013·紅河)如圖，某山頂上建有手機信號中轉塔AB，在地面D處測得塔尖的仰角∠ADC＝60°，塔底的仰角∠BDC＝45°，點D距塔AB的距離DC為100米，求手機信號中轉塔AB的高度(結果保留根號)．解由題意可知，△ACD與△BCD都是直角三角形．在Rt△BCD中，∵∠BDC＝45°，∴BC＝CD＝100.在Rt△ACD中，∵∠ADC＝60°，CD＝100，首頁題型分類

題型四幾何圖形設計【例4】(2011·衢州)△ABC是一張等腰直角三角形紙板，∠C＝Rt∠，AC＝BC＝2.(1)要在這張紙板中剪出一個盡可能大的正方形，有甲、乙兩種剪法(如圖1)，比較甲、乙兩種剪法，哪種剪法所得的正方形面積更大？請說明理由.首頁(2)圖1中甲種剪法稱為第1次剪取，記所得的正方形面積為

S1；按照甲種剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分別剪取正方形，得到兩個相同的正方形，稱為第2次剪取，并記這兩個正方形面積和為S2(如圖2)，則S2＝_______；再在余下的四個三角形中，用同樣的方法分別剪取正方形，得到四個相同的正方形，稱為第3次剪取，并記這四個正方形的面積和為S3(如圖3)；繼續(xù)操作下去……，則第10次剪取時，S10＝________.首頁(3)求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面積和．首頁解(1)如圖甲，由題意得AE＝DE＝EC，即EC＝1，S正方形CFDE＝1.如圖乙，設MN＝x，則由題意，得AM＝MQ＝PN＝NB＝MN＝x，首頁說明：①圖甲可另解，由題意得點D、E、F分別為AB、AC、BC的中點，②本題亦可通過證EC＞MN來說明甲種剪法所得的正方形面積更大．首頁首頁則第十次剪取后余下的所有小三角形的面積和為探究提高根據(jù)題意，畫出符合題意的各種圖形，再逐一用相應的幾何知識解答．首頁知能遷移4在一服裝廠里有大量形狀為等腰三角形的邊角布料(如圖)．現(xiàn)找出其中的一種，測得∠C＝90°，AC＝

BC＝4，現(xiàn)要從這種三角形中剪出一種扇形，做成不同形狀的玩具，使扇形的邊緣半徑恰好都在△