《理論力學》第三章力系的平衡條件及其應用

第三章力系的平衡條件及其應用1第三章力系的平衡條件及其應用

§3–1空間力系的平衡條件及其應用

§3–2平面力系的平衡條件及其應用

§3–3靜定和靜不定問題的概念

§3–4剛體系統(tǒng)的平衡

§3–5平面靜定桁架的內(nèi)力分析習題課2§3–1空間力系的平衡條件及其應用

一、空間任意力系的平衡充要條件所以空間一般力系的平衡方程為：還有四矩式，五矩式和六矩式，同時各有一定限制條件。3空間匯交力系的平衡方程為：因為各力線都匯交于一點，各軸都通過該點，故各力矩方程都成為了恒等式。空間平行力系的平衡方程為：設各力線都//z軸。因為均為恒等式§3–1空間力系的平衡條件及其應用4§3–1空間力系的平衡條件及其應用二、空間約束

觀察物體在空間的六種（沿三軸移動和繞三軸轉(zhuǎn)動）可能的運動中，有哪幾種運動被約束所阻礙，有阻礙就有約束反力。1、球鉸鏈5§3–1空間力系的平衡條件及其應用2、向心軸承，蝶鉸鏈，滾珠（柱）軸承

6§3–1空間力系的平衡條件及其應用3、導向軸承4、帶有銷子的夾板7§3–1空間力系的平衡條件及其應用5、止推軸承6、空間固定端

8§3–1空間力系的平衡條件及其應用例1、鏜刀桿的刀頭在鏜削工件時受到切向力Fz，徑向力Fy，軸向力Fx的作用。各力的大小Fz=5000N，F(xiàn)y=1500N，F(xiàn)x=750N，而刀尖B的坐標x=200mm，y=75mm，z=0。如果不計刀桿的重量，試求刀桿根部A的約束力。xzy20075ABFyFzFx9§3–1空間力系的平衡條件及其應用1、取鏜刀桿為研究對象：解：2、受力分析

刀桿根部是空間固定端約束，可有作用在A點的三個正交分力和作用在不同平面內(nèi)的三個正交力偶表示約束反力。xzyABFxFyFzFAxMAxFAyFAzMAzMAy10§3–1空間力系的平衡條件及其應用4、聯(lián)立求解3、列平衡方程xzyABFxFyFzFAxMAxFAyFAzMAzMAy11§3–1空間力系的平衡條件及其應用

例2、某種汽車后橋半軸可看成支承在各橋殼上的簡支梁。A處是徑向止推軸承，B處是徑向軸承。已知汽車勻速直線行駛時地面的法向約束力FD=20kN，錐齒輪上受到有切向力Ft,徑向力Fr

，軸向力Fa的作用。已知：Ft=117kN，

Fr=36kN，F(xiàn)a=22.5kN，錐齒輪的節(jié)圓平均直徑d=98cm，車輪半徑r=440cm，l1=300cm，l2=900cm，l3=80cm。如果不計重量，試求地面的摩擦力和A，B兩處軸承中約束力的大小。12§3–1空間力系的平衡條件及其應用3、列平衡方程解：

1、取整體系統(tǒng)為研究對象：2、受力分析如圖ABDEFDFrFazyFFAxFAyFAzFBzFBxxFt13§3–1空間力系的平衡條件及其應用3、聯(lián)立求解ABDEFDFrFazyFFAxFAyFAzFBzFBxxFt14§3–2平面力系的平衡條件及其應用一、平面力系的平衡充要條件平面力系平衡方程的基本形式（一矩式）15§3–2平面力系的平衡條件及其應用二矩式條件：x軸不AB連線三矩式條件：A,B,C不在同一直線上16§3–2平面力系的平衡條件及其應用平面匯交力系的平衡方程為：平面平行力系的平衡方程為：(設各力作用線平行y軸）（一矩式）條件：AB連線不能平行于力的作用線（二矩式）平面力偶系的平衡方程為：17§3–2平面力系的平衡條件及其應用例1、伸臂式起重機如圖所示，勻質(zhì)伸臂AB重G=2200N，吊車D，E連同吊起重物各重F1=F2=4000N。有關(guān)尺寸為：l=4.3m，a=1.5m，b=0.9m，c=0.15m，α=25°。試求鉸鏈A對臂AB的水平和鉛直約束力，以及拉索BF的拉力。aαcbBFACF1F2l18§3–2平面力系的平衡條件及其應用1、取伸臂AB為研究對象2、受力分析如圖aαcbBFACF1F2lyxBAFBGF2F1ECDFAyFAxα解：19§3–2平面力系的平衡條件及其應用yFAyxBAFBGF2F1ECDFAxαabl3、列平衡方程4.聯(lián)立求解。

FB=12456NFAx=11290N

FAy

=4936N20§3–2平面力系的平衡條件及其應用例2、梁AB上受到一個均布載荷和一個力偶作用，已知載荷集度（即梁的每單位長度上所受的力）q=100N/m，力偶矩大小M=500N·m。長度AB=3m，DB=1m。求活動鉸支D和固定鉸支A的約束力。BAD1mq2mM21§3–2平面力系的平衡條件及其應用BAD1mq2mM解：1.取梁AB為研究對象。2、受力分析如圖。其中F=q×AB=300N；作用在AB

的中點C。BADFFAyFAxFDCM22§3–2平面力系的平衡條件及其應用3、選如圖坐標系，列平衡方程BADFFAyFAxFDCM4.聯(lián)立求解，可得

FD=475N，F(xiàn)Ax=0，F(xiàn)Ay=－175N23§3–2平面力系的平衡條件及其應用例3、自重為G=100kN的T字形剛架ABD，置于鉛垂面內(nèi)，載荷如圖所示，其中M=20kN·m，F(xiàn)=400kN，q=20kN/m，l=1m。試求固定端A的約束力。ADl

l3lqBMFG24§3–2平面力系的平衡條件及其應用1、取T

字形剛架為研究對象ADB解：2、受力分析llF1FAxFAy

MAl

MFGyxADl

l3lqBMFG25§3–2平面力系的平衡條件及其應用3、按圖示坐標，列寫平衡方程4、聯(lián)立求解ADBllF1FAxFAy

MAl

MFGyx26§3–2平面力系的平衡條件及其應用例4、塔式起重機如圖所示。機架重G1=700kN，作用線通過塔架的中心。最大起重量G2=200kN，最大懸臂長為12m，軌道AB的間距為4m。平衡荷重G3到機身中心線距離為6m。試問：

(1)保證起重機在滿載和空載時都不翻倒，求平衡荷重G3應為多少?(2)當平衡荷重G3=180kN時，求滿載時軌道A，B給起重機輪子的約束力？AB2m

2m6m12mG1G2G327§3–2平面力系的平衡條件及其應用1、起重機不翻倒。滿載時不繞B點翻倒，臨界情況下FA=0，可得空載時，G2=0，不繞A點翻倒，臨界情況下FB=0，可得取塔式起重機為研究對象，受力分析如圖所示。則有

75kN＜G3＜350kN解：AB2m

2m6m12mG1G2G328§3–2平面力系的平衡條件及其應用

2、取G3=180kN，求滿載時軌道A，

B給起重機輪子的約束力。列平衡方程解方程得AB2m

2m6m12mG1G2G329§3–2平面力系的平衡條件及其應用F1ABl2l1llF2M例5、外伸梁的尺寸及載荷如圖所示，F(xiàn)1=2kN，F(xiàn)2=1.5kN，M=1.2kN·m，l1=1.5m，l2=2.5m，試求鉸支座A及支座B的約束力。

30§3–2平面力系的平衡條件及其應用1、取梁為研究對象4、解方程解：3、列平衡方程FAyABxyFAxF1FByF2M2、受力分析F1ABl2l1llF2M31§3–3靜定和靜不定問題的概念靜定靜不定靜定問題——當系統(tǒng)中未知量數(shù)目等于或少于獨立平衡方程數(shù)目時的問題。靜不定問題

——當系統(tǒng)中未知量數(shù)目多于獨立平衡方程數(shù)目時，不能求出全部未知量的問題。32靜不定§3–3靜定和靜不定問題的概念(1次）靜定靜不定(2次）靜不定(3次）33§3–4剛體系統(tǒng)的平衡一、概念剛體系統(tǒng)：由若干個剛體通過約束組成的系統(tǒng)。外力：剛體系統(tǒng)以外任何物體作用于該系統(tǒng)的力。內(nèi)力：剛體系統(tǒng)內(nèi)部各物體間互相作用的力。二、剛體系統(tǒng)平衡方程數(shù)目由n個剛體構(gòu)成的剛體系統(tǒng)n1個平面力系n2個平面匯交力系或平面平行力系n3個平面力偶系系統(tǒng)平衡方程的個數(shù)為：m=3n1+2n2+n334§3–4剛體系統(tǒng)的平衡例1、組合梁AC和CE用鉸鏈C相連，A端為固定端，E端為活動鉸鏈支座。受力如圖所示。已知：

l=8m，F(xiàn)=5kN，均布載荷集度q=2.5kN/m，力偶矩的大小M=5kN?m，試求固端A，鉸鏈C和支座E的約束力。l/8qBADMFCHEl/4l/8l/4l/435§3–4剛體系統(tǒng)的平衡解：2、受力分析3、列平衡方程1、取CE段為研究對象CEF1M3l/8Hl/8FCyFEFCx

4、求解得：

FE=2.5kN，F(xiàn)Cy=2.5kN一：l/8qBADMFCHEl/4l/8l/4l/436§3–4剛體系統(tǒng)的平衡3、列平衡方程4、聯(lián)立求解

FA=15kN，MA=－2.5kNIACH1、取AC段為研究對象MAF2l/4Fl/8l/8FAyFAx2、受力分析二：37§3–4剛體系統(tǒng)的平衡例2、三鉸拱橋如圖所示，由左右兩段借鉸鏈C連接起來，又用鉸鏈A，B與基礎相連接。已知每段重G=40kN，重心分別在D，E處，且橋面受一集中載荷F=10kN。設各鉸鏈都是光滑的，試求平衡時，各鉸鏈中的力。尺寸如圖所示。ABCDEGF3mG1m6m6m6m38§3–4剛體系統(tǒng)的平衡ABCDEGF3mG1m6m6m6mFByFBxFAyFAx解：2、受力分析3、列平衡方程1、取整體為研究對象一：FAy=42.5kNFBy=47.5kN39§3–4剛體系統(tǒng)的平衡3、列平衡方程1、取AC段為研究對象2、受力分析二：ACDFCxGFAxFAyFCyFAx=9.2kN

FCx=9.2kNFCy=2.5kN解得：FAx帶入（a）式可求FBx40§3–4剛體系統(tǒng)的平衡例3、A，B，C，D處均為光滑鉸鏈，物塊重為G，通過繩子繞過滑輪水平地連接于桿AB的E點，各構(gòu)件自重不計，試求B處的約束力。41§3–4剛體系統(tǒng)的平衡解：1、取整體為研究對象2、受力分析3、列平衡方程1、取桿AB為研究對象3、列平衡方程聯(lián)立求解可得解得

一：2、受力分析如圖二：FAyFAxFCxFCyGFBxFAyFAxFByFE42§3–4剛體系統(tǒng)的平衡例4、如圖所示，已知重力G，DC=CE=AC=CB=2l；定滑輪半徑為R，動滑輪半徑為r，且R=2r=l,θ=45°。試求：A，E支座的約束力及BD桿所受的力。DⅡKCABEⅠG43§3–4剛體系統(tǒng)的平衡4、解平衡方程解：1、取整體為研究對象2、受力分析3、列平衡方程一：DⅡKCABEⅠFAGFExFEy44§3–4剛體系統(tǒng)的平衡1、取DEC為研究對象2、受力分析3、列平衡方程二：DⅡKCABEⅠG解平衡方程ECKDFKFEyFEx45§3–5平面靜定桁架的內(nèi)力分析一、概念桁架：一種由若干桿件彼此在兩端用鉸鏈連接而成，受力后幾何形狀不變的結(jié)構(gòu)。平面桁架：所有桿件都在同一平面內(nèi)的桁架。節(jié)點：桁架中桿件的鉸鏈接頭。桿件內(nèi)力：各桿件所承受的力。46§3–5平面靜定桁架的內(nèi)力分析桁架結(jié)構(gòu)47§3–5平面靜定桁架的內(nèi)力分析無余桿桁架：

如果從桁架中任意抽去一根桿件，則桁架就會活動變形，即失去形狀的固定性。48§3–5平面靜定桁架的內(nèi)力分析有余桿桁架：如果從桁架中抽去某幾根桿件，桁架不會活動變形，即不會失去形狀的固定性。49§3–5平面靜定桁架的內(nèi)力分析簡單平面桁架：以一個鉸鏈三角形框架為基礎，每增加一個節(jié)點需增加二根桿件，可以構(gòu)成無余桿的平面桁架。50§3–5平面靜定桁架的內(nèi)力分析二、桁架計算的常見假設1、桁架中的桿件都是直桿，并用光滑鉸鏈連接。2、桁架受的力都作用在節(jié)點上，并在桁架的平面內(nèi)。3、桁架的自重忽略不計，或被平均分配到桿件兩端的節(jié)點上，這樣的桁架稱為理想桁架。51§3–5平面靜定桁架的內(nèi)力分析桁架結(jié)構(gòu)的優(yōu)點

可以充分發(fā)揮材料的作用，減輕結(jié)構(gòu)的重量，節(jié)約材料。簡單平面桁架的靜定性

當簡單平面桁架的支座反力不多于3個時，求其桿件內(nèi)力的問題是靜定的，否則不靜定。52§3–5平面靜定桁架的內(nèi)力分析三、計算桁架桿件內(nèi)力的方法節(jié)點法——

應用共點力系平衡條件，逐一研究桁架上每個節(jié)點的平衡。截面法——

用應用平面任意力系的平衡條件，研究桁架由截面切出的某些部分的平衡。

53§3–5平面靜定桁架的內(nèi)力分析例1、如圖平面桁架，求各桿內(nèi)力。已知鉛垂力FC=4kN，水平力FE=2kN。aaaaFCACDBEFFEaaaaFCABDCEFFEFAyFBFAx解：節(jié)點法1、取整體為研究對象2、受力分析如圖54§3–5平面靜定桁架的內(nèi)力分析3、列平衡方程4、聯(lián)立求解

FAx=－2kN

FAy=2kN

FB=2kNaaaaFCABDCEFFEFAyFBFAx55§3–5平面靜定桁架的內(nèi)力分析5、取節(jié)點A，受力分析如圖解得列平衡方程FAxFAyAFACFAFaaaaFCABDCEFFEFAyFBFAx56§3–5平面靜定桁架的內(nèi)力分析6、取節(jié)點F，受力分析如圖FFEFFAFFCF解得列平衡方程aaaaFCABDCEFFEFAyFBFAx57§3–5平面靜定桁架的內(nèi)力分析FCFFCAFCCFCDFCE7、取節(jié)點C，受力分析如圖列平衡方程解得aaaaFCABDCEFFEFAyFBFAx58§3–5平面靜定桁架的內(nèi)力分析FDEFDCDFDB8、取節(jié)點D，受力分析如圖列平