備戰(zhàn)人教版2020年高考數(shù)學大一輪復習 熱點聚焦與擴展 專題26 應用AD=xAB+yAC解題探秘

專題26應用解題探秘【熱點聚焦與擴展】高考對平面向量基本定理的考查，往往以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).常以平面圖形為載體，借助于向量的坐標形式等考查共線、垂直等問題；也易同三角函數(shù)、解析幾何等知識相結合，以工具的形式出現(xiàn)．用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，再用該基底表示向量，其實質就是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加減運算和數(shù)乘運算．要特別注意基底的不唯一性-----只要兩個向量不共線，就可以作為平面的一組基底，對基底的選取不唯一，平面內任意向量都可被這個平面的一組基底線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的．1、平面向量基本定理：若平面上兩個向量不共線，則對平面上的任一向量，均存在唯一確定的.其中稱為平面向量的一組基底.，（其中），使得（1）不共線的向量即可作為一組基底表示所有的向量（2）唯一性：若且，則2、“爪”字型圖及性質：（1）已知三點共線為不共線的兩個向量，則對于向量，必存在之間，使得.則當當，則與位于，則與位于同側，且位于與兩側時，當，則在線段上；當，則，則在線段延長線上（2）已知在線段3、上，且中確定方法（1）在幾何圖形中通過三點共線即可考慮使用“爪”字型圖完成向量的表示，進而確定（2）若題目中某些向量的數(shù)量積已知，則對于向量方程，可考慮兩邊對同一向量作數(shù)量積運算，從而得到關于的方程，再進行求解（3）若所給圖形比較特殊（矩形，特殊梯形等），則可通過建系將向量坐標化，從而得到關于的方程，再進行求解【經典例題】例1.在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD＝4，BC＝6，若(m，n∈R)，則＝()A.－3B.－C.D.3【答案】A【點睛】當向量等式中的向量系數(shù)含參時，可通過對兩邊作同一向量的數(shù)量積運算便可得到關于系數(shù)的方程.若要解出系數(shù)，則可根據(jù)字母的個數(shù)確定構造方程的數(shù)量例2.【2017課標3，理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若=+，則+的最大值為（）A．3B．2C．D．2【答案】A【解析】如圖所示，建立平面直角坐標系【名師點睛】(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算.(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.例3.【2019屆安徽省淮南市高三第一次（2月）模擬】已知是的重心，過點作直線，則的最小值是()與，交于點，且，，A.B.C.D.【答案】D【解析】如圖三點共線，∵是的重心，故當且僅當?shù)忍柍闪⒐蔬xD例4.【2019屆北京市朝陽區(qū)一?！吭谄矫嬷苯亲鴺讼抵?已知點,,動點滿足,其中,則所有點構成的圖形面積為()A.B.C.D.【答案】C【解析】設,則,,,所有點構成圖形如圖所示（陰影部分）,,故選.【方法點睛】本題主要考查平面向量基本定理以及線性規(guī)劃的應用及數(shù)學的轉化與劃歸思想.屬于難題.轉化與劃歸思想解決高中數(shù)學問題的一種重要思想方法，是中學數(shù)學四種重要的數(shù)學思想之一，尤其在解決知識點較多以及知識跨度較大的問題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運用這種方法的關鍵是將題設條件研究透，這樣才能快速找準突破點.以便將問題轉化為我們所熟悉的知識領域，進而順利解答，希望同學們能夠熟練掌握并應用于解題當中.本題中，把向量問題轉化為線性規(guī)劃問題解答是解題的關鍵.例5.【2019年4月湖南G10教育聯(lián)盟高三聯(lián)考】平行四邊形中，，，，是平行四邊形內一點，且，如，則的最大值為（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】∵，∴==故選：B．例6.【2019屆四川省雅安市三診】在直角梯形，，，，，，分別為，的中點，點在以為圓心，為半徑的圓弧上變動（如圖所示）.若，其中，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】建立如圖所示的坐標系：則，，，，，即，，.∵∴∴∴故選A.例7.在中，為邊的中點，為的中點，過點作一直線分別交于點，若，則的最小值是（）A.B.C.D.【答案】【解析】想到“爪”字型圖，所以若要求出且的最值，則需從條件中得到的關系。由的關系轉為共線可的關系。利，其中，下面考慮將用條件中的向量關系：，所以，因為，所以，由平面向量基本定理可得：，所以，所以，而，所以答案：A例8.【2017天津，文理】在中，，，.若，，且，則的值為___________.【答案】【名師點睛】根據(jù)平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一組基地可以表示平面內的任一向量，利用向量的定比分點公式表示向量，計算數(shù)量積，選取基底很重要，本題的已知模和夾角，選作基底易于計算數(shù)量積.例9.【2019年衡水金卷調研卷三】如圖所示，已知在點，，則__________．中，，，交于【答案】【解析】設,,即，∴，由三點共線，得，解得.又∴∴例10.【2019屆江西省吉安一中、九江一中等八所重點中學高三4月聯(lián)考】點為所在平面內一動點，且滿足：，，若點的軌跡與直線圍成封閉區(qū)域的面積為【答案】，則__________．【解析】設，，則.∵滿足：∴∴∴∴，即.為等邊三角形故答案為.點睛：本題考查學生的是三角形面積公式與向量的交匯處，屬于中檔題目.由為突破點，構造出是解題的關鍵，由系數(shù)和為得出三點共線，可得的軌跡為直線，結合三角形面積公式即可.【精選精練】1．【2019屆遼寧省朝陽市普通高中一?！吭谥校瑸?，則的重心，過點的直線分別交（），于，兩點，且，A.B.C.D.【答案】A2．【2019屆河北省武邑中學高三下期中】已知在中，兩直角邊，，是內一點，且，設，則（）A.B.C.3D.【答案】A【解析】分析：建立平面直角坐標系，分別寫出B、C點坐標，由于∠DAB=60°，設D點坐標為（m，），由平面向量坐標表示，可求出λ和μ．詳解：如圖以A為原點，以AB所在的直線為x軸，以AC所在的直線為y軸建立平面直角坐標系，則B點坐標為（1，0），C點坐標為（0，2），因為∠DAB=60°，設D點坐標為（m，），=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）?λ=m，μ=，則．故選A．3．【2019屆衡水金卷】在平面直角坐標系中，為坐標原點，，，，，設，，若，，且，則的最大值為（）A.7B.10C.8D.12【答案】B點睛：利用線性規(guī)劃求最值的步驟：(1)在平面直角坐標系內作出可行域;(2)考慮目標函數(shù)的幾何意義，將目標函數(shù)進行變形．常見的類型有截距型（型）、斜率型（型）和距離型（型）;(3)確定最優(yōu)解：根據(jù)目標函數(shù)的類型，并結合可行域確定最優(yōu)解;(4)求最值：將最優(yōu)解代入目標函數(shù)即可求出最大值或最小值;注意解答本題時不要忽視斜率不存在的情形.4．【2019屆安徽省安慶市二?！吭趯崝?shù)和，使得中，點是邊，則（）上任意一點，是線段的中點，若存在A.B.2C.2D.【答案】B又，所以，，所以.故選B.5．【2019屆北京市九中十月月考】如圖,半徑為的扇形的圓心角為,點在上,且,若,則()A.B.C.D.【答案】A【解析】，，故選A.【方法點睛】本題主要考查向量的坐標運算、相等向量以及平面向量基本定理，屬于難題．向量的運算有兩種方法，一是幾何運算往往結合平面幾何知識和三角函數(shù)知識解答，運算法則是：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差）；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）；二是坐標運算：建立坐標系轉化為解析幾何或者三角函數(shù)問題解答6.【2019年遼寧省部分重點中學協(xié)作體高三模擬】已知是邊長為1的正三角形，若點滿足，則的最小值為（）A.B.1C.D.【答案】C【解析】分析：以為原點，以為軸，建立坐標系，可得，，利用配方法可得的最小值.詳解：以為原點，以為軸，建立坐標系，為邊長為的正三角形，，點睛：本題主要考查向量的模與平面向量的坐標運算，屬于難題．向量的運算有兩種方法，一是幾何運算，往往結合平面幾何知識和三角函數(shù)知識解答，運算法則是：（１）平行四邊形法則；（２）三角形法則；二是坐標運算：建立坐標系轉化為解析幾何問題解答（求最值與求范圍問題往往運用坐標運算來解答）.7．【2019屆衡水金卷二】已知在中，為邊上的點，，若，則__________．【答案】【解析】因為，所以，所以，所以，所以，故答案為.8．【2019屆四川省德陽市二診】如圖，在三角形中，、分別是邊、的中點，點在直線上，且，則代數(shù)式的最小值為__________．【答案】【解析】因為點共線，所以由，有又因為、分別是邊、的中點，所以【點睛】本題主要考查了平面向量的應用，解題的關鍵是向量共線定理的應用及結論“點”的應用共線，由，有9．【2019屆四川省高三“聯(lián)測促改”活動】在平面向量中有如下定理：設點、、、為同一平面內的點，則、、三點共線的充要條件是：存在實數(shù)，使.試利用該定理解答下列問題：如圖，在，設中，點為邊的中點，點在邊上，且，交于點，則__________．【答案】【解析】∵三點共線，∴，．答案：10．【2019屆北京市北京166中高三10月考】如圖,在矩形中,點、分別在線段、上,且滿足,若,則___________;___________.【答案】0【解析】.，又即∴兩式相加得點睛：(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算．(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過