小波分析簡介

小波分析與信號處理理學(xué)院羅永

小波分析是純數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程技術(shù)的完美結(jié)合。從數(shù)學(xué)來說是大半個(gè)世紀(jì)“調(diào)和分析”的結(jié)晶（包括傅里葉分析、函數(shù)空間等）。小波變換是20世紀(jì)最輝煌科學(xué)成就之一。在計(jì)算機(jī)應(yīng)用、信號處理、圖象分析、非線性科學(xué)、地球科學(xué)和應(yīng)用技術(shù)等已有重大突破，預(yù)示著小波分析進(jìn)一步熱潮的到來?，F(xiàn)代信號處理從這里起步1807年Fourier提出傅里葉分析，1822年發(fā)表“熱傳導(dǎo)解析理論”論文傅里葉生于法國中部歐塞爾一個(gè)裁縫家庭，9歲時(shí)淪為孤兒，就讀于地方軍校，1795年任巴黎綜合工科大學(xué)助教，1798年隨拿破侖軍隊(duì)遠(yuǎn)征埃及，回國后被任命為格倫諾布爾省省長，由于對熱傳導(dǎo)理論的貢獻(xiàn)于1817年當(dāng)選為巴黎科學(xué)院院士。周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開考慮下面的熱傳導(dǎo)方程的求解問題該偏微分方程的解表示長度為的導(dǎo)體在位置、時(shí)間時(shí)的溫度。其中時(shí)導(dǎo)體的初始溫度為，導(dǎo)體在端點(diǎn)處的溫度保持不變，分別為與。

為方便求解，不妨設(shè)。解：用分離法求解該微分方程，即假設(shè)Fourier的猜想周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開最終得到熱傳導(dǎo)方程的通解為那么有帶入原方程得求解后得當(dāng)時(shí)有從而可得函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開。Fourier的猜想傅里葉變換分析的直觀說明：把一個(gè)信號的波形分解為許多不同頻率正弦波之和。一個(gè)周期函數(shù)可以表示為加權(quán)的正弦和余弦和的形式1910年Haar提出最簡單的小波

最早的小波類型早于小波概念的提出小波分析發(fā)展歷史小波變換就是將“原始信號s”變換成“小波系數(shù)w”，w=[wa

,wd]包括近似(approximation)系數(shù)wa與細(xì)節(jié)(detail)系數(shù)wd近似系數(shù)wa---平均成分（低頻）細(xì)節(jié)系數(shù)wd---變化成分（高頻）

小波變換基本原理小波分解和小波基小波分解和小波基

小波基D小波基A原始信號小波系數(shù)wd小波系數(shù)wa正變換：原始信號在每個(gè)小波基張成的子空間上投影，獲得“小波系數(shù)”分量反變換：所有“小波分解”合成原始信號原信號=小波系數(shù)wa×小波基A+小波系數(shù)wd×小波基D基于Matlab小波工具箱的小波分解信號分解與重構(gòu)小波多分辨率分析當(dāng)在某一個(gè)分辨度檢測不到的現(xiàn)象，在另一個(gè)分辨度卻很容易觀察處理。參考：M.Vetterli,”WaveletsandSubbandCoding“,PrenticeHallPTR,1995小波多分辨率分析

時(shí)間A時(shí)間B小波的時(shí)間和頻率特性運(yùn)用小波基，可以提取信號中的“指定時(shí)間”和“指定頻率”的變化。時(shí)間：提取信號中“指定時(shí)間”（時(shí)間A或時(shí)間B）的變化。顧名思義，小波在某時(shí)間發(fā)生的小的波動。頻率：提取信號中時(shí)間A的比較慢速變化，稱較低頻率成分；而提取信號中時(shí)間B的比較快速變化，稱較高頻率成分。小波基性質(zhì)“時(shí)頻局域性”圖解：Fourier變換的基（上）小波變換基（中）和時(shí)間采樣基（下）的比較傅里葉變換(Fourier)基小波基時(shí)間采樣基小波基表示發(fā)生的時(shí)間和頻率小波基性質(zhì)小波變換小波圖像分解與重構(gòu)Fourier變換頻率分析

小波的3個(gè)特點(diǎn)時(shí)頻分析功能小波變換，既具有頻率分析的性質(zhì)，又能表示發(fā)生的時(shí)間。可以分析確定時(shí)間發(fā)生的現(xiàn)象。（傅里葉變換只具有頻率分析的性質(zhì)）多分辨率分析小波變換的多分辨度的變換，有利于各分辨度不同特征的提?。▓D象壓縮，邊緣抽取，噪聲過濾等）運(yùn)算速度小波變換比快速Fourier變換還要快一個(gè)數(shù)量級。信號長度為M時(shí)，F(xiàn)ourier變換（左）和小波變換（右）計(jì)算復(fù)雜性分別如下公式：小波變換的優(yōu)勢反映傅立葉變換缺點(diǎn)的一個(gè)例子：傅立葉變換的缺點(diǎn)：用傅立葉變換提取信號的頻譜需要利用信號的全部時(shí)域信息。傅立葉變換沒有反映出隨著時(shí)間的變化信號頻率成分的變化情況。傅立葉變換的積分作用平滑了非平穩(wěn)信號的突變成分。傅立葉變換小波低頻小波高頻傅立葉變換與小波變換比較解決傅立葉變換缺點(diǎn)的方法：小波基可以通過給定濾波系數(shù)生成

小波基（尺度函數(shù)和小波函數(shù)）可以通過給定濾波系數(shù)生成。有的小波基是正交的，有的是非正交的。有的小波基是對稱的，有的是非對稱的。小波的近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)可以通過濾波系數(shù)直接導(dǎo)出，而不需要確切知道小波基函數(shù)，這是I.

Daubechies等的重要發(fā)現(xiàn)，使計(jì)算簡化，是快速小波分解和重建的基礎(chǔ)。

小波變換的分類：連續(xù)小波變換時(shí)間、控制窗口大小的參數(shù)和時(shí)移參數(shù)都連續(xù)的小波變換。離散參數(shù)小波變換（二進(jìn)小波變換）時(shí)間連續(xù)，控制窗口大小的參數(shù)和時(shí)移參數(shù)離散的小波變換。離散小波變換時(shí)間、控制窗口大小的參數(shù)和時(shí)移參數(shù)都離散的小波變換。小波變換分類MATLAB小波工具箱

安裝MatlabR2009

列出在MATLAB中已有的小波函數(shù)。

wavemngr(￠read￠)

輸出結(jié)果：

ans＝

Haar

haar

Daubechies db

Symlets sym

Coiflets coif

BiorSplines bior

ReverseBior rbio

Meyer meyr

DMeyer dmey

Gaussian gaus

Mexican_hat mexh

Morlet morl

ComplexGaussian cgau

Shannon shan

FrequencyBSpline fbsp

ComplexMorlet cmor

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

%下面列出在MATLAB中存在的所有小波函數(shù)

wavemngr(￠read￠，1)

輸出結(jié)果：

ans＝

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

Haar haar

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

Daubechies db

db1

db2

db3

db4

db5

db6

db7

db8

db9

db10 db**

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

Symlets

sym

--------------------------------------

sym2

sym3

sym4

sym5

sym6

sym7

sym8

sym**

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

Coiflets

coif

---------------------------------------

coif1

coif2

coif3

coif4

coif5 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

BiorSplines

bior

------------------------------------------

bior1.1

bior1.3

bior1.5

bior2.2

bior2.4

bior2.6

bior2.8

bior3.1

bior3.3

bior3.5

bior3.7

bior3.9

bior4.4

bior