直線回歸與直線相關(guān)

第十四章直線回歸與直線相關(guān)單變量的統(tǒng)計(jì)分析方法------統(tǒng)計(jì)描述與同一變量的不同處理組間的比較。多變量的統(tǒng)計(jì)分析方法----多個(gè)變量之間的數(shù)量依存關(guān)系及關(guān)聯(lián)度的研究線性相關(guān)線性相關(guān)的概念及統(tǒng)計(jì)描述例隨機(jī)抽取15名健康成人，測(cè)定血液的凝血酶濃度及凝固時(shí)間，數(shù)據(jù)見(jiàn)表11-1。試判斷此數(shù)據(jù)是否相關(guān)？表11-115例健康成人凝血時(shí)間與凝血酶濃度測(cè)量值記錄受試者號(hào)123456789101112131415濃度1.11.21.00.91.21.10.90.61.00.91.10.91.110.7時(shí)間141315151314161714161516141517

圖1

數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖從散點(diǎn)圖中可以看出:圖中散點(diǎn)雖不都在一條直線上，但它們有一種線性趨勢(shì)存在，即凝血酶濃度高的,凝血時(shí)間短;凝血酶濃度低的,凝血時(shí)間長(zhǎng),說(shuō)明凝血酶濃度與凝血時(shí)間之間確實(shí)存在聯(lián)系且方向相反。兩變量的關(guān)系不象函數(shù)關(guān)系那樣能以一個(gè)變量的數(shù)值精確地確定出另一個(gè)變量的數(shù)值，即為非確定性關(guān)系若圖中各散點(diǎn)趨勢(shì)接近一直線，且變化方向相同，稱為正相關(guān)；若圖中各散點(diǎn)趨勢(shì)接近一直線，且變化方向相反，稱為負(fù)相關(guān)；若圖中散點(diǎn)的趨勢(shì)不呈直線，但有規(guī)律地呈一條曲線，稱為非線性相關(guān)；若圖中散點(diǎn)雜亂無(wú)序，稱為零相關(guān)。

直線相關(guān)的概念研究?jī)蓚€(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量之間是否存在線性關(guān)系,關(guān)系是否密切以及是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān).

直線相關(guān)系數(shù)又稱pearson積差相關(guān)系數(shù),以r表示樣本相關(guān)系數(shù),以ρ表示總體相關(guān)系數(shù).它反映兩個(gè)變量線性關(guān)系的方向和密切程度的指標(biāo),沒(méi)有單位,其值為-1≤r≤1.

計(jì)算公式上式中，若為總體協(xié)方差或總體方差時(shí)，相關(guān)系數(shù)為總體相關(guān)系數(shù)，記為ρρ≠0，X和Y線性相關(guān)ρ=0，X和Y線性不相關(guān)上式中，若為樣本協(xié)方差或樣本方差時(shí)，相關(guān)系數(shù)為樣本相關(guān)系數(shù)，記為r相關(guān)系數(shù)的特點(diǎn)1）是無(wú)量綱的數(shù)值，且-1<r<12）r>0為正相關(guān),r<0為負(fù)相關(guān)3）|r|越接近于1，說(shuō)明相關(guān)性越強(qiáng)，|r|越接近于0，說(shuō)明相關(guān)性越弱相關(guān)系數(shù)的方向r>0,說(shuō)明兩變量之間為正相關(guān)關(guān)系，r=1,完全正相關(guān)r<0,說(shuō)明兩變量之間為負(fù)相關(guān)關(guān)系,r=-1,完全負(fù)相關(guān)r=0,說(shuō)明兩變量之間無(wú)線性關(guān)系（零相關(guān)）應(yīng)用條件

Pearson積矩相關(guān)系數(shù)要求兩變量均服從正態(tài)分布,若不服從,則求相關(guān)系數(shù)為spearman相關(guān)系數(shù)

相關(guān)系數(shù)的計(jì)算作散點(diǎn)圖計(jì)算相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)推斷----相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)

(1)T檢驗(yàn)例就上述r值,檢驗(yàn)?zāi)獣r(shí)間與凝血酶濃度是否有直線相關(guān)關(guān)系.(2)查表法求出r后,根據(jù)ν=n-2查相關(guān)系數(shù)界值表相關(guān)分析應(yīng)用中的注意事項(xiàng)相關(guān)分析要有實(shí)際意義；相關(guān)關(guān)系不一定都是“因果”關(guān)系；相關(guān)系數(shù)r假設(shè)檢驗(yàn)中p的大小不能說(shuō)明相關(guān)的密切程度；出現(xiàn)異常值時(shí)慎用相關(guān)分層資料盲目合并易出現(xiàn)假象直線相關(guān)和等級(jí)相關(guān)有各自不同的適用條件。秩相關(guān)秩相關(guān)的概念及統(tǒng)計(jì)描述研究?jī)蓚€(gè)不滿足正態(tài)分布條件的連續(xù)型隨機(jī)變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系,關(guān)系是否密切以及是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān).秩相關(guān)系數(shù)又稱spearman相關(guān)系數(shù),以

表示樣本相關(guān)系數(shù),以

表示總體相關(guān)系數(shù).它反映兩個(gè)變量相關(guān)關(guān)系的方向和密切程度的指標(biāo),沒(méi)有單位,其值為-1≤r≤1.分別為x和y的秩次例某地研究2-7歲急性白血病患兒的血小板數(shù)與出血癥狀程度之間的相關(guān)性,結(jié)果見(jiàn)表.試用秩相關(guān)進(jìn)行分析。病人編號(hào)血小板數(shù)秩次p秩次平方出血癥狀秩次q秩次平方pq12345678910111212113816531042654074010601260129014382004123456789101112149162536496481100121144++++++-++++----+++-1159.07.03.59.09.03.53.53.53.511..53.5132.25814912.25818112.2512.2512.2512.25132.2512.2511.5182114455424.52831.535126.542合計(jì)7865078630451表1急性白血病患兒的血小板和出血癥狀步驟：1）將變量X，Y成對(duì)的觀察值分別從小到大排序編秩，以pi表示Xi的秩次，以qi表示Yi的秩次，觀察值相同時(shí)取平均秩次，見(jiàn)表12）用pi,qi的值分別作為Xi,Yi的值代入pearson相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式中秩相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)推斷----秩相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)

(1)T檢驗(yàn)（2）查表法直線回歸

直線回歸的概念很早以前,英國(guó)遺傳學(xué)家FrancisGalton與其弟子K.pearson和A.Lee注意到一個(gè)有趣現(xiàn)象,即父親高,兒子也高,父親矮,兒子也矮,但兒子離平均水平更近些,即子代身高向均數(shù)回歸.回歸分析的類型因變量為非時(shí)間的連續(xù)型變量(一元線性回歸分析,多項(xiàng)式回歸分析,非線性回歸分析,可直線化的曲線回歸分析)因變量為時(shí)間的連續(xù)型變量(COX回歸分析)因變量為隨時(shí)間變化的連續(xù)型變量(時(shí)間序列分析)因變量為二值離散型變量(logistic回歸分析或?qū)?shù)線性模型分析)因變量為多值有序離散型變量(logistic回歸分析)因變量為多值名義離散型變量(logistic回歸分析或logit模型回歸分析,對(duì)數(shù)線性模型分析)例1在腦血管疾病的診斷治療中，腦脊液白細(xì)胞介素-6水平是影響診斷與預(yù)后分析的一項(xiàng)重要指標(biāo)，但腦脊液在臨床上又不容易采集到。某醫(yī)生欲了解急性腦血管疾病人血清與腦脊液IL-6水平，隨機(jī)抽取了某醫(yī)院確診的10例蛛網(wǎng)膜下腔出血（SAH）患者24小時(shí)內(nèi)血清IL-6和腦脊液IL-6數(shù)據(jù)如下。假說(shuō)SAH血清IL-6和腦脊液IL-6間有直線相關(guān)關(guān)系，試如何用血清IL-6來(lái)估計(jì)和預(yù)測(cè)腦脊液IL-6？表12-1SAH患者第一天血清和腦脊液IL-6檢測(cè)結(jié)果患者號(hào)12345678910血清（x)腦脊液(y)22.4134.051.6167.058.1132.325.180.265.9100.079.7139.175.3187.232.497.296.4192.385.7199.4圖1SAH患者血清和腦脊液IL-6散點(diǎn)圖圖2函數(shù)關(guān)系圖例2隨機(jī)抽取15名健康成人，測(cè)定血液的凝血酶濃度及凝固時(shí)間，數(shù)據(jù)見(jiàn)表11-1。試判斷此數(shù)據(jù)是否呈直線相關(guān)關(guān)系?表12-215例健康成人凝血時(shí)間與凝血酶濃度測(cè)量值記錄受試者號(hào)123456789101112131415濃度1.11.21.00.91.21.10.90.61.00.91.10.91.110.7時(shí)間141315151314161714161516141517圖3凝血酶濃度與凝血時(shí)間的散點(diǎn)分布從散點(diǎn)圖中可以看出：圖中散點(diǎn)雖不都在一條直線上，但它們有一種線性趨勢(shì)存在，即隨著血清IL-6的增加，腦脊液IL-6也在增加;隨著凝血濃度的增加,凝血時(shí)間在減少。它與數(shù)學(xué)中兩變量間嚴(yán)格對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系不同，但它同樣可以描述兩變量之間數(shù)量依存關(guān)系，該直線稱為回歸直線。用回歸直線來(lái)描述兩變量之間的直線關(guān)系的方法稱為直線回歸。直線回歸方程的表達(dá)式X為自變量的取值，為X取某一值時(shí)應(yīng)變量Y的平均估計(jì)值，稱為Y的預(yù)測(cè)值a-------截距。a>0說(shuō)明直線與Y軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)的上方，a<0說(shuō)明直線與Y軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)的下方，a=0，則直線過(guò)原點(diǎn)。b的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義：X每增加（或減少）一個(gè)單位，應(yīng)變量Y平均改變b個(gè)單位。

b-----回歸系數(shù)（即直線的斜率）。b>0表示Y隨X的增大而增大，b<0表示Y隨X的增大而減小，b=0表示直線與X軸平行，即X與Y沒(méi)有直線關(guān)系。直線回歸方程的求法最小二乘法則保證各實(shí)測(cè)點(diǎn)至回歸直線的縱向距離平方和為最小.例3對(duì)例1中的數(shù)據(jù)求出其直線回歸方程（1）繪制數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖。見(jiàn)圖1。從圖中可以看出數(shù)據(jù)之間存在著直線變化的趨勢(shì)。（2）計(jì)算回歸系數(shù)與截距(3)寫(xiě)出回歸直線方程b=1.18>0，表明SAH患者腦脊液IL-6隨血清IL-6增加而增加，且血清IL-6每增加1pg/ml時(shí)，腦脊液平均增加1.181pg/ml。總體回歸系數(shù)的統(tǒng)計(jì)推斷總體回歸系數(shù)的區(qū)間估計(jì)總體回歸系數(shù)β的1-α的置信區(qū)間為例求上例中回歸系數(shù)β的95%置信區(qū)間回歸系數(shù)β的95%置信區(qū)間為（1.180-2.306×0.398，1.180+2.306×0.398）=（0.262，2.098總體回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)康呐袛郻是否從回歸系數(shù)為零(β=0)的總體中隨機(jī)抽樣得來(lái)的.方法（1）t檢驗(yàn)

例對(duì)上例中的回歸系數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)（2）方差分析應(yīng)變量y的離均差平方和回歸平方和，即在y的總變異中可用x與y的線性關(guān)系解釋的那部分變異殘差平方和，即扣除了x對(duì)y的線性影響后，其它所有因素對(duì)y變異的影響P(x,y)應(yīng)變量平方和分解圖例用方差分析對(duì)上述回歸方程進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)回歸模型的假設(shè)條件1)反應(yīng)變量Y與自變量X之間呈直線變化的趨勢(shì),作散點(diǎn)圖觀察2)因變量Y服從正態(tài)分布或殘差服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量,X可為隨機(jī)或非隨機(jī)的變量3)任意兩個(gè)觀察值之間是相互獨(dú)立的4)在自變量X的取值范圍內(nèi),不論X取何值,Y均有相同的方差直線回歸方程的圖示

在自變量X的實(shí)測(cè)范圍內(nèi)任取兩個(gè)值，代入回歸方程算出對(duì)應(yīng)的，根據(jù)兩點(diǎn)成一直線就可以畫(huà)出該直線的圖形。說(shuō)明：所繪直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)；該直線與縱軸交點(diǎn)的坐標(biāo)必等于截距a.此兩點(diǎn)可以檢驗(yàn)圖形的繪制是否正確。直線回歸方程的應(yīng)用描述兩變量的數(shù)量依存關(guān)系利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)

所謂預(yù)測(cè)就是把預(yù)報(bào)因子（自變量X）代入回歸方程對(duì)預(yù)報(bào)量進(jìn)行估計(jì)，其波動(dòng)范圍按求個(gè)體Y值的容許區(qū)間方法來(lái)計(jì)算。利用回歸方程進(jìn)行統(tǒng)計(jì)控制

統(tǒng)計(jì)控制時(shí)利用回歸方程進(jìn)行逆估計(jì)，如要求應(yīng)變量Y在一定范圍內(nèi)波動(dòng)，可以通過(guò)自變量X的取值來(lái)實(shí)現(xiàn)。個(gè)體y值的容許區(qū)間當(dāng)X取某一定值時(shí),個(gè)體Y有一波動(dòng)范圍,其標(biāo)準(zhǔn)差為個(gè)體y值的100(1-α)容許區(qū)間為殘差的標(biāo)準(zhǔn)誤,剩余標(biāo)準(zhǔn)誤如:為使一名糖尿病人的血糖維持在正常范圍(4.44,6.66),如何控制血中胰島素水平?已知有胰島素估計(jì)血糖平均水平的直線回歸方程為欲將血糖水平控制在正常范圍的上界即6.66以內(nèi)時(shí),血中胰島素應(yīng)維持在什么水平?即將一名血糖病人的血糖水平控制在6.66以內(nèi),胰島素可維持在32.64U/L上殘差分析殘差(residual)是指觀察值Yi與回歸模型擬合值之差,即為它反映模型與數(shù)據(jù)擬合優(yōu)劣的信息。非線性回歸通過(guò)自變量的變換化為線性回歸通過(guò)因變量的變換化為線性回歸例9.14以不同劑量的標(biāo)準(zhǔn)促進(jìn)腎上腺皮質(zhì)激素釋放因子CRF刺激離體培養(yǎng)的大鼠垂體前葉細(xì)胞，監(jiān)測(cè)其垂體合成分泌腎上腺皮質(zhì)激素ACTH的量。根據(jù)表中數(shù)據(jù)的量建立CRF-ACTH工作曲線。例一位醫(yī)院管理人員想建立一個(gè)回歸模型，對(duì)重傷病人出院后的長(zhǎng)期恢復(fù)情況進(jìn)行預(yù)測(cè)。自變量為病人住院天數(shù)X，因變量為病人出院后長(zhǎng)期恢復(fù)后的預(yù)后指數(shù)Y，指數(shù)取值愈大表示預(yù)后結(jié)果越好。數(shù)據(jù)見(jiàn)下表。編號(hào)123456789101112131415住院天數(shù)X預(yù)后指數(shù)Y2545507451037143519252620311634183813458521153860465615名重傷病人的住院天數(shù)與預(yù)后指數(shù)直線相關(guān)與直線回歸的聯(lián)系和區(qū)別

區(qū)別資料的要