Black-Scholes期權定價模型的數(shù)值求解-梅樹立龐守林

Black-Scholes期權定價模型的數(shù)值求解梅樹立內容簡介期權（Option）基本概念Black-Scholes期權定價模型Black-Scholes模型的Matlab求解小波多尺度數(shù)值求解方法3選擇權選擇權(option)是一種衍生性證券(derivativesecurity)，持有人有權利在未來某一段期間內（或某一特定日期），以約定的價格向賣方買入或賣出一定數(shù)量的標的資產(underlyingasset)。4選擇權選擇權依買入或賣出的權利可分為買權(看漲期權，CallOption)及賣權(看降期權，PutOption)兩種。買權賦予持有人買入標的資產之權利。賣權賦予持有人賣出標的資產之權利。5選擇權履約價格選擇權契約中，在未來某一段期間內以約定的價格，買賣某一定數(shù)量的標的資產，此約定的價格稱為履約價格(Exerciseprice)或執(zhí)行價格(Strikeprice)。6選擇權到期日選擇權契約中約定的未來某一特定日期稱為到期日(Maturitydate;Expirationdate)，此某一段期間亦即權證的存續(xù)期間。7選擇權美式選擇權與歐式選擇權選擇權可依履約時間的不同，分為美式選擇權及歐式選擇權。美式選擇權(Americanoption)可在到期日前（含）的任何一天履約，向賣方買入或賣出股票或約定的標的資產；而歐式選擇權(Europeanoption)僅能在到期日當天履約，買入或賣出股票。美式選擇權此種提早買入或賣出股票的特性，稱為提早履約(earlyexercise)。8選擇權價內、價外及價平選擇權一般習慣上，將選擇權的履約價格相對于股價的大小，區(qū)分為價內、價外及價平三種選擇權。1.價內選擇權(in-the-moneyoption)對買權而言，當股價大于履約價格時，稱此買權為價內買權。9選擇權2.價外選擇權(out-of-the-moneyoption)對買權而言，當股價小于履約價格時，稱為價外買權。3.價平選擇權(at-the-moneyoption)對買權或賣權而言，當股價等于履約價格時，稱為價平選擇權。10選擇權內含價值與時間價值選擇權的價格或稱為權利金(premium)，是指買方所支付或賣方所收到的價款。權利金可分為兩部分：內含價值(intrinsicvalue)與時間價值(timevalue)。11選擇權選擇權價值＝內含價值＋時間價值買權(C)的價值可表示如下：

C＝max(0,S－K)＋時間價值賣權(P)的價值可表示如下：

P＝max(0,K－S)＋時間價值12選擇權買權賣權等價理論

C－P＝S－K(1＋r)-T

對同一標的資產（如同一支股票）、同一履約價格、同一到期日之買權與賣權來說，在某個時點的買權、賣權相對價格（買權減去賣權）應該等于當時股價減去履約價格之折現(xiàn)，否則會有套利的機會。13選擇權有股利情況下，歐式的買權賣權等價理論

C－P＝S－D(1＋r)－t－K(1＋r)－T

14選擇權沒有股利情況下，美式的買權賣權等價理論

S－KCa－PaS－K(1＋r)－T

有股利情況下，美式買權賣權等價理論S－D(1＋r)－t－KCa－PaS－K(1＋r)－T15選擇權影響選擇權價格的因素股價履約價格到期日的長短標的資產價格的波動幅度無風險利率股利16選擇權17選擇權18選擇權19選擇權內容簡介期權（Option）基本概念Black-Scholes期權定價模型Black-Scholes模型的差分法求解小波多尺度數(shù)值求解方法期權定價（B-S公式）1973年，芝加哥大學教授Black和MIT教授Scholes在JournalofPoliticalEconomy上發(fā)表了一篇題為《期權定價和公司負債》的論文；同年，哈佛大學教授Merton在《貝爾管理科學學報》上發(fā)表了另一篇論文《期權的理性定價理論》。這兩篇論文奠定了期權定價理論基礎。維納過程(Wienerprocess)若一個隨機過程{X(t),t>=0}滿足：

(1)X(t)是獨立增量過程；

(2)任意s,t>0,X(s+t)-X(s)~N(0,c^2*t)，即X(s+t)-X(s)是期望為0，方差為c^2*t的正態(tài)分布；

(3)X(t)關于t是連續(xù)函數(shù)。則稱{X(t),t>=0}是維納過程(Wienerprocess)或布朗運動。維納過程的特點：（1）它是一個Markov過程。因此該過程的當前值就是做出其未來預測中所需的全部信息。（2）維納過程具有獨立增量。該過程在任一時間區(qū)間上變化的概率分布獨立于其在任一的其他時間區(qū)間上變化的概率。（3）它在任何有限時間上的變化服從正態(tài)分布，其方差隨時間區(qū)間的長度呈線性增加。

期貨定價模型BS模型中，期貨價格及其所依賴的標的資產價格都受同一種不確定因素的影響，兩者也都是遵循相同的維納過程。24Black-Scholes選擇權評價模型Black-Scholes模型的主要概念假設有一包含股票及其買權的投資組合，藉由不斷調整適當?shù)墓善迸c買權之比率，可使投資組合在短時間內達到無風險的狀態(tài)。在無套利情形下，該投資組合應賺得無風險報酬。因此得到買權對股價及時間的偏微分方程式，另外再加上到期日買權價值的邊界條件，而得到買權公式解。25Black-Scholes選擇權評價模型B-S模型中假設股價服從對數(shù)常態(tài)分配，有時稱股價服從幾何布朗運動(GeometricBrownianMotion)26Black-Scholes選擇權評價模型Black-Scholes偏微分方程式27Black-Scholes選擇權評價模型Black-Scholes買權價格公式(無配息)C＝S．N(d1)－Ke－rTN(d2)其中，d1=

d2=28Black-Scholes選擇權評價模型C：買權目前理論價值callpriceS：目前的股價stockpriceK：履約價格strikepricer：無風險利率（以年為標準）risklessrateT：到期日之長短（以年為單位）maturityln：自然對數(shù)logrithm：股價報酬波動度（以年為標準）volatilityN(d1):為標準正態(tài)分布概率密度函數(shù)Normaldistribution29Black-Scholes選擇權評價模型Black-Scholes賣權價格公式(無配息)

P＝Ke－rTN(-d2)－S．N(-d1)其中，d1=

d2=30Black-Scholes選擇權評價模型Black-Scholes買權價格公式(配息yieldq)C＝Se－qTN(d1)－Ke－rTN(d2)其中，d1=

d2=31Black-Scholes選擇權評價模型Black-Scholes賣權價格公式(配息yieldq)

P＝Ke－rTN(-d2)－Se－qTN(-d1)其中，d1=

d2=32Black-Scholes選擇權評價模型B-S公式中的N(d1)一般稱為避險比率(hedgeratio)或對沖率，或delta。

N(d1)=其中，ΔC：買權變動的大小

ΔS：股價變動的大小33Black-Scholes選擇權評價模型Black-Scholes公式中變數(shù)的選取1.到期期限一般用年（1年以365天計）來表示，亦即使用與計算利息一致的方式來計算到期期限。2.無風險利率無風險利率(risk-freerate)是指沒有任何違約風險的資產之收益率，所以政府發(fā)行的公債或國庫券之利率，均可視為無風險利率。34Black-Scholes選擇權評價模型3.股價波動度之估算(1).歷史波動度(historicalvolatility))，其公式如下：35Black-Scholes選擇權評價模型時間平方根法則如果我們以日數(shù)據(jù)來計算波動率，所得到的是每日波動率的估算值，至于延伸為N天期的波動率，則一般都利用時間平方根法則來求取。估算周波動率，N=5；估算月波動率，N=21；估算年波動率，N=252。36Black-Scholes選擇權評價模型移動平均在以上的歷史波動率估計中，我們可以加上窗口的設計，在每一個時間點，我們選取過去Ｎ個數(shù)據(jù)為樣本，計算其標準偏差當時間往前，則窗口也往前移一個數(shù)據(jù)點，并且刪除最后一個數(shù)據(jù)37Black-Scholes選擇權評價模型(2).隱含波動度(impliedvolatility)

利用市場上選擇權的交易價格，代入B-S公式反求出報酬的波動度。國外學者發(fā)現(xiàn)同樣的股票，由價內選擇權及價外選擇權所求出來的隱含波動度常常不一樣，通常價內的隱含波動度會高于價外的隱含波動度，一般稱為笑狀波幅

(volatilitysmile)。38Black-Scholes選擇權評價模型(3).指數(shù)加權移動平均(EWMA)

雖然市場上最近的訊息比遠久以前的訊息來的重要，但是移動平均法給所有的數(shù)據(jù)點權重是一樣的。EWMA的作法是，越近的數(shù)據(jù)，權重給的越大，因此捕捉了波動群聚的現(xiàn)象。因此與移動平均相比，EWMA對于市場沖擊反應較快。39Black-Scholes選擇權評價模型EWMA公式過去的第i天，權重是。40Black-Scholes選擇權評價模型估計Lambda務實上，RiskMetrics使用以下的優(yōu)化方法，來求算個別資產最佳的值

minRMSE=s.t.41Black-Scholes選擇權評價模型EWMA模型是由JPMorgan于其發(fā)展的風險控管系統(tǒng)RiskMetrics中使用。計算的結果，日數(shù)據(jù)的最佳的值為0.94，月數(shù)據(jù)最佳的值為0.97。42Black-Scholes選擇權評價模型(4).隨機波動度(StochasticVolatility)GAHCHModel43敏感度分析(sensitivityanalysis)用來衡量因五個變量發(fā)生變動時，選擇權價格變化的情況。由于一般習慣上常常用希臘字母(Greek)來表示這些變量變動對選擇權價格的影響，因此選擇權敏感度分析有時稱為選擇權Greeks。44敏感度分析(sensitivityanalysis)買權敏感度delta()delta是用來衡量選擇權標的資產價格變動對選擇權價格的影響。45敏感度分析(sensitivityanalysis)買權敏感度gamma()gamma是用來衡量delta的敏感度，也就是當股價變動時，避險比率delta變動的情況。46敏感度分析(sensitivityanalysis)買權敏感度vega(v)vega或稱kappa，是用來衡量標的價格波動度改變對選擇權價格的影響，也就是波動度每上升一單位對選擇權價格的影響。47敏感度分析(sensitivityanalysis)買權敏感度是用來衡量無風險利率變動對選擇權價格的影響，或者是說選擇權價格對無風險利率變動的敏感度。48敏感度分析(sensitivityanalysis)買權敏感度theta(θ)theta是用來衡量到期期限變動對選擇權價格的影響。49敏感度分析(sensitivityanalysis)買權敏感度履約價格對選擇權價格的影響50敏感度分析(sensitivityanalysis)買權敏感度lambda()lambda是用來衡量當股價變動1%時，選擇權價格變動多少百分比。換句話說，delta是衡量絕對價格的變動，而lambda是衡量相對價格的變動。即為實際杠桿比率(effectivegearing)，而就是杠桿比率(gearing)。51選擇權評價選擇權的評價除了Black-Scholes公式的封閉解外，另外也可以采用數(shù)值分析方法求解(numericalanalysis)。數(shù)值分析法包括蒙地卡羅模擬法(MonteCarloSimulation)、二項式評價法(BinomialOptionPricingModel)有限差分法(FiniteDifferenceMethod)。52選擇權評價蒙地卡羅仿真法進行程序步驟1：選定標的資產價格產生模型、均數(shù)及標準偏差。步驟2：抽取隨機數(shù)值，產生下一期股價，如此一直循環(huán)產生一條股價路徑及到期日股價ST。步驟3：依據(jù)選擇權到期的定義，求最終選擇權價值。53選擇權評價步驟4：將上述步驟2、3重復N次，求N次選擇權的平均值。步驟5：以無風險利率將平均值折現(xiàn)，即為選擇權目前價值。54選擇權評價二項式評價法一期模型55選擇權評價二項式評價法兩期模型56選擇權評價二項式評價法二項式多期評價公式57選擇權評價二項式評價法二項式中u、d、p的取法內容簡介期權（Option）基本概念Black-Scholes期權定價模型Black-Scholes模型的Matlab求解小波多尺度數(shù)值求解方法BS定價模型的matlab計算語法：[Call,Put]=blsprice(Price,Strike,Rate,Time,Volatility)Price:標的資產市場價格Strike：行權價格Rate:無風險利率Time:距離到期時間Volatility:標的資產波動率Call:看漲（買入）期權價格Put:看跌（賣出）期權價格

假設歐式股票期權三個月后到期，執(zhí)行價格95元，現(xiàn)價100元，無股利支付，股價年化波動率為50%，無風險利率為10%，則期權價格的為：[Call,Put]=blsprice(Price,Strike,Rate,Time,Volatility)[Call,Put]=blsprice(100,95,0.1,0.25,0.5)內容簡介期權（Option）基本概念Black-Scholes期權定價模型Black-Scholes模型的Matlab求解小波多尺度數(shù)值求解方法2023/2/464基函數(shù)和三角板如何用數(shù)學公式表達這種基函數(shù)逼近？2023/2/465基函數(shù)如何用數(shù)學公式表達這種基函數(shù)逼近？如何提高逼近精度？2023/2/466基函數(shù)V0:在整數(shù)區(qū)間內為常數(shù)的所有平方可積函數(shù)構成的空間，可表示為以下形式：2023/2/467基函數(shù)空間V1:在半整數(shù)區(qū)間內為常數(shù)的所有平方可積函數(shù)構成的空間，可表示為以下形式：2023/2/468基函數(shù)空間V2:在1/4整數(shù)區(qū)間內為常數(shù)的所有平方可積函數(shù)構成的空間，可表示為以下形式：2023/2/469基函數(shù)空間V0V2V12023/2/470Vj:在1/2j整數(shù)區(qū)間內為常數(shù)的所有平方可積函數(shù)構成的空間，可表示為以下形式：2023/2/471基函數(shù)空間思考：將一個函數(shù)分別表達在V0空間和V1空間，這兩種逼近表達之間的誤差是多少？換句話說，我們能否找到誤差補空間W0，滿足:2023/2/472RECALL2023/2/473函數(shù)f(x)=a-(x-b)2在V0空間的映射（在V0空間被逼近）若a=b=1,則h=2/32023/2/474函數(shù)f(x)=a-(x-b)2在V1空間的映射（在V1空間被逼近）若a=b=1,則h1=5/12,h2=11/122023/2/475V0的補空間？2023/2/4762023/2/4772023/2/4782023/2/479TranslatingStretching2023/2/480f(x)=a-(x-b)2在V0空間內的逼近表達式（紅色直線）：在V1空間內的逼近表達式（綠藍色直線）：在補空間W1空間內的逼近表達式：2023/2/481….因此，有進一步可表示為2023/2/482Haar小波通過平移和伸縮可以得到Haar小波族2023/2/483平移2023/2/484伸縮2023/2/485小波的一般表達式Haar小波的正交特性2023/2/486多尺度分析Only0functioninallspaces如果某函數(shù)在所有空間中，必然在任意區(qū)間上是常數(shù)，而且平方可積，因此只能是0。所謂平方可積，即：2023/2/487多尺度分析可以逼近所有的平方可積函數(shù)f(x)以上盡管涉及到了內積運算，但實質屬于插值。即以上討論內容均在巴拿赫空間進行。完備的線性賦范空間稱為Banach空間由于沒有定義內積概念，只能用線性泛函代替內積。如插值算子，Laplace算子（微分算子）等。（算子是泛函的一種）。坐標就是線性泛函。完備的內積空間稱為Hilbert空間。數(shù)值逼近理論在Hilbert空間定義。Banach空間和Hilbert空間設X是n維實向量空間，對其中向量內積舉例定義內積正交的定義:(x,y)=0利用內積定義正交任何n維空間都存在正交基正交推論：Hilbert空間中的最佳逼近設線性內積空間的最佳逼近是線性內積空間X的n+1個線性無關元素，子集在中尋求對X的某一元素f的最佳逼近時指在中存在一元素S*，使對于任意都有定理：作為最佳逼近元素的充要條件是集對f的最佳逼近元素的充要條件是S1-f與所有的正交。假設f是集合中的元素，則，f可以被集合中的基函數(shù)精確線性表達。誤差S1-f=0。若表達式的誤差不為零，且誤差仍然能被基函數(shù)表達，說明表達式還不完整。根據(jù)定理推導逼近向量表達式由下列方程組決定對應的矩陣形式為舉例被逼近函數(shù)為Black-Scholes模型期權（option）又稱為選擇權，是在期貨的基礎上產生的一種衍生性金融工具。1973年，Black和Scholes在有效市場和股票價格遵循幾何布朗運動等一系列的假設下，運用連續(xù)交易保值策略推導出了著名的Black-Scholes期權定價模型：并建立了看漲期權定價公式：看漲期權定價公式線性Black-Scholes定價公式成立條件：標的資產的價格S(t)服從幾何布朗運動W(t)漂移項(標的資產價格的平均增長率)、波動率（回歸的標準偏差）以及無風險利率r為常數(shù)。市場無摩擦，即不存在稅收和交易成本；股票資產在期權有效期內不支付紅利及其它所得(該假設可以被放棄)；金融市場不存在無風險套利機會；金融資產的交易可以是連續(xù)進行的；可以運用全部的金融資產所得進行賣空操作。非線性Black-Scholes模型交易費用對定價公式的影響主要通過標的資產的波動率體現(xiàn)對于歐式期權，Black-Scholes模型變?yōu)橐韵路蔷€性模型三種典型的非線性期權定價模型考慮交易費用的非線性模型主要有三種：（1）歐式期權的Leland模型（2）Barles-Soner模型（3）風險調整定價方法歐式期權的Leland模型其中Leland系數(shù)為k是單位交易額的交易費用，是以價格S買入或賣出標的資產數(shù)量。Leland的松弛對沖組合的基本思想是限定在離散時間進行交易。是兩次交易之間的時間間隔。顯然越小，交易越頻繁，從而交易費用和V值也越高。是交易費用Barles-Soner模型采用指數(shù)函數(shù)作為效用函數(shù)風險調整定價方法該模型試圖尋找兩次相鄰交易時間間隔的最優(yōu)值，使交易費和無保護組合的風險率降到最低。這種情況下的波動率可采用以下形式：M是交易費，C是風險貼水率。非線性模型的分析及參數(shù)變換（1）非線性Black-Scholes模型具有終邊值條件，且過寬的標的資產價格范圍使得求解數(shù)值精度很難保證，一般做如下變換：非線性Black-Scholes模型變形為：其中非