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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列,,.則這個(gè)數(shù)列的前7項(xiàng)和等于()A.12 B.21 C.24 D.362.已知函數(shù),若有2個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.3.如圖,點(diǎn)E是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中點(diǎn),點(diǎn)F,M分別在線(xiàn)段AC,BD1(不包含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng),則()A.在點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,存在EF//BC1B.在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,不存在B1M⊥AEC.四面體EMAC的體積為定值D.四面體FA1C1B的體積不為定值4.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.中國(guó)的國(guó)旗和國(guó)徽上都有五角星,正五角星與黃金分割有著密切的聯(lián)系,在如圖所示的正五角星中,以、、、、為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形,且,則()A. B. C. D.6.設(shè)函數(shù),則函數(shù)的圖像可能為()A. B. C. D.7.已知等邊△ABC內(nèi)接于圓:x2+y2=1,且P是圓τ上一點(diǎn),則的最大值是()A. B.1 C. D.28.已知函數(shù),若,,,則a,b,c的大小關(guān)系是()A. B. C. D.9.在長(zhǎng)方體中,,則直線(xiàn)與平面所成角的余弦值為()A. B. C. D.10.設(shè)直線(xiàn)的方程為,圓的方程為,若直線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)為,則實(shí)數(shù)的取值為A.或11 B.或11 C. D.11.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢.或 B.或C. D.12.已知,是橢圓的左、右焦點(diǎn),過(guò)的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn).若依次構(gòu)成等差數(shù)列,且,則橢圓的離心率為A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,向量(4,﹣n),(Sn,n+3).若⊥,則數(shù)列{}前2020項(xiàng)和為_(kāi)____14.如圖是由3個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形,設(shè),,則的面積為_(kāi)_______.15.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),,若點(diǎn)B(x,y)滿(mǎn)足,則的最大值是__________.16.函數(shù)的圖象在處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)橢圓的右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線(xiàn)被橢圓截得的弦長(zhǎng)為.(1)求橢圓的方程;(2)過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線(xiàn)與橢圓交于,兩點(diǎn).為坐標(biāo)原點(diǎn),為橢圓的右頂點(diǎn),求四邊形面積的最大值.18.(12分)在直角坐標(biāo)系中,已知圓,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知直線(xiàn)平分圓M的周長(zhǎng).(1)求圓M的半徑和圓M的極坐標(biāo)方程;(2)過(guò)原點(diǎn)作兩條互相垂直的直線(xiàn),其中與圓M交于O,A兩點(diǎn),與圓M交于O,B兩點(diǎn),求面積的最大值.19.(12分)如圖,四棱錐中,底面是菱形,對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)為棱的中點(diǎn),.求證:(1)平面;(2)平面平面.20.(12分)如圖,點(diǎn)為圓:上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)分別作軸,軸的垂線(xiàn),垂足分別為,,連接延長(zhǎng)至點(diǎn),使得,點(diǎn)的軌跡記為曲線(xiàn).(1)求曲線(xiàn)的方程;(2)若點(diǎn),分別位于軸與軸的正半軸上,直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交于,兩點(diǎn),且,試問(wèn)在曲線(xiàn)上是否存在點(diǎn),使得四邊形為平行四邊形,若存在,求出直線(xiàn)方程;若不存在,說(shuō)明理由.21.(12分)已知函數(shù).(1)若,求的取值范圍;(2)若,對(duì),不等式恒成立,求的取值范圍.22.(10分)已知中心在原點(diǎn)的橢圓的左焦點(diǎn)為,與軸正半軸交點(diǎn)為,且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過(guò)點(diǎn)作斜率為、的兩條直線(xiàn)分別交于異于點(diǎn)的兩點(diǎn)、.證明:當(dāng)時(shí),直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得,由等差數(shù)列求和公式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列,,所以,即,又,所以,,故故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,性質(zhì),等差數(shù)列的和,屬于中檔題.2、C【解析】
令,可得,要使得有兩個(gè)實(shí)數(shù)解,即和有兩個(gè)交點(diǎn),結(jié)合已知,即可求得答案.【詳解】令,可得,要使得有兩個(gè)實(shí)數(shù)解,即和有兩個(gè)交點(diǎn),,令,可得,當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí),,若直線(xiàn)和有兩個(gè)交點(diǎn),則.實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍,解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的解法和根據(jù)導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性的步驟,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.3、C【解析】
采用逐一驗(yàn)證法,根據(jù)線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面之間的關(guān)系以及四面體的體積公式,可得結(jié)果.【詳解】A錯(cuò)誤由平面,//而與平面相交,故可知與平面相交,所以不存在EF//BC1B錯(cuò)誤,如圖,作由又平面,所以平面又平面,所以由//,所以,平面所以平面,又平面所以,所以存在C正確四面體EMAC的體積為其中為點(diǎn)到平面的距離,由//,平面,平面所以//平面,則點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離,所以為定值,故四面體EMAC的體積為定值錯(cuò)誤由//,平面,平面所以//平面,則點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離,所以為定值所以四面體FA1C1B的體積為定值故選:C【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面、線(xiàn)線(xiàn)之間的關(guān)系,考驗(yàn)分析能力以及邏輯推理能力,熟練線(xiàn)面垂直與平行的判定定理以及性質(zhì)定理,中檔題.4、C【解析】
根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式,判斷出正確選項(xiàng).【詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列,所以,由于,所以,故“”是“”的充分必要條件.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷,考查等比數(shù)列前項(xiàng)和公式,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
利用平面向量的概念、平面向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義,便可解決問(wèn)題.【詳解】解:.故選:A【點(diǎn)睛】本題以正五角星為載體,考查平面向量的概念及運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】
根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)排除,再計(jì)算排除得到答案.【詳解】定義域?yàn)椋海瘮?shù)為偶函數(shù),排除,排除故選【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像,通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性,奇偶性,特殊值排除選項(xiàng)是常用的技巧.7、D【解析】
如圖所示建立直角坐標(biāo)系,設(shè),則,計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示建立直角坐標(biāo)系,則,,,設(shè),則.當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的計(jì)算,建立直角坐標(biāo)系利用坐標(biāo)計(jì)算是解題的關(guān)鍵.8、D【解析】
根據(jù)題意,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系分析可得在上為增函數(shù),又由,分析可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,函數(shù),其導(dǎo)數(shù)函數(shù),則有在上恒成立,則在上為增函數(shù);又由,則;故選:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系,涉及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】
在長(zhǎng)方體中,得與平面交于,過(guò)做于,可證平面,可得為所求解的角,解,即可求出結(jié)論.【詳解】在長(zhǎng)方體中,平面即為平面,過(guò)做于,平面,平面,平面,為與平面所成角,在,,直線(xiàn)與平面所成角的余弦值為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與平面所成的角,定義法求空間角要體現(xiàn)“做”“證”“算”,三步驟缺一不可,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】
圓的圓心坐標(biāo)為(1,1),該圓心到直線(xiàn)的距離,結(jié)合弦長(zhǎng)公式得,解得或,故選A.11、A【解析】
根據(jù)偶次根式被開(kāi)方數(shù)非負(fù)可得出關(guān)于的不等式,即可解得函數(shù)的定義域.【詳解】由題意可得,解得或.因此,函數(shù)的定義域?yàn)榛?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查具體函數(shù)定義域的求解,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】
如圖所示,設(shè)依次構(gòu)成等差數(shù)列,其公差為.根據(jù)橢圓定義得,又,則,解得,.所以,,,.在和中,由余弦定理得,整理解得.故選D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由已知可得?4Sn﹣n(n+3)=0,可得Sn,n=1時(shí),a1=S1=1.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn﹣Sn﹣1.可得:2().利用裂項(xiàng)求和方法即可得出.【詳解】∵⊥,∴?4Sn﹣n(n+3)=0,∴Sn,n=1時(shí),a1=S1=1.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn﹣Sn﹣1.,滿(mǎn)足上式,.∴2().∴數(shù)列{}前2020項(xiàng)和為2(1)=2(1).故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、數(shù)列遞推關(guān)系、裂項(xiàng)求和方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.14、【解析】
根據(jù)個(gè)全等的三角形,得到,設(shè),求得,利用余弦定理求得,再利用三角形的面積公式,求得三角形的面積.【詳解】由于三角形是由個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形,所以.在三角形中,.設(shè),則.由余弦定理得,解得.所以三角形邊長(zhǎng)為,面積為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的面積計(jì)算公式、余弦定理、全等三角形的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.15、【解析】,可行域如圖,直線(xiàn)與圓相切時(shí)取最大值,由16、【解析】
利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,對(duì)求導(dǎo)后在計(jì)算在處導(dǎo)函數(shù)的值,再利用點(diǎn)斜式列出方程化簡(jiǎn)即可.【詳解】,則切線(xiàn)的斜率為.又,所以函數(shù)的圖象在處的切線(xiàn)方程為,即.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解函數(shù)在某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程問(wèn)題,需要注意求導(dǎo)法則與計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)最大值.【解析】
(1)根據(jù)通徑和即可求(2)設(shè)直線(xiàn)方程為,聯(lián)立橢圓,利用,用含的式子表示出,用換元,可得,最后用均值不等式求解.【詳解】解:(1)依題意有,,,所以橢圓的方程為.(2)設(shè)直線(xiàn)的方程為,聯(lián)立,得.所以,.所以.令,則,所以,因,則,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取得等號(hào),即四邊形面積的最大值.【點(diǎn)睛】考查橢圓方程的求法和橢圓中四邊形面積最大值的求法,是難題.18、(1),(2)【解析】
先求出,再求圓的半徑和極坐標(biāo)方程;(2)設(shè)求出,,再求出得解.【詳解】(1)將化成直角坐標(biāo)方程,得則,故,則圓,即,所以圓M的半徑為.將圓M的方程化成極坐標(biāo)方程,得.即圓M的極坐標(biāo)方程為.(2)設(shè),則,用代替.可得,【點(diǎn)睛】本題主要考查直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化,考查極徑的計(jì)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.19、(1)詳見(jiàn)解析;(2)詳見(jiàn)解析.【解析】
(1)連結(jié)根據(jù)中位線(xiàn)的性質(zhì)證明即可.(2)證明,再證明平面即可.【詳解】解:證明:連結(jié)是菱形對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn),為的中點(diǎn),是棱的中點(diǎn),平面平面平面解:在菱形中,且為的中點(diǎn),,,平面平面,平面平面.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線(xiàn)面平行與垂直的判定,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)(2)不存在;詳見(jiàn)解析【解析】
(1)設(shè),,,通過(guò),即為的中點(diǎn),轉(zhuǎn)化求解,點(diǎn)的軌跡的方程.(2)設(shè)直線(xiàn)的方程為,先根據(jù),可得,①,再根據(jù)韋達(dá)定理,點(diǎn)在橢圓上可得,②,將①代入②可得,該方程無(wú)解,問(wèn)題得以解決【詳解】(1)設(shè),,則,,由題意知,所以為中點(diǎn),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得,即,又點(diǎn)在圓:上,故滿(mǎn)足,得.曲線(xiàn)的方程.(2)由題意知直線(xiàn)的斜率存在且不為零,設(shè)直線(xiàn)的方程為,因?yàn)?,故,即①,?lián)立,消去得:,設(shè),,,,,因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?,故,點(diǎn)在橢圓上,故,整理得②,將①代入②,得,該方程無(wú)解,故這樣的直線(xiàn)不存在.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法、滿(mǎn)足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與直線(xiàn)方程的求法,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,是中檔題.21、(1);(2).【解析】
(1)分類(lèi)討論,,,即可得出結(jié)果;(2)先由題意,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為即可,再求出,的最小值,解不等式即可得出結(jié)果.【詳解】(1)由得,若,則,顯然不成立;若,則,,即;若,則,即,顯然成立,綜上所述,的取值范圍是.(2)由題意知,要使得不等式恒成立,只需,當(dāng)時(shí),,所以;因?yàn)?,所以,解得,結(jié)合,所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查含絕對(duì)值不等式的解法,以及由不等式恒成立求參數(shù)的問(wèn)題,熟記分類(lèi)討論的思想、以及絕對(duì)值不等式的性質(zhì)即可,屬于常考題型.22、(1
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