常微分方程邊值問題的試射法畢業(yè)論文

PAGEPAGE27南京師范大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）（2011屆）題目：常微分方程邊值問題的試射法學(xué)院：數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院專業(yè)：信息與計(jì)算科學(xué)姓名：學(xué)號(hào)：指導(dǎo)教師：目錄目錄 1常微分方程邊值問題的試射法 2摘要 2關(guān)鍵字 2Abstract 3Keyword 31.引言 42．二階常微分方程第一邊值問題 42.1二階常微分方程邊值問題的相關(guān)定理 42.2二階常微分方程第一邊值問題的算法 62.3使用上述算法求解 103.二階常微分方程第二，第三邊值問題 123.1二階常微分方程第二邊值問題算法思想和步驟 123.2二階常微分方程第三邊值問題算法思想和步驟 144.其余常用算法的概述 154.1Netwon法的概述 154.2二分法的概述 154.3三種方法的比較 165算法的改進(jìn) 166.致謝詞 177.參考文獻(xiàn) 17附錄1二階常微分方程第一邊值問題的試射法（割線法）程序（c++） 19附錄2英文文獻(xiàn)翻譯 22常微分方程邊值問題的試射法張曉飛06級(jí)3班信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)06070312摘要本論文給出了二階常微分方程邊值問題的相關(guān)概念及描述，重點(diǎn)討論了二階常微分方程第一邊值問題。并給出了二階常微分方程第一邊值問題解的存在唯一性定理，以及相關(guān)的定理證明。利用化邊值問題為初值問題的基本思想，給出了二階常微分方程第一，第二，第三邊值問題試射法及打靶法的基本思想和相關(guān)的算法步驟。給出了二階常微分方程第一邊值問題試射法的實(shí)例和程序，最后并對(duì)試射法進(jìn)行了些許的改進(jìn)。關(guān)鍵字常微分方程邊值問題試射法割線法牛頓法AbstractThispapergivesthedescriptionabouttherelatedconceptsofsecondorderordinarydifferentialequations,focusingonthefirstboundaryvalueproblemofsecondorderordinarydifferentialequations.Thengivesthefirstorderordinarydifferentialequationsboundaryvalueproblemanduniquenesstheoremandprovedthetheorems.AndIgivethebasicideaandtherelatedstepsofthealgorithmofshootingmethod,whichworkoutthefirst,secondandthirdboundaryvalueaboutthesecondorderordinarydifferentialequations,usingthebasicideaaboutusinginitialvalueprobleminsteadofboundaryvalueproblem.Igivesainstancesandaprogramaboutthefirstboundaryvalueproblemofsecondorderordinarydifferentialequations.Finally,Idoalittleimprovementabouttheshootingmethod.KeywordOrdinaryDifferentialEquationsshootingmethodSecantmethodNewton1.引言常微分方程邊值問題在應(yīng)用科學(xué)與工程技術(shù)中是經(jīng)常遇到的，由于邊值問題解的存在唯一性比初值問題復(fù)雜多，至今沒有很有效的解決方法，因此在解決邊值問題無論在理論還是在實(shí)際計(jì)算中都比初值問題麻煩。采用較好的計(jì)算格式來進(jìn)行計(jì)算，不僅可以提高解決問題的效率，更能提高應(yīng)用計(jì)算結(jié)果的精度，從而使之更能廣泛地應(yīng)用于科學(xué)工程領(lǐng)域。而常微分方程的試射法就是被廣泛采用的數(shù)學(xué)方法。2．二階常微分方程第一邊值問題二階常微分方程第一邊值問題（1）將問題（1）轉(zhuǎn)化為初值問題（2）的解在的值滿足或者其中為允許的誤差界。這樣，我們就把作為邊值問題（1）的近似解。顯然試射法最終將邊值問題化為初值問題，再利用相應(yīng)的方法求解初值問題。在此過程中最為重要的是找出最為合適的，盡可能多的減少計(jì)算步驟。2.1二階常微分方程邊值問題的相關(guān)定理2.1.1二階線性常微分方程解的存在唯一性定理（3）滿足（I），，在上連續(xù)；（II）>0,對(duì)。則邊值問題(3)的解存在唯一。由于非齊次問題的解等于其相應(yīng)的齊次問題的通解加上其本身的一個(gè)特解之和。對(duì)于二階線性邊值問題（3）的解可以用以下非齊次線性初值問題（4）的解和齊次線性初值問題的解來表述出來。（4）（5）證明：設(shè)是非齊次線性初值問題（4）的解，是齊次線性問題（5）的解，設(shè)就是二階非線性邊值問題的唯一解。2.1.2二階常微分方程解的存在唯一性定理設(shè)方程（1）的函數(shù)及，在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且（I）（II）在內(nèi)有界，即存在常數(shù)M，使得則邊值問題（1）的解存在唯一。2.2二階常微分方程第一邊值問題的算法2.2.1二屆常微分方程第一邊值問題的算法思想只要問題（2）的解在的值滿足或者，為允許誤差界。這樣，我們把作為邊值問題（1）的近似解。為此，可以采取逐次逼近法來實(shí)現(xiàn)。假設(shè)為邊值問題的解，我們估計(jì)的值為后，解決初值問題這樣得到的解為，并計(jì)算得到。一般，若或者，則把作為邊值問題（1）的近似解；否則必須調(diào)整，例如?。ǎ?，則在（2）中令，再求解此初值問題。設(shè)計(jì)算得它的解為，，若或，則作為邊值問題（1）的近似解。否則再修改。如此重復(fù)計(jì)算，直至或者時(shí)，便以作為邊值問題（1）的近似解yyxOab圖1參見圖1上面的積分曲線的過大，下面的積分曲線的過小。對(duì)于解高階的微分方程初值問題的數(shù)值法可以使用經(jīng)典四階Runge-Kutta方法求解。則問題關(guān)鍵是如何確定參數(shù)。當(dāng)，解得初值問題的解為。自然，我們希望從而，確定的問題可以歸結(jié)為求方程（6）的近似跟。（6）是一個(gè)非線性方程，可以使用二分法，割線法，Netwon法來求解，本文只采用割線法和二分法。2.2.2二階常微分方程的第一邊值問題算法過程經(jīng)典四階求解高階微分方程初值問題，即將高階化為一階常微分方程組的初值問題輸入：端點(diǎn)a，b；方程個(gè)數(shù)m；整數(shù)N；初值，，·····，。輸出：解在t的N+1個(gè)等距點(diǎn)的近似。Step1.；。Step2.對(duì)j=1，2，·····，m。Step3.輸出。Step4.對(duì)i=1，2，·····，N做Step5~11.Step5.對(duì)j=1，2，···，m。Step6.對(duì)j=1，2，···，m。Step7.對(duì)j=1，2，···，mStep8.對(duì)j=1，2，···，mStep9.對(duì)j=1，2，···，mStep10.。Step11.輸出。Step12.停機(jī)。二階常微分邊值問題的試射法（割線法）選取割線法來解問題（6）我們需要選取初始近似的和，由公式生成序列｛｝。按照割線法求得，直到為止，其中為允許的誤差界。因此，解邊值問題（1）的打靶法（由割線法確定參數(shù)，由經(jīng)典四階Runge-Kutta方法求解）的計(jì)算步驟如下：令。給定初始值，誤差容限，最大迭代次數(shù)。Step1.取，解初值問題（2）得解在的近似值：，·····，，（=）Step2.若則輸出，········，，作為初值問題（1）的解在，·····，，的近似值；停機(jī)。否則轉(zhuǎn)Step3。Step3.令，解初值問題（2）得解在的近似值：，·······，，（=）。Step4.若，則輸出，·······，，作為初值問題（1）的解在，·····，，的近似值；停機(jī)。否則轉(zhuǎn)Step5。Step5.對(duì)于k=2，3，·····，m做Step6~8Step6.由割線法公式計(jì)算；Step7.令，解初值問題（2）得解在（=1，·····N）的（近似）值：，·······，，（=）Step8.若，則輸出，·····，，作為初值問題（1）的解在，·····，，的近似值；停機(jī)。Step9.輸出（‘Methodfailed’）；停機(jī)。2.3使用上述算法求解2.3.1當(dāng)所取初始值為正數(shù)時(shí)初始輸入如圖1：圖1結(jié)果如表1：ix(i)數(shù)值解準(zhǔn)確解誤差00-0.3-0.301pi/20-0.311949732-0.3119499492.167E-072pi/10-0.316218321-0.3162186543.338E-0733pi/20-0.31270064-0.3127010073.675E-074pi/5-0.301483289-0.3014836243.35E-075pi/4-0.282842458-0.2828427132.55E-0763pi/10-0.257237127-0.2572372751.487E-0777pi/20-0.225297763-0.2252978023.98E-0882pi/5-0.187810794-0.18781075-4.41E-0899pi/20-0.145699244-0.145699174-7.05E-0810pi/2-0.1-0.10表1此時(shí)試射法中t的取值為：-0.09999343444一共計(jì)算3次。精確解與近似解的圖像如圖2：其中黑色曲線表示精確解，藍(lán)色曲線表示近似解。圖22.3.2當(dāng)所取初始值為負(fù)數(shù)時(shí)初始輸入如圖3：圖3結(jié)果如表2：ix(i)數(shù)值解準(zhǔn)確解誤差00-0.3-0.301pi/20-0.311949732-0.3119499492.167E-072pi/10-0.316218321-0.3162186543.338E-0733pi/20-0.31270064-0.3127010073.675E-074pi/5-0.301483289-0.3014836243.35E-075pi/4-0.282842458-0.2828427132.55E-0763pi/10-0.257237127-0.2572372751.487E-0777pi/20-0.225297763-0.2252978023.98E-0882pi/5-0.187810794-0.18781075-4.41E-0899pi/20-0.145699244-0.145699174-7.05E-0810pi/2-0.1-0.10表2此時(shí)試射法中t的取值為：-0.09999343444一共計(jì)算3次。精確解與近似解的圖像如圖4：其中黑色曲線表示精確解，藍(lán)色曲線表示近似解。圖43.二階常微分方程第二，第三邊值問題3.1二階常微分方程第二邊值問題算法思想和步驟（7）將問題（7）轉(zhuǎn)換為問題出邊值問題（8）（8）的解在的值滿足或者其中為允許的誤差界。這樣，我們就把作為邊值問題（7）的近似解。具體求解步驟如下：令。給定初始值，誤差容限，最大迭代次數(shù)。1.（1）取解初值問題（8）得到在，處的近似解（2）若則輸出：，········，，作為初值問題（1）的解在，·····，，的近似值；停機(jī)。2.（1）令，解初值問題（2）得解在的近似值（2）若則輸出：，·······，，作為初值問題（1）的解在，·····，，的近似值；停機(jī)。3.對(duì)做（1）用割線法計(jì)算得（2）令，解初值問題（2）得解在（=1，·····N）的（近似）值（3）若則輸出：，·····，，作為初值問題（1）的解在，·····，，的近似值；停機(jī)。3.2二階常微分方程第三邊值問題算法思想和步驟（9）將問題（9）轉(zhuǎn)換為問題出邊值問題（10）設(shè)（10）的解在的值滿足或者其中為允許的誤差界。這樣，我們就把作為邊值問題（10）的近似解。其試射法基本過程如下：選取參數(shù)，令。設(shè)，則由可以確定，從而得到初值問題（11）求初值問題（11）的解（2）把代入的左端得到。若，則為所求邊值問題的近似解；否則，則令設(shè)（用代替）解初值問題（11），求得解后再代入的左端得。（3）從，，，出發(fā)，由割線法產(chǎn)生，以代替解初值問題（10）確定，如此繼續(xù)執(zhí)行下去，得到序列,直到為止，為誤差容限。4.其余常用算法的概述4.1Netwon法的概述求解方程的一個(gè)根，利用牛頓法，我們只需選取一個(gè)，由公式生成序列，直到為止，為允許誤差界。具體算法步驟中，只需在求出的同時(shí)，求出。4.2二分法的概述由函數(shù)零點(diǎn)定理可知，只要連續(xù)函數(shù)，滿足，則在中一定一個(gè)點(diǎn)使得函數(shù)值為0。任取兩點(diǎn)，使得，再由公式生成序列，直到為止，為允許誤差界。在選取二分區(qū)間時(shí)可由下述定理確定具體區(qū)間定理：對(duì)于初值問題中及，在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，并且（I）（II）存在常數(shù)M，使得則初值問題的解關(guān)于嚴(yán)格單調(diào)增加。4.3三種方法的比較割線法：優(yōu)點(diǎn)：與牛頓法相比，割線法的每一步只要計(jì)算一次函數(shù)值，而牛頓法還需要計(jì)算導(dǎo)數(shù)值。因此在導(dǎo)數(shù)計(jì)算比較費(fèi)事或不可能的情況下，割線法則顯出其優(yōu)點(diǎn)。缺點(diǎn)：割線法的收斂階為1.618階，一般情況下比牛頓法的收斂速度慢。牛頓法：優(yōu)點(diǎn)：對(duì)于一般問題牛頓法的收斂階為2階，其收斂速度快。缺點(diǎn)：每一步除了要計(jì)算一次函數(shù)值外，還要計(jì)算導(dǎo)數(shù)值。二分法：優(yōu)點(diǎn)：直觀，簡(jiǎn)單，安全可靠，迭代速度也快。缺點(diǎn)：近似解的誤差下降速度不快，而且對(duì)于未知的方程，找到適當(dāng)?shù)暮褪沟?，不是那么容易?算法的改進(jìn)從上述內(nèi)容可以看到試射法的關(guān)鍵在于如何高效確定出數(shù)列，使得能在盡量短的時(shí)間中，求出方程的近似解。在確定時(shí)，關(guān)鍵分為兩步：找出一個(gè)適當(dāng)?shù)?；找出一個(gè)高效的公式，求出。由于二分法的近似解誤差下降速度不快，所以可以先用二分法找到一個(gè)，將此作為其他方法的?；蛘呖蓪⒃搯栴}轉(zhuǎn)化為無約束最優(yōu)化問題利用解無約束最優(yōu)化的問題的方法，來求解。6.致謝詞在這次畢業(yè)設(shè)計(jì)的整個(gè)過程中，雖然遇到了一些技術(shù)上的難題但在與老師、同學(xué)和網(wǎng)友的交流下都及時(shí)的解決了問題。其中魏虹老師認(rèn)真負(fù)責(zé)的工作態(tài)度，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神和深厚的理論水平都使我受益匪淺。她無論在理論上還是在實(shí)踐中，都給與我很大的幫助，使我得到不少的提高，這對(duì)于我以后的工作和學(xué)習(xí)都有一種巨大的幫助，感謝她耐心的輔導(dǎo)。我經(jīng)過幾個(gè)月的收集資料、閱讀文獻(xiàn)、寫作論文，終于順利完成了論文。我要感謝很多人，首先感謝學(xué)校和老師們，不僅為我們提供了良好的設(shè)施和學(xué)習(xí)環(huán)境，而且教給我們很多知識(shí)和做人的道理。還要感謝論文指導(dǎo)老師魏虹老師，從課題的選擇到最終完成，魏老師都始終給予我細(xì)心的指導(dǎo)和不懈的支持。魏老師認(rèn)真負(fù)責(zé)的工作態(tài)度，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神和深厚的理論水平都使我受益匪淺。她無論在理論上還是在實(shí)踐中，都給與我很大的幫助，使我得到不少的提高，這對(duì)于我以后的工作和學(xué)習(xí)都有一種巨大的幫助，感謝她耐心的輔導(dǎo)，在此謹(jǐn)向魏老師致以誠摯的謝意和崇高的敬意。還要感謝輔導(dǎo)員王?？岛陀魅A杰老師，多年來一直照顧我們的學(xué)習(xí)和生活。還要感謝在一起愉快地度過大學(xué)4年學(xué)習(xí)生活的各位同學(xué)，特別是我的室友們，正是由于你們的幫助和支持，我才能克服一個(gè)又一個(gè)的困難和疑惑，直至本文的順利完成。同時(shí)感謝我的同組成員，給予了我不少的幫助。最后我要感謝含辛茹苦培養(yǎng)我長大的父母，有你們才有今天的我。謝謝你們！通過此次論文，我學(xué)到很多知識(shí)。通過收集資料，增強(qiáng)了我的自學(xué)和動(dòng)手能力，通過論文寫作，不僅提高了我撰寫科技論文和技術(shù)報(bào)告的能力，而且培養(yǎng)了我的創(chuàng)新意識(shí)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)作風(fēng)。即將揮別我的學(xué)校、老師、同學(xué)，心里只有千萬不舍，但是對(duì)未來的路，我充滿了信心。最后，感謝在大學(xué)期間認(rèn)識(shí)我和我認(rèn)識(shí)的所有人，有你們伴隨，才使得我大學(xué)的生活如此豐富多彩，絢麗多姿！7.參考文獻(xiàn)【1】余德浩，湯華中.微分方程數(shù)值解法.科學(xué)出版社.2005【2】胡健偉，湯懷民.微分方程數(shù)值解法.科學(xué)出版社.1999【3】吳微.非線性拋物型方程廣義差分法的誤差估計(jì).計(jì)算數(shù)學(xué).1987【4】李榮華，馮果忱.微分方程數(shù)值解法.高等教育出版社.1988【5】李榮華，馮果忱.微分方程數(shù)值解法(第三版).高等教育出版社.1996【6】李慶陽，王能超，易大義.數(shù)值分析.北華中科技大學(xué)出版社.1986【7】姜禮尚，陳亞浙，劉西垣，易法槐.數(shù)學(xué)物理方程講義.高等教育出版社.2007【8】周順興.解拋物型偏微分方程的高精度差分格式.計(jì)算數(shù)學(xué).1982【9】StigLarsson,VidarThomée..Partialdifferentialequationswithnumericalmethods.科學(xué)出版社.2006【10】譚浩強(qiáng)等.C程序設(shè)計(jì).清華大學(xué)出版社.1999【11】錢能.C++程序設(shè)計(jì)教程（第二版）.清華大學(xué)出版社.2005【12】RichardL.Burden，J.DouglasFaires，NumericalAnalysis(SeventhEdi-tion)(影印版).高等教育出版社.2002【13】矢島信男，野木達(dá)夫.發(fā)展方程的數(shù)值解析.東京巖波書店.1977附錄1二階常微分方程第一邊值問題的試射法（割線法）程序（c++）#include<iostream>#include<cmath>#include<iomanip>#include<fstream>usingnamespacestd;doublef(doublea,doubleb,doublec){ returncos(a)+2*b+c;}voidfourRungeKutta0(doublea,doubleb,doubleN,doublec[2]){ doubleh,t; doublew[2]; doublek[4][2]; h=(b-a)/N; t=a; w[0]=c[0]; w[1]=c[1]; ofstreamfout("a.txt"); fout<<setprecision(10)<<w[0]<<endl; for(inti=0;i<N;i++) { k[0][0]=h*w[1]; k[0][1]=h*f(t,w[0],w[1]); k[1][0]=h*(w[1]+0.5*k[0][1]); k[1][1]=h*f(t+0.5*h,w[0]+0.5*k[0][0],w[1]+0.5*k[0][1]); k[2][0]=h*(w[1]+0.5*k[1][1]); k[2][1]=h*f(t+0.5*h,w[0]+0.5*k[1][0],w[1]+0.5*k[1][1]); k[3][0]=h*(w[1]+k[2][1]); k[3][1]=h*f(t+h,w[0]+k[2][0],w[1]+k[2][1]); w[0]=w[0]+(k[0][0]+2*k[1][0]+2*k[2][0]+k[3][0])/6.0; w[1]=w[1]+(k[0][1]+2*k[1][1]+2*k[2][1]+k[3][1])/6.0; t=a+(i+1)*h; fout<<w[0]<<endl;// cout<<"下一步"<<endl; }}doublefourRungeKutta(doublea,doubleb,doubleN,doublec[2]){ doubleh,t; doublew[2]; doublek[4][2]; h=(b-a)/N; t=a; w[0]=c[0]; w[1]=c[1];// cout<<"("<<t<<","<<w[0]<<","<<w[1]<<")"<<endl; for(inti=0;i<N;i++) { k[0][0]=h*w[1]; k[0][1]=h*f(t,w[0],w[1]); k[1][0]=h*(w[1]+0.5*k[0][1]); k[1][1]=h*f(t+0.5*h,w[0]+0.5*k[0][0],w[1]+0.5*k[0][1]); k[2][0]=h*(w[1]+0.5*k[1][1]); k[2][1]=h*f(t+0.5*h,w[0]+0.5*k[1][0],w[1]+0.5*k[1][1]); k[3][0]=h*(w[1]+k[2][1]); k[3][1]=h*f(t+h,w[0]+k[2][0],w[1]+k[2][1]); w[0]=w[0]+(k[0][0]+2*k[1][0]+2*k[2][0]+k[3][0])/6.0; w[1]=w[1]+(k[0][1]+2*k[1][1]+2*k[2][1]+k[3][1])/6.0; t=a+(i+1)*h;// cout<<"("<<t<<","<<w[0]<<","<<w[1]<<")"<<endl;// cout<<"下一步"<<endl; }returnw[0];}voidmain(){ doublea,b,tol,m,z,y; doubleN; doublec[2],t[100],d[100];// doublew[2];//d[100]中放置每次取一個(gè)t后得到的最后解w[0][N-1]cout<<"輸入a的值：a="; cin>>a; cout<<"輸入b的值：b="; cin>>b; cout<<"輸入初始t[0]：t[0]="; cin>>t[0]; cout<<"輸入最大迭代次數(shù)m：m="; cin>>m; cout<<"輸入誤差容限tol：tol="; cin>>tol; cout<<"輸入分割數(shù)N：N="; cin>>N; cout<<"輸入精確解在a點(diǎn)的值y：y="; cin>>y; cout<<"輸入精確解在b點(diǎn)的值z(mì)：z="; cin>>z; c[0]=y;c[1]=t[0]; cout<<setprecision(10)<<a<<endl; cout<<"t[0]="<<t[0]<<endl;d[0]=fourRungeKutta(a,b,N,c); cout<<"d[0]="<<d[0]<<endl; if(fabs(d[0]-z)<tol) { fourRungeKutta0(a,b,N,c); } else { t[1]=z/d[0]*t[0]; c[1]=t[1]; cout<<"t[1]="<<t[1]<<endl; d[1]=fourRungeKutta(a,b,N,c); cout<<"d[1]="<<d[1]<<endl; } if(fabs(d[1]-z)<tol) { fourRungeKutta0(a,b,N,c); } else { for(intk=2;k<=m;k++) { t[k]=t[k-1]-(d[1]-z)*(t[k-1]-t[k-2])/(d[1]-d[0]); c[1]=t[k]; d[k]=fourRungeKutta(a,b,N,c); cout<<"t[k]="<<t[k]<<endl; cout<<"d[k]="<<d[k]<<endl; if(fabs(d[k]-z)<tol) { cout<<"輸出了："<<endl; fourRungeKutta0(a,b,N,c); break; } } cout<<k; }}附錄2英文文獻(xiàn)翻譯英文：8.4AMaximumPrincipleWenowconsiderthegeneralizationofthemixedinitial-boundaryvalueproblemofSect.8.2whichallowsasourcetermandinhomogeneousboundaryconditions,i.e.,tofindsuchthat(8.34)Whereisaboundeddomaininandisafiniteintervalintime.Inordertoshowamaximumprincipleforthisproblemitisconvenienttointroducetheparabolicboundaryofastheset，i.e.,theboundaryofminustheinteriorofthetoppartofthisboundary,.Theorem8.6.Letubesmoothandassumethatin.Thenuattainsitsmaximumontheparabolicboundary.Proof.Ifthiswerenottrue,thenthemaximumwouldbeattainedeitherataninteriorpointoforatapointof,i.e.,atapoint,andwewouldhave.Insuchacase,forsufficientlysmall,thefunctionwouldalsotakeitsmaximumatapointin,since,forsmall,Byourassumptionwehavesincethat(8.35)Ontheotherhand,atthepoint,wherewtakesitsmaximum,wehaveandorsothatinbothcasesThisisacontradictionto(8.35)andthusshowsourclaim.Byconsideringthefunctions,itfollows,inparticular,thatasolutionofthehomogeneousheatequationattainsbothitsmaximumanditsminimumon,sothatinthiscase,with,,Fortheinhomogeneousequationonemayshowthefollowinginequality,theproofofwhichweleaveasanexercise,seeProblem8.7.Theorem8.7.Thesolutionof(8.34)satisfiesWhereristheradiusofaballcontaining.Asusualsucharesultshowsuniquenessandstabilityfortheinitial-boundaryvalueproblem.WeclosethissectionbyprovingtheuniquenessofaboundedsolutiontothepureinitialvalueproblemconsideredinSect.8.1.Theorem8.8.Theinitialvalueproblem(8.1)hasatmostonesolutionwhichisboundedin,whereTisarbitrary.Proof.Ifthereweretwosolutionsof(8.1),thentheirdifferencewouldbeasolutionwithinitialdatazero.Itsufficesthereforetoshowthattheonlyboundedsolutionuofisu=0,orthatandifisanarbitrarypointin,andisarbitrary,then.Weintroducetheauxiliaryfunctionandnotethat.LetnowThenSinceuisboundedwehaveonforsomeM.DefiningRby,wehave,if,And,forHencewemayapplyTheorem8.6withandconcludethatfor.Inparticular,atwehave,whichcompletestheproofofthetheorem.TheassumptionofTheorem8.8thatthesolutionsareboundedinmayberel