數(shù)值分析四版緒論

歡迎你學(xué)習(xí)數(shù)值分析數(shù)理系王亞紅科學(xué)計(jì)算的重要性?科學(xué)計(jì)算是工程實(shí)踐的重要工具?科學(xué)計(jì)算是繼理論與實(shí)驗(yàn)后另一科學(xué)研究手段課外閱讀基礎(chǔ)性，實(shí)用性，邊緣性科學(xué)計(jì)算的國(guó)家戰(zhàn)略與發(fā)展(1)?1983年一個(gè)由美國(guó)著名數(shù)學(xué)家拉克斯(P.Lax)為首的不同學(xué)科的專(zhuān)家委員會(huì)向美國(guó)政府提出的報(bào)告之中，強(qiáng)調(diào)“科學(xué)計(jì)算是關(guān)系到國(guó)家安全、經(jīng)濟(jì)發(fā)展和科技進(jìn)步的關(guān)鍵性環(huán)節(jié)，是事關(guān)國(guó)家命脈的大事。”?1984年美國(guó)政府大幅度地增加對(duì)科學(xué)計(jì)算經(jīng)費(fèi)的支持,新建成五個(gè)國(guó)家級(jí)超級(jí)計(jì)算中心（分別在普林斯頓大學(xué)、圣地亞哥、伊里諾大學(xué)、康奈爾大學(xué)、匹茲堡大學(xué)），配備當(dāng)時(shí)最高性能的計(jì)算機(jī)，建立NSF-net新網(wǎng)絡(luò)。?80年代中期我國(guó)將“大規(guī)?？茖W(xué)與工程計(jì)算”列入國(guó)家資助重大項(xiàng)目。大型科學(xué)計(jì)算被列為國(guó)家”八五”重點(diǎn)基礎(chǔ)項(xiàng)目.課外閱讀?1987年起美國(guó)NSF把“科學(xué)與工程計(jì)算”，“生物工程”“全局性科學(xué)”作為三大優(yōu)先資助的領(lǐng)域.?1990年美國(guó)國(guó)家研究委員會(huì)發(fā)表《振興美國(guó)數(shù)學(xué)：90年代的計(jì)劃》的報(bào)告，建議對(duì)由計(jì)算引發(fā)的數(shù)學(xué)給予特殊的鼓勵(lì)和資助.?1991年以美國(guó)總統(tǒng)倡議的形式提出了“高性能計(jì)算與通信HPCC計(jì)劃”，這是為了保持和提高美國(guó)在計(jì)算和網(wǎng)絡(luò)的所有先進(jìn)領(lǐng)域中的領(lǐng)導(dǎo)地位而制定的.其發(fā)展的關(guān)鍵技術(shù)是可擴(kuò)展的大規(guī)模并行計(jì)算.?1995年美國(guó)為了確保核庫(kù)存的性能安全性、可靠性和更新需要而實(shí)施的“加速戰(zhàn)略計(jì)算創(chuàng)新ASCI計(jì)劃”.科學(xué)計(jì)算的國(guó)家戰(zhàn)略與發(fā)展(2)課外閱讀戰(zhàn)略計(jì)算?這是因?yàn)槊绹?guó)克林頓總統(tǒng)在1995年8月11日宣布：“美國(guó)決定謀求真正的“零當(dāng)量”全面禁止試驗(yàn)核武器條約”。?這并不意味著核競(jìng)賽的結(jié)束，恰恰相反是核武器計(jì)劃新時(shí)代的開(kāi)始，要求通過(guò)逼真的建模和模擬計(jì)算來(lái)取代傳統(tǒng)的反復(fù)試驗(yàn)的工程處理方法，這主要依賴于先進(jìn)的數(shù)值計(jì)算和模擬能力。?1995年8月22日（即美國(guó)總統(tǒng)宣布決定后的11天），能源部DOE就采購(gòu)世界上最快的一臺(tái)計(jì)算機(jī)（速度超過(guò)萬(wàn)億次運(yùn)算）交付圣地亞哥實(shí)驗(yàn)室（96年12月安裝）。?1998年7月30-31日，美國(guó)DOE/FNS共同聯(lián)合組織召開(kāi)了關(guān)于“先進(jìn)科學(xué)計(jì)算”的全國(guó)會(huì)議，會(huì)議強(qiáng)調(diào)科學(xué)模擬的重要性，希望應(yīng)用科學(xué)模擬來(lái)攻克復(fù)雜的科學(xué)與工程難題。課外閱讀

研究使用計(jì)算機(jī)求解各種科學(xué)與工程計(jì)算問(wèn)題的數(shù)值方法（近似方法），對(duì)求得的解的精度進(jìn)行評(píng)估，以及如何在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)求解等。數(shù)值分析課程中所講述的各種數(shù)值方法在科學(xué)與工程計(jì)算、信息科學(xué)、管理科學(xué)、生命科學(xué)等交叉學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用。課外閱讀課外閱讀應(yīng)用問(wèn)題舉例今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗。問(wèn)上、中、下禾實(shí)一秉各幾何？答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾一秉四斗四分斗之一。下禾一秉二斗四分斗之三?！毒耪滤阈g(shù)》1、一個(gè)兩千年前的例子課外閱讀線性方程組的數(shù)值方法！課外閱讀2、天體力學(xué)中的Kepler方程x是行星運(yùn)動(dòng)的軌道，它是時(shí)間t的函數(shù)非線性方程的數(shù)值解法!課外閱讀全球定位系統(tǒng)：在地球的任何一個(gè)位置,至少可以同時(shí)收到4顆以上衛(wèi)星發(fā)射的信號(hào).

3.全球定位系統(tǒng)(GlobalPositioningSystem,GPS)課外閱讀表示地球上一個(gè)接收點(diǎn)R的當(dāng)前位置，衛(wèi)星Si的位置為，則得到下列非線性方程組課外閱讀非線性方程組的數(shù)值方法!記為其中課外閱讀4.已經(jīng)測(cè)得在某處海洋不同深度處的水溫如下：深度（M）46674195014221634水溫（oC）7.044.283.402.542.13根據(jù)這些數(shù)據(jù)，希望合理地估計(jì)出其它深度（如500米，600米，1000米…）處的水溫.插值法!課外閱讀5.用比較簡(jiǎn)單的函數(shù)代替復(fù)雜的函數(shù)誤差為最小，即距離為最?。ㄔ诓煌亩攘恳饬x下）函數(shù)逼近!課外閱讀6.人口預(yù)測(cè)

左側(cè)表格給出的是中國(guó)1900年到2000年的人口數(shù)，我們的目標(biāo)是預(yù)測(cè)未來(lái)的人口數(shù)（數(shù)據(jù)量較大時(shí)）19505519619606620719708299219809870519901143332000126743課外閱讀曲線擬合!課外閱讀7.鋁制波紋瓦的長(zhǎng)度問(wèn)題建筑上用的一種鋁制波紋瓦是用一種機(jī)器將一塊平整的鋁板壓制而成的.假若要求波紋瓦長(zhǎng)4英尺,每個(gè)波紋的高度(從中心線)為1英寸,且每個(gè)波紋以近似2π英寸為一個(gè)周期.求制做一塊波紋瓦所需鋁板的長(zhǎng)度L.課外閱讀這個(gè)問(wèn)題就是要求由函數(shù)f(x)=sinx給定的曲線從x=0到x=48英寸間的弧長(zhǎng)L.由微積分學(xué)我們知道,所求的弧長(zhǎng)可表示為:上述積分稱為第二類(lèi)橢圓積分,它不能用普通方法來(lái)計(jì)算.數(shù)值積分!課外閱讀8.生物化學(xué)反應(yīng)的例子

A，B，C是三種蛋白質(zhì)，其反應(yīng)如下：課外閱讀通過(guò)建?？梢缘玫饺缦路匠探M

A：B：C：

常微分方程的數(shù)值方法!課外閱讀G:GoogleMatrix,“theworld’slargestmatrixcomputation”.4,300,000,000x:PageRankvector“The$25,000,000,000Eigenvector”9.Google搜索引擎課外閱讀London,England:Millennium('Wobbly')Bridge(1998-2002,NormanFosterandPartnersandArupAssociates)…thenaturalmodesandfrequenciesofastructurearethesolutionofaneigenvalueproblemthatisquadraticwhendampingeffectsareincludedinthemodel.(F.Tisseur,K.Meerbergen,ThequadraticEigenvalueProblem,SiREV43,2000,pp.235-286)課外閱讀

矩陣特征值問(wèn)題的數(shù)值方法!課外閱讀Ch1緒論1.數(shù)值分析課程介紹;2.學(xué)習(xí)要求與參考資料;3.計(jì)算方法中的基本概念:誤差,誤差估計(jì),算法的穩(wěn)定性;4.數(shù)值運(yùn)算中盡可能避免誤差危害的的幾個(gè)原則.1.計(jì)算方法課程介紹隨著計(jì)算機(jī)和計(jì)算方法的飛速發(fā)展，幾乎所有學(xué)科都走向定量化和精確化，從而產(chǎn)生了一系列計(jì)算性的學(xué)科分支，如計(jì)算物理、計(jì)算化學(xué)、計(jì)算生物學(xué)、計(jì)算地質(zhì)學(xué)、計(jì)算氣象學(xué)和計(jì)算材料學(xué)等，計(jì)算數(shù)學(xué)中的數(shù)值計(jì)算方法則是解決“計(jì)算”問(wèn)題的橋梁和工具。我們知道，計(jì)算能力是計(jì)算工具和計(jì)算方法的效率的乘積，提高計(jì)算方法的效率與提高計(jì)算機(jī)硬件的效率同樣重要?？茖W(xué)計(jì)算已用到科學(xué)技術(shù)和社會(huì)生活的各個(gè)領(lǐng)域中。理論,實(shí)驗(yàn),計(jì)算科學(xué)研究的手段數(shù)值計(jì)算方法，是一種研究并解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值近似解方法，是在計(jì)算機(jī)上使用的解數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，簡(jiǎn)稱計(jì)算方法。在科學(xué)研究和工程技術(shù)中都要用到各種計(jì)算方法。例如，在航天航空、地質(zhì)勘探、汽車(chē)制造、橋梁設(shè)計(jì)、天氣預(yù)報(bào)和漢字字樣設(shè)計(jì)中都有計(jì)算方法的蹤影。計(jì)算方法既有數(shù)學(xué)類(lèi)課程中理論上的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性，又有實(shí)用性和實(shí)驗(yàn)性的技術(shù)特征，計(jì)算方法是一門(mén)理論性和實(shí)踐性都很強(qiáng)的學(xué)科。在70,80年代，大多數(shù)學(xué)校僅在數(shù)學(xué)系的計(jì)算數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)和計(jì)算機(jī)系開(kāi)設(shè)計(jì)算方法這門(mén)課程。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展和普及，現(xiàn)在計(jì)算方法課程幾乎已成為所有理工科學(xué)生的必修課程。計(jì)算方法的計(jì)算對(duì)象是微積分、線性代數(shù)、常(偏)微分方程中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。內(nèi)容包括：插值和擬合、數(shù)值微分和數(shù)值積分、非線性方程(組)求根、求解線性方程組的直接法和迭代法、矩陣特征值和特征向量的計(jì)算、常微分方程數(shù)值解、偏微分方程數(shù)值解等問(wèn)題。

數(shù)值分析的特點(diǎn):面向計(jì)算機(jī),根據(jù)計(jì)算機(jī)的特點(diǎn)提供實(shí)際可行的有效算法;有可靠的理論分析,分析算法的收斂性,數(shù)值穩(wěn)定性,誤差分析等;有好的計(jì)算復(fù)雜性:時(shí)間復(fù)雜性好,空間復(fù)雜性好;有數(shù)值實(shí)驗(yàn).例

解n=25時(shí)的線性方程組用Cramer法則求解，即

設(shè)計(jì)算k階行列式所需的乘法次數(shù)為mk,則容易推出于是,利用Cramer法則和Laplace展開(kāi)定理求解一個(gè)n階線性方程組,所需乘法次數(shù)就大于在一個(gè)百億次計(jì)算機(jī)上，要做n=25時(shí)的線性方程組,則至少需要然而,如果改用高斯消去法,所需5830次乘除法,可在不到一秒鐘之內(nèi)完成這一計(jì)算任務(wù).因此，在應(yīng)用或構(gòu)造算法時(shí)，還應(yīng)考慮如何計(jì)算，才能即快又省。

計(jì)算方法、硬件對(duì)計(jì)算能力同等重要。例如：從50年代初到90年代中期，計(jì)算機(jī)經(jīng)過(guò)幾代更新，運(yùn)算速度從千次/秒到幾千億次/秒，大致上提高了8個(gè)數(shù)量級(jí)（1億倍），同一時(shí)期求解工程中大量出現(xiàn)的橢圓型微分方程的算法提高了12個(gè)數(shù)量級(jí)（1萬(wàn)億倍）。以三維問(wèn)題，每個(gè)方向上取100個(gè)網(wǎng)點(diǎn)的有限元方程的算法，50年代初流行的Gauss消去法大約1018個(gè)運(yùn)算量，而90年代最快速的多重網(wǎng)格迭代法只需106個(gè)運(yùn)算量。2.學(xué)習(xí)“數(shù)值分析”課程的要求注意掌握各種方法的基本原理;注意各種方法的構(gòu)造方法;重視各種方法的誤差分析;做一定量的習(xí)題和練習(xí);注意與實(shí)際問(wèn)題相聯(lián)系.學(xué)習(xí)參考書(shū)1.李紅《數(shù)值分析學(xué)習(xí)輔導(dǎo)習(xí)題解析》,武漢:華中科技大學(xué)出版2.封建湖車(chē)明剛《計(jì)算方法典型題分析解集》,西安:西北工業(yè)大學(xué)出版3.林成森《數(shù)值計(jì)算方法》,北京:科學(xué)出版社4.JohnH.Mathews《數(shù)值方法》(英文第3版),北京:電子工業(yè)出版社3.計(jì)算方法中的基本概念誤差的來(lái)源

現(xiàn)實(shí)世界

研究對(duì)象測(cè)量數(shù)據(jù)數(shù)學(xué)模型的建立數(shù)值計(jì)算方法程序設(shè)計(jì)測(cè)量誤差模型誤差截?cái)嗾`差(方法誤差)舍入誤差上機(jī)計(jì)算求得結(jié)果誤差的分類(lèi)

通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象、簡(jiǎn)化得到的數(shù)學(xué)模型，與實(shí)際現(xiàn)象之間必然存在誤差，這種誤差稱之為模型誤差。一般數(shù)學(xué)問(wèn)題包含若干參量，他們的值往往通過(guò)觀測(cè)得到，而觀測(cè)難免不帶誤差，這種誤差稱之為觀測(cè)誤差。一般數(shù)學(xué)問(wèn)題難以求解，往往要通過(guò)近似替代，簡(jiǎn)化為較易求解的問(wèn)題，簡(jiǎn)化引起的誤差稱之為截?cái)嗾`差。由于實(shí)際計(jì)算是按有限位數(shù)進(jìn)行的，所以數(shù)值解的每一步都可能產(chǎn)生誤差，這種誤差稱之為舍入誤差。關(guān)于截?cái)嗾`差

模型誤差、觀測(cè)誤差、舍入誤差我們從字面上不難理解他們的意義，截?cái)嗾`差的意義似乎不是那么直觀。舉的一個(gè)例子，求sinx的值時(shí)，我們有，

用計(jì)算機(jī)求值時(shí)，我們不可能計(jì)算右端無(wú)窮多項(xiàng)，只能截取有限項(xiàng)，若計(jì)算到項(xiàng)的話，截?cái)嗾`差便為.在數(shù)值分析中，截?cái)嗾`差是我們最要關(guān)心的誤差，它是評(píng)價(jià)算法精確性重要的一個(gè)方面。

記準(zhǔn)確數(shù)為，近似數(shù)為，絕對(duì)誤差

絕對(duì)誤差限

相對(duì)誤差

相對(duì)誤差限

數(shù)值運(yùn)算的誤差估計(jì)計(jì)算,如果每個(gè)的近似值為則A的近似值為誤差限為相對(duì)誤差限為的絕對(duì)值如果很大,就可能很大.例 求積分由可得算法1：

算法2：誤差分析的重要性首先給出兩種算法的初始值：

兩種算法與真實(shí)值的比較00.18230.18230.18232210.088500.088390.088392220.057500.058040.058038930.045830.043140.043138740.020850.034310.034306950.095750.028470.02846846-0.31210.024330.024324971.7030.021230.02123268-8.3920.018810.0188369

在上表中，是算法1計(jì)算的值，是算法2計(jì)算的值，而是真實(shí)值的一個(gè)近似。從上表我們不難直觀的得出結(jié)論：隨著n的增大，算法1計(jì)算出來(lái)的值是越來(lái)越偏離真實(shí)值，我們說(shuō)，算法1是不穩(wěn)定的。

定義

對(duì)于某個(gè)算法，若輸入數(shù)據(jù)的誤差在計(jì)算過(guò)程中迅速增長(zhǎng)而得不到控制，則稱該算法是數(shù)值不穩(wěn)定的，否則，稱該算法是數(shù)值穩(wěn)定的。

例序列滿足遞推關(guān)系若計(jì)算到時(shí)誤差有多大?這個(gè)計(jì)算過(guò)程穩(wěn)定嗎?分析差之毫厘失之千里數(shù)值不穩(wěn)定的算法舍入誤差的影響

在我們今后的討論中，誤差將不可回避，算法的穩(wěn)定性會(huì)是一個(gè)非常重要的話題。4.避免誤差危害的若干原則數(shù)值運(yùn)算總是在一個(gè)預(yù)先設(shè)計(jì)好的算法中進(jìn)行的，所謂算法就是一個(gè)有限的基本運(yùn)算序列。這個(gè)序列預(yù)定了怎樣從輸入數(shù)據(jù)去計(jì)算出問(wèn)題的解。由于運(yùn)算是在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行的，而計(jì)算機(jī)的字長(zhǎng)有限，因而產(chǎn)生舍入誤差。為減小舍入誤差的影響，設(shè)計(jì)算法時(shí)應(yīng)遵循以下一些原則：要避免除數(shù)絕對(duì)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于被除數(shù)的絕對(duì)值的除法要避免兩相近數(shù)相減要防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)注意簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)避免相近的兩數(shù)相減(會(huì)耗失許多有效數(shù)字,可以用數(shù)學(xué)公式化簡(jiǎn)后再做).

例

各有五位有效數(shù)字的23.034與22.993相減.23.034-22.993=0.0410.041只有兩位有效數(shù)字,有效數(shù)字的耗失,說(shuō)明準(zhǔn)確度減小,因此,在計(jì)算時(shí)需要加工計(jì)算公式,以免這種情況發(fā)生.

例

當(dāng)x較大時(shí),計(jì)算