ComputerBasics-Chapter-01-碼制及其運(yùn)算

1.6運(yùn)算基礎(chǔ)一個(gè)R進(jìn)制數(shù)具有以下主要特點(diǎn)具有R個(gè)不同數(shù)字符號(hào)：0、1、·······、R-1逢R進(jìn)一S=an-1an-2…a1a0.a-1a-2…a-m

=an-1×Rn-1+

an-2×Rn-2+…+a1×R1+a0×R0+a-1×R-1…+a-m×R-m上述R進(jìn)制數(shù)S可用多項(xiàng)式（稱為按權(quán)展開式）表示為：1.6.1進(jìn)位計(jì)數(shù)制

用an-1an-2…a1a0.a-1a-2…a-m書寫表方式示數(shù)據(jù)的方法稱為位置表示法。十進(jìn)制數(shù)具有十個(gè)不同的數(shù)字符號(hào)，即0-9逢十進(jìn)一特點(diǎn)一個(gè)十進(jìn)數(shù)可以用它的按權(quán)展開式表示。例如：（758.75）10=7×102+5×101+8×100+7×10-1+5×10-21.1.6.1進(jìn)位計(jì)數(shù)制

二進(jìn)制數(shù)一個(gè)二進(jìn)制數(shù)可以用它的按權(quán)展開式表示。例如：(10110.101)2=1×24+0×23+1×22+1×21+0×20

+1×2-1+0×2-2+1×2-3

=(22.625)10具有兩個(gè)不同的數(shù)字符號(hào)，即0和1逢二進(jìn)一特點(diǎn)2.1.6.1進(jìn)位計(jì)數(shù)制

(1AF.4)16=1×162+10×161+15×160+4×16-1=(430.25)10一個(gè)十六進(jìn)制數(shù)可以用它的按權(quán)展開式表示。例如：具有十六個(gè)不同的數(shù)字符號(hào)，即0-9和A-F逢十六進(jìn)一特點(diǎn)3.十六進(jìn)制數(shù)1.6.1進(jìn)位計(jì)數(shù)制

十進(jìn)制二進(jìn)制16進(jìn)制十進(jìn)制二進(jìn)制16進(jìn)制000000910019100011101010A200102111011B300113121100C401004131101D501015141110E601106151111F701117161000010810008171000111三種數(shù)制對(duì)照表1.6.1進(jìn)位計(jì)數(shù)制

【例】十進(jìn)制數(shù)22.625轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)222112…余0（低位）52…余122…余112…余00…余1（高位）0.625×21.25…取整數(shù)1（高位）×20.5…取整數(shù)0×21.0…取整數(shù)1（低位）

（0.625）10=（0.101）2所以:（22）10=(10110)2結(jié)果:（22.625）10=(10110.101)2整數(shù)部分：小數(shù)部分：4.各種數(shù)制之間的轉(zhuǎn)換1.6.1進(jìn)位計(jì)數(shù)制

十進(jìn)制數(shù)430.25轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)430162616…余14→E（低位）116…余10→A…余1(高位)整數(shù)部分：0小數(shù)部分：0.25×164.0…取整數(shù)4結(jié)果：（430.25）10=（1AE.4）16【例】1.6.1進(jìn)位計(jì)數(shù)制

注意①整數(shù)部分轉(zhuǎn)換，每次只求整數(shù)商，將余數(shù)作為轉(zhuǎn)換結(jié)果的一位，重復(fù)對(duì)整數(shù)商除基數(shù)，一直除到商為0為止。②小數(shù)部分轉(zhuǎn)換，每次把乘積的整數(shù)取走作為轉(zhuǎn)換結(jié)果的一位，對(duì)剩下的小數(shù)繼續(xù)進(jìn)行乘法運(yùn)算。對(duì)某些數(shù)可以乘到積的小數(shù)為0（如上述兩例），這種轉(zhuǎn)換結(jié)果是精確的；對(duì)某些數(shù)（如0.3）永遠(yuǎn)不能乘到積的小數(shù)為0，這時(shí)要根據(jù)精度要求，取適當(dāng)?shù)慕Y(jié)果位數(shù)即可，這種轉(zhuǎn)換結(jié)果是不精確的。1.6.1進(jìn)位計(jì)數(shù)制

例如：十六進(jìn)制數(shù)1AE.4

000110101110.0100即（1AE.4）16=（110101110.01）2若要將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)，只要以小數(shù)點(diǎn)為分界，分別向左和向右每四位二進(jìn)制位分為一組（若最高位或最低為不夠四位則補(bǔ)0），對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)即可。例如：二進(jìn)制數(shù)110101110.01000110101110.0100十六進(jìn)制數(shù)1AE.4即（110101110.01）2=（1AE.4）161.6.1進(jìn)位計(jì)數(shù)制

5.十六進(jìn)制、二進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換二進(jìn)制數(shù)的算術(shù)運(yùn)算【例

】10100+1101=100001【例

】100001-11010=11110100100001+1101-11010100001111【例

】1101×1011=10001111【例

】11100÷101=101┅┅111101101┅┅商

×1011101111001101101110110000000101+110111┅┅余數(shù)

100011116.1.6.1進(jìn)位計(jì)數(shù)制

二進(jìn)制數(shù)的邏輯運(yùn)算【例】10100101AND10001011【例】10100101OR10001011=10000001=101011111010010110100101AND10001011OR1000101110000001101011117.abNOTaNOTbaANDbaORbaXORb00110000110011100101111001101.6.1進(jìn)位計(jì)數(shù)制

【例】NOT10100101【例】10100101XOR10001011=01011010=0010111010100101NOT10100101XOR100010110101101000101110二進(jìn)制數(shù)的邏輯運(yùn)算7.1.6.1進(jìn)位計(jì)數(shù)制

BCD編碼表十進(jìn)制8421BCD碼十進(jìn)制8421BCD碼0000060110100017011120010810003001191001401001000010000501011100010001二進(jìn)制編碼1.6.21.二進(jìn)制編碼的十進(jìn)制數(shù)二進(jìn)制編碼1.6.2BCD碼是十進(jìn)制數(shù)，有10個(gè)不同的數(shù)字符號(hào)，且是逢十進(jìn)位的；但它的每一位是用4位二進(jìn)制編碼來表示的，因此稱為二進(jìn)制編碼的十進(jìn)制數(shù)。BCD碼比較直觀，例如十進(jìn)制數(shù)65用BCD碼書寫為01100101，BCD碼01001001.0111表示的十進(jìn)制數(shù)為49.7。1.二進(jìn)制編碼的十進(jìn)制數(shù)雖然BCD碼是用二進(jìn)制編碼方式表示的，但它與二進(jìn)制之間不能直接轉(zhuǎn)換，要用十進(jìn)制作為中間橋梁，即先將BCD碼轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)，然后再轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)；反之亦然。字母與字符的編碼

2.另外，在計(jì)算機(jī)中，漢字編碼采用國標(biāo)碼（GB18030-2000）,它采用單、雙、四字節(jié)混合編碼，每個(gè)字節(jié)的最高位為1，并以此來區(qū)分漢字和ASCⅡ碼。字母和字符也必須按照特定的規(guī)則，用二進(jìn)制編碼才能在機(jī)器中表示。編碼可以有各種方式，目前微機(jī)中最普遍采用的是ASCⅡ碼(AmericanStandardCodeforInformationInterchange,美國標(biāo)準(zhǔn)信息交換碼)。ASCⅡ碼采用7位二進(jìn)制編碼,故可表示27=128個(gè)字符,其中包括數(shù)碼(0-9)，以及英文字母等可打印的字符。二進(jìn)制編碼1.6.2字母與字符的編碼

2.二進(jìn)制編碼1.6.2原碼●正數(shù)的符號(hào)位用0表示,負(fù)數(shù)的符號(hào)位用1表示,數(shù)值位保持不變。這種方法稱為原碼。原碼的定義為:

若X≥+0

則[X]原=X

若X≤-0

則[X]原=2n-1–X

其中n為原碼的位數(shù)。1.6.3帶符號(hào)數(shù)的表示1.反碼⑴“0”有兩種表示方法：[+0]反=00000000，[-0]反=11111111⑵8位二進(jìn)制反碼真值范圍為-127～+127；16位反碼真值范圍為-32767～+32767。⑶當(dāng)一個(gè)帶符號(hào)數(shù)用反碼表示時(shí)，最高位為符號(hào)位。特點(diǎn)2.反碼的定義為：若X≥+0則[X]反=X

若X≤-0則[X]反=2n+X-1

其中n為反碼的位數(shù)。1.6.3帶符號(hào)數(shù)的表示補(bǔ)碼●在鐘表上，指針正撥12小時(shí)或倒撥12小時(shí)，其時(shí)間值是相等的,即在鐘表上X+12=X-12(mod12)。模的概念補(bǔ)碼的引入●對(duì)于n位二進(jìn)制數(shù)，其計(jì)數(shù)范圍為0～（2n-1），在該計(jì)數(shù)器上加2n或減2n結(jié)果是不變的，我們稱2n為n位計(jì)數(shù)系統(tǒng)的模。對(duì)鐘表來說，它的模為12?！裨阽姳砩?，如果現(xiàn)在時(shí)間是6點(diǎn)整，而鐘表卻指著8點(diǎn)整，快了2小時(shí)，校準(zhǔn)的方法是正撥10小時(shí)或倒撥2小時(shí)，結(jié)果都正確，即：8+10=6（mod12）順撥，8-2=6（mod12）倒撥。3.1.6.3帶符號(hào)數(shù)的表示[+3]補(bǔ)=[+3]原=[+3]反=00000011[-3]補(bǔ)=[-3]反+1=11111100+1=11111101[+0]補(bǔ)=[+0]原=[+0]反=00000000[-0]補(bǔ)=[-0]反+1=11111111+1=00000000補(bǔ)碼的求法●對(duì)n為二進(jìn)制數(shù)，模為2n

，則[X]補(bǔ)=（2in+X），MOD2n,i為正整數(shù)。補(bǔ)碼的定義●若X≥+0則[X]補(bǔ)=X，若X≤-0則[X]補(bǔ)=2n+X，其中n為補(bǔ)碼的位數(shù)。如果X≥0,則[X]補(bǔ)=（2in+X）MOD2n=X,即正數(shù)的補(bǔ)碼為原正數(shù)不變。如果X≤0,則[X]補(bǔ)=(2n+X)MOD2n=2n-1+X+1=[X]反+1，即負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼等于負(fù)數(shù)的反碼加1，也就是等于負(fù)數(shù)原碼除符號(hào)位外求反加1。求法與應(yīng)用[+0]補(bǔ)=[-0]補(bǔ)==00000000，即0的補(bǔ)碼為0，且只有一種表示方法。注意補(bǔ)碼1.6.3帶符號(hào)數(shù)的表示⑴[+0]補(bǔ)=[-0]補(bǔ)=00000000。⑵8位二進(jìn)制補(bǔ)碼真值范圍為-128～+127，16位補(bǔ)碼真值范圍為-32768～+32767。⑶一個(gè)用補(bǔ)碼表示的二進(jìn)制數(shù)，最高位為符號(hào)位，當(dāng)符號(hào)位為“0”即正數(shù)時(shí)，其余位即為此數(shù)的二進(jìn)制值；但當(dāng)符號(hào)位為“1”即負(fù)數(shù)時(shí)，其余位不是此數(shù)的二進(jìn)制值，其值為后面各位按位取反，在最低位加1。當(dāng)采用補(bǔ)碼表示時(shí)，可以把減法運(yùn)算轉(zhuǎn)換為加法運(yùn)算，即[X±Y]補(bǔ)=[X]補(bǔ)+[±Y]補(bǔ)。8位帶符號(hào)的補(bǔ)碼特點(diǎn)補(bǔ)碼1.6.3帶符號(hào)數(shù)的表示數(shù)的表示方法十進(jìn)制數(shù)二進(jìn)制數(shù)原碼反碼補(bǔ)碼-128-127-126…-2-1-0+0+1+2…+126+127-10000000-1111111-1111110……-0000010-0000001-0000000+0000000+0000001+0000010……+1111110+1111111----1111111111111110……100000101000000110000000000000000000000100000010……0111111001111111----1000000010000001……111111011111111011111111000000000000000100000010……0111111001111111100000001000000110000010……111111101111111100000000000000000000000100000010……01111110011111111.6.3帶符號(hào)數(shù)的表示●所謂溢出是指運(yùn)算結(jié)果超出了規(guī)定長度數(shù)據(jù)的表數(shù)范圍，在此特指帶符號(hào)數(shù)的補(bǔ)碼運(yùn)算溢出。對(duì)字長為n位的補(bǔ)碼表示的帶符號(hào)數(shù)，其最高位表示符號(hào)，其余n-1位表示數(shù)值，其表數(shù)范圍為-2n-1～+2n-1-1。如果一個(gè)運(yùn)算的結(jié)果超出了這個(gè)范圍，就稱為補(bǔ)碼溢出（簡稱溢出），這時(shí)運(yùn)算結(jié)果是錯(cuò)誤的。例如，對(duì)于8位字長的二進(jìn)制補(bǔ)碼數(shù)，其表數(shù)范圍為-128～+127。如果運(yùn)算結(jié)果超出了此范圍，就會(huì)產(chǎn)生溢出。1.6.3帶符號(hào)數(shù)的表示4.補(bǔ)碼運(yùn)算的溢出及其判斷方法●已知[60]補(bǔ)=00111100，[-60]補(bǔ)=11000100[100]補(bǔ)=01100100，[-100]補(bǔ)=10011100[60]補(bǔ)=00111100[-60]補(bǔ)=11000100[60]補(bǔ)=00111100+[100]補(bǔ)=01100100+[-100]補(bǔ)=10011100+[-100]補(bǔ)=1001110010100000

10110000011011000

↓

自然丟失←┘↓↓符號(hào)符號(hào)符號(hào)即[60+100]補(bǔ)=10100000，兩個(gè)正數(shù)相加，結(jié)果為負(fù)數(shù)，是錯(cuò)誤的；[(-60)+(-100)]補(bǔ)=01100000，兩個(gè)負(fù)數(shù)相加，結(jié)果為正數(shù)，是錯(cuò)誤的；[60+(-100)]補(bǔ)=11011000=-40。前兩個(gè)運(yùn)算結(jié)果之所以不正確，是因?yàn)槠湎嗉咏Y(jié)果分別為+160和-160，均超出了表數(shù)范圍，使結(jié)果的數(shù)值部分占據(jù)了符號(hào)位，產(chǎn)生了溢出錯(cuò)誤。但一個(gè)正數(shù)與一個(gè)負(fù)數(shù)相加，一定不會(huì)產(chǎn)生溢出錯(cuò)誤。1.6.3帶符號(hào)數(shù)的表示●判斷溢出的方法很多，上例根據(jù)參加加法運(yùn)算的兩個(gè)數(shù)據(jù)的符號(hào)及運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)可以判斷是否溢出。計(jì)算機(jī)中，根據(jù)加法運(yùn)算中在最高位與次高位的兩個(gè)進(jìn)位來判斷。設(shè)8位二進(jìn)制數(shù)的各位記為D7D6D5…D0,運(yùn)算中兩個(gè)D6位的進(jìn)位記為C6，兩個(gè)D7位的進(jìn)位記為C7，用OV=C7XORC6（XOR是邏輯異或運(yùn)算）判別式可以判斷溢出情況。如果OV=0，表示結(jié)果無溢出，否則當(dāng)OV=1時(shí)，表示結(jié)果有溢出。請(qǐng)注意進(jìn)位與溢出的區(qū)別。進(jìn)位是指運(yùn)算結(jié)果的最高位向更高位的進(jìn)位，如上所述的8位運(yùn)算中的C7。進(jìn)位通常記做Cy，Cy=0表示無進(jìn)位，Cy=1表示有進(jìn)位。而溢出是用最高位進(jìn)位（即Cy）與次高位進(jìn)位的邏輯異或結(jié)果來判斷的。通過上例可以看出，有進(jìn)位不一定就有溢出，無進(jìn)位也不一定就無溢出。同理，有溢出不一定就有進(jìn)位，無溢出也不一定就無進(jìn)位（請(qǐng)計(jì)算(-60)+100來驗(yàn)證）?？梢姡M(jìn)位和溢出是兩個(gè)不同性質(zhì)的概念，不能混淆。1.6.3帶符號(hào)數(shù)的表示定點(diǎn)表示法●約定小數(shù)點(diǎn)在符號(hào)位之后、數(shù)值部分最高位之前，因此數(shù)據(jù)是純小數(shù)，故又稱定點(diǎn)小數(shù)，其格式為：符號(hào)位數(shù)值部分（尾數(shù)）小數(shù)點(diǎn)位置定點(diǎn)小數(shù)法比例因子的選擇：例如有兩個(gè)數(shù)為010.01和001.100，若進(jìn)行兩數(shù)相加時(shí)：010.01+001.100=（0.1001+0.0110）×22

，該比例因子選為22

，而且兩數(shù)相加結(jié)果仍小于1。1.6.4數(shù)的定點(diǎn)和浮點(diǎn)表示定點(diǎn)小數(shù)法●約定小數(shù)點(diǎn)的位置固定在數(shù)值部分的最低位之后，也就是把數(shù)表示為純整數(shù)，其格式如下：符號(hào)位數(shù)值部分（尾數(shù)）小數(shù)點(diǎn)位置定點(diǎn)整數(shù)表示法也有比例因子的選擇問題，例如上例兩個(gè)數(shù)化為定點(diǎn)整數(shù)運(yùn)算則為（01