CH3 IIR濾波器設(shè)計(jì)方法02

1第三章

無限長單位脈沖響應(yīng)(IIR)

濾波器的設(shè)計(jì)方法

2根據(jù)模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR濾波器

利用模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，就是從已知的模擬濾波器傳遞函數(shù)Ha(s)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)H(z)，這歸根到底是一個(gè)由S平面到Z平面的變換。這種映射變換應(yīng)遵循兩個(gè)基本原則：（1）H(z)的頻響要能模仿Ha(s)的頻響，即S平面的虛軸應(yīng)映射到Z平面的單位圓上。（2）Ha(s)的因果穩(wěn)定性映射成H(z)后保持不變，即S平面的左半平面Re{S}＜0應(yīng)映射到Z平面的單位圓以內(nèi)|Z|<1。脈沖響應(yīng)不變法根據(jù)模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR濾波器4脈沖響應(yīng)不變法5脈沖響應(yīng)不變法極點(diǎn)對應(yīng)關(guān)系:6例題將一個(gè)具有如下系統(tǒng)函數(shù)的模擬濾波器數(shù)字化。解模擬濾波器的頻率響應(yīng)為:設(shè)s=σ+jΩ,z=rejω,

rejω=e

(σ+jΩ)T=eσT

ejΩT

r=eσT

ω=ΩT

分析脈沖響應(yīng)不變法的性能jΩ0S平面3/T-3/T-/T/Ts=+jΩ(a)Im[z]Re[z]0|z|=r=1z=re

jωω(b)用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器方法是：如果已知模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)1.將Ha(s)部分分式展開，2.再按公式得到數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。如果已知數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)：ωp,Ap,ωr,Ar1、將數(shù)字濾波器性能指標(biāo)變換為中間模擬濾波器的性能指標(biāo)。采用:2、設(shè)計(jì)出符合要求的中間模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。3、將Ha(s)展成部分分式形式，利用公式求H(z)。10舉例1112

這樣就看到，脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器變換為數(shù)字濾波器時(shí)，首先對Ha(s)做周期延拓，然后再經(jīng)過z=esT的映射關(guān)系，完成s平面到z平面的映射。即根據(jù)理想采樣序列拉氏變換與模擬信號拉氏變換的關(guān)系13

這時(shí)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)才能不失真地重現(xiàn)模擬濾波器的頻響（存在于折疊頻率Ωs/2以內(nèi)）

如果模擬濾波器的頻率響應(yīng)是帶限于折疊頻率以內(nèi)的即

但是，任何一個(gè)實(shí)際的模擬濾波器的頻率響應(yīng)都不可能真正是帶限的，這就不可避免地存在頻譜的混淆失真，因而模擬濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以上處衰減越大，這個(gè)失真就越小。1415因此，此法只適用于帶限或高頻衰減大的頻響特性的模擬濾波器，如衰減特性很好的帶通或低通。Fs越大，則相鄰周期間重復(fù)的頻譜相隔越遠(yuǎn)，混疊也就越小。而高通和帶阻濾波器，頻率特性在fs/2頻率部分不衰減，因此完全混疊在低頻響應(yīng)中。所以脈沖響應(yīng)不變法不能用來設(shè)計(jì)帶阻或高通濾波器，否則要加保護(hù)濾波器①如果Ha(s)是穩(wěn)定的，即其極點(diǎn)全部都在s左半平面內(nèi)，由映射關(guān)系可知，對應(yīng)的H(z)的極點(diǎn)也全部都在單位圓內(nèi)，所以H(z)也是穩(wěn)定的。總之，考察脈沖響應(yīng)不變法，可以得到以下結(jié)論：②H(s)的虛軸均映射H(z)的單位圓上，在此范圍內(nèi)ω與Ω之間呈現(xiàn)線性的對應(yīng)關(guān)系，即ω=ΩT。因而使數(shù)字濾波器的頻率特性基本與模擬濾波器的相同。③由于頻率混疊效應(yīng)，所以脈沖響應(yīng)不變法只適用于帶限的模擬濾波器。例如低通濾波器和帶通濾波器。高通和帶阻濾波器不宜采用脈沖響應(yīng)不變法。17

由此建立s平面與z平面一一對應(yīng)的單值關(guān)系，消除多值性，也就消除了混淆現(xiàn)象。18

這里c是待定常數(shù)，一般取c=2/T,不同的c

，可使模擬濾波器的頻率特性與數(shù)字濾波器的頻率特性在不同頻率點(diǎn)有對應(yīng)關(guān)系。

為了將s平面的jΩ軸壓縮到平面jΩ1軸上的

-π/T到π/T

一段上，可通過以下的正切變換實(shí)現(xiàn)：192、變換關(guān)系TsTsTsTsTsTseeceeeecTscssss~~2/~2/~2/~2/~11)2~(tan

,~

)1(----+-=+-==?

s

存在下列關(guān)系設(shè)?~202~為邊界的水平窄區(qū)內(nèi)平面內(nèi)以平面映射成即將sssW±\2、變換關(guān)系2~

,2~

,22

,時(shí)時(shí)當(dāng)ssTTTW=?W+￥?WW-=-?W\?-W-￥?Wppp~21由s到z為一一對應(yīng)，且單值對應(yīng)2、變換關(guān)系雙線性變換法的轉(zhuǎn)換性能 可以求出

將s和z看成s平面和z平面的一般復(fù)變量

s=σ+jΩ,z=rejω

σ=0時(shí)，r=1，s平面的虛軸映射為z平面的單位圓；σ＜0時(shí),r＜1,s平面的左半映射為z平面的單位圓內(nèi)；σ＞0時(shí)，r＞1，s平面的右半映射為z平面的單位圓外。所以如果模擬濾波器因果穩(wěn)定，則用雙線性變換法將模擬濾波器Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)后仍然因果穩(wěn)定。24(1)無混疊誤差(2)頻率產(chǎn)生失真由于頻率間的非線性關(guān)系所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)相對于原模擬濾波器的幅頻響應(yīng)會有畸變。25考慮圖雙線性變換的頻率非線性關(guān)系

264、頻率預(yù)畸

利用關(guān)系式：

將所要設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器臨界頻率點(diǎn)，變換成對應(yīng)的模擬域頻率，利用此設(shè)計(jì)模擬濾波器，再通過雙線性變換，即可得到所需的數(shù)字濾波器，如圖所示。T可以隨便選取，代入轉(zhuǎn)換表達(dá)式會約掉

若只關(guān)心濾波器的幅頻特性，為了補(bǔ)償頻率的畸變，讓變換后的位置不產(chǎn)生變化。對特定頻率(Ωp，Ωr，Ωc)先進(jìn)行預(yù)畸。27雙線性變換時(shí)頻率的預(yù)畸變28294218.01433.1)1(674.022+-+zzz30如果已知數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)ωp,Ap,ωr,Ar1、將數(shù)字濾波器性能指標(biāo)變換為中間模擬濾波器的性能指標(biāo)。采用:2、求模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)3、將Ha(s)按公式得到數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)（T可以隨便選取,所以為了計(jì)算方便，一般取T=2，這樣c＝1）預(yù)畸變用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器方法是：如果已知模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)將Ha(s)按公式得到數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)總結(jié)利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器的步驟。（1）確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)ωp、Ap、ωr、A

r（2）將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。這里主要是邊界頻率ωp和ωr的轉(zhuǎn)換，Ap和Ar指標(biāo)不變。（3）按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)過渡模擬低通濾波器（4）用所選的轉(zhuǎn)換方法，將模擬濾波器Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。例2

設(shè)采樣周期T=250μs(fs=4kHz)，設(shè)計(jì)一個(gè)三階巴特沃思LP濾波器,其3dB截止頻率fc=1kHz。分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法求解。解：a.脈沖響應(yīng)不變法由于脈沖響應(yīng)不變法的頻率關(guān)系是線性的，所以可直接按Ωc=2πfc設(shè)計(jì)Ha(s)。以截止頻率Ωc歸一化的三階巴特沃思濾波器的傳遞函數(shù)為以s/Ωc

代替其歸一化頻率，得：

為進(jìn)行脈沖響應(yīng)不變法變換,計(jì)算Ha(s)分母多項(xiàng)式的根,將上式寫成部分分式結(jié)構(gòu)：對照前面學(xué)過的脈沖響應(yīng)不變法中的部分分式形式。有36將上式部分系數(shù)代入數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)：并將Ωc=ωc

/T代入，得：合并上式后兩項(xiàng)，并將ωc=2πfcT=0.5π代入，計(jì)算得：37

b.雙線性變換法

(一)首先確定數(shù)字域臨界頻率ωc=2πfcT=0.5π(二)根據(jù)頻率的非線性關(guān)系，確定預(yù)畸的模擬濾波器臨界頻率(三)以s/Ωc

代入歸一化的三階巴特沃模擬器傳遞函數(shù)并將Ωc=2/T

代入上式。(四)將雙線性變換關(guān)系代入，求H(z)。3