2021-2022學(xué)年山東省淄博市張店第五中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

2021-2022學(xué)年山東省淄博市張店第五中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是(

)A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】拋物線的應(yīng)用；直線的斜率；直線的圖象特征與傾斜角、斜率的關(guān)系；拋物線的簡單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)拋物線方程求得Q點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)過Q點(diǎn)的直線l方程與拋物線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)判別式大于等于0求得k的范圍．【解答】解：∵y2=8x，∴Q（﹣2，0）（Q為準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)），設(shè)過Q點(diǎn)的直線l方程為y=k（x+2）．∵l與拋物線有公共點(diǎn)，有解，∴方程組即k2x2+（4k2﹣8）x+4k2=0有解．∴△=（4k2﹣8）2﹣16k4≥0，即k2≤1．∴﹣1≤k≤1，故選C．【點(diǎn)評】本題主要考查了拋物線的應(yīng)用．涉及直線與拋物線的關(guān)系，常需要把直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理或判別式解決問題．2.“”是“直線與直線垂直”的（

）條件A．充分而不必要

B．必要而不充分

C．充要

D．既不充分也不必要參考答案：A略3.設(shè)全集，集合，，則為A．

B．

C.

D．參考答案：C4.若，則（

）A. B. C.-1 D.3參考答案：A【分析】由，可求出的值，所求式子可以寫成分母為1的形式，用進(jìn)行代換，分子、分母同時(shí)除以，然后把的值代入求值即可.【詳解】,,把代入，求得，故本題選A.【點(diǎn)睛】本題考查了兩角和的正切公式、正弦的二倍角公式,解決本題的關(guān)鍵是的代換，變成雙齊次方程，這樣便于求出值來.5.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若，則（）A.2 B.4 C.6 D.8參考答案：A【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和求得，再由等差數(shù)列的性質(zhì)得答案．【詳解】在等差數(shù)列{an}中，由，得，即＝4．又＝2，∴，∴=2，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，是基礎(chǔ)題．6.已知命題：函數(shù)在為增函數(shù)，：函數(shù)在為減函數(shù)，則在命題：，：，：和：中，真命題是（

）A、，

B、，

C、，

D、，參考答案：C略7.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若在直線上存在P，使線段PF1的中垂線過點(diǎn)F2，則橢圓離心率的取值范圍是（

）．A． B． C．

D．參考答案：D設(shè)，，，由線段的中垂線過點(diǎn)得，即，得，即，得，解得，故，故選D.8.已知集合，則A∩B=（

）A.[－3,1) B.[0,1) C.[1,2] D.(－3,2)參考答案：B【分析】解一元二次不等式求得集合，求三角函數(shù)值域求得集合，由此求得.【詳解】由解得.當(dāng)時(shí)，函數(shù)，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查含有的函數(shù)的值域的求法，考查集合交集概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.9.“”是“”的（

）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：A【分析】若,則,利用均值定理可得,則,進(jìn)而判斷命題之間的關(guān)系.【詳解】若,則,因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立,所以,因?yàn)?所以“”是“”的充分不必要條件,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查充分條件和必要條件的判定,考查利用均值定理求最值.10.如右圖,在多面體中,已知面是邊長為3的正方形,,,與面的距離為2,則該多面體的體積為（

）A.

B.5

C.6

D.參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.的展開式中的系數(shù)為_______（用數(shù)字填寫答案）.參考答案：40【分析】,根據(jù)的通項(xiàng)公式分r=3和r=2兩種情況求解即可.【詳解】，由展開式的通項(xiàng)公式可得：當(dāng)r=3時(shí)，展開式中的系數(shù)為；當(dāng)r=2時(shí)，展開式中的系數(shù)為，則的系數(shù)為80-40=40.故答案為：40．【點(diǎn)睛】（1）二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng).（2）求兩個(gè)多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng)，可先化簡或利用分類加法計(jì)數(shù)原理討論求解.12.已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)數(shù)根；關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，分別在區(qū)間與內(nèi)（1）若是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.（2）若是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.參考答案：略13.已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若存在，滿足，，則數(shù)列的公比為

．參考答案：2設(shè)等比數(shù)列公比為q，當(dāng)公比q=1時(shí)，，不滿足題意當(dāng)公比q≠1時(shí)，因?yàn)樗?，化簡得又因?yàn)樗?，代入化簡得即解得，所以，即m=2

14.已知，若，且方程有5個(gè)不同根，則的取值范圍為________參考答案：【分析】設(shè)，作出函數(shù)的圖象，由方程有個(gè)不同根轉(zhuǎn)化為二次方程的兩根，，并構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的零點(diǎn)分布，得出，結(jié)合，可作出關(guān)于、的不等式組，作出可行域，將視為可行域中的點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合圖象可得出答案.【詳解】作出函數(shù)的圖象如下圖所示：設(shè)，則方程有個(gè)不同根轉(zhuǎn)化二次方程的兩根，，構(gòu)造函數(shù)，可得不等式，即，結(jié)合，作出圖形如下圖所示，不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)檫呴L為的正方形，不等式組表示的區(qū)域?yàn)橄聢D中的陰影部分（不包括軸），代數(shù)式視為可行域中的點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，結(jié)合圖形可知，取值范圍是，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，涉及二次函數(shù)零點(diǎn)分布、線性規(guī)劃以及點(diǎn)到直線的距離，解題的關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)零點(diǎn)的分布，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.15.已知直線與平面區(qū)域C:的邊界交于A，B兩點(diǎn)，若，則的取值范圍是________.參考答案：不等式對應(yīng)的區(qū)域?yàn)?，因?yàn)橹本€的斜率為1，由圖象可知，要使，則，即的取值范圍是。16.已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)也在圓上，則。參考答案：17.經(jīng)過圓的圓心，并且與直線垂直的直線方程是

．參考答案：試題分析：由題設(shè)可知圓心的坐標(biāo)為,所求直線的斜率為,則所求直線的方程為,即.考點(diǎn)：直線與圓的方程．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（13分）數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=an+c?2n（c是常數(shù)，n=1，2，3…），且a1，a2，a3成公比不為1的等比數(shù)列．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求{an}的通項(xiàng)公式．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【分析】（Ⅰ）由遞推式表示出a2，a3，由a1，a2，a3成等比數(shù)列可得關(guān)于c的方程，解出即得c值，注意檢驗(yàn)；（Ⅱ）利用累加法可求得an，注意檢驗(yàn)n=1時(shí)是否滿足an；【解答】解：（Ⅰ）a1=2，a2=2+2c，a3=2+6c，∵a1，a2，a3成等比數(shù)列，∴（2+2c）2=2（2+6c），解得c=0或c=1．當(dāng)c=0時(shí)，a1=a2=a3，不符合題意舍去，故c=1．（2）∵an+1=an+2n，∴a2=a1+21，a3=a2+22，a4=a3+23，…，an=an﹣1+2n﹣1，累加可得an=a1+2+21+22+…+2n﹣1=2+=2n，當(dāng)n=1時(shí)，也滿足，故{an}的通項(xiàng)公式an=2n，（n∈N*）【點(diǎn)評】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、用遞推式、累加法求通項(xiàng)公式等知識，屬中檔題．19.已知函數(shù)f（x）=alnx+x2﹣ax（a為常數(shù)）．（Ⅰ）試討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x1，x2．不等式f（x1）+f（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，求λ的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）根據(jù)f（x1）+f（x2）=a（lna﹣a﹣1），得到=lna﹣a﹣1，a∈（4，+∞），令φ（a）=lna﹣a﹣1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出λ的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=+x﹣a=（x＞0），①當(dāng)a＜0時(shí)，解f′（x）=0得，x=，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，），單調(diào)增區(qū)間為（，+∞）；

②當(dāng)0≤a≤4時(shí)，x2﹣ax+a=0的△=a2﹣4a≤0，所以f′（x）≥0，f（x）的增區(qū)間為（0，+∞），無減區(qū)間；

③當(dāng)a＞4時(shí)，△=a2﹣4a＞0，解f′（x）=0得，x1，2=，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，），（，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（，）．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，設(shè)為x1，x2，則a＞4，x1+x2=a，x1x2=a故f（x1）+f（x2）=alnx1+﹣ax1+alnx2+﹣ax2=aln（x1x2）+（+）﹣a（x1+x2）=aln（x1x2）+（x1+x2）2﹣x1x2﹣a（x1+x2）=a（lna﹣a﹣1）于是=lna﹣a﹣1，a∈（4，+∞）．令φ（a）=lna﹣a﹣1，則φ′（a）=﹣．因?yàn)閍＞4，所以φ′（a）＜0．于是φ（a）=lna﹣a﹣1在（4，+∞）上單調(diào)遞減，因此=φ（a）＜φ（4）=ln4﹣3．且可無限接近ln4﹣3．又因?yàn)閤1+x2＞0，故不等式f（x1）+f（x2）＜λ（x1+x2）等價(jià)于＜λ，所以λ的最小值為ln4﹣3．20.（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率為，是上一點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是分別關(guān)于兩坐標(biāo)軸及坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，平行于的直線交于異于的兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，證明：直線與軸圍成的三角形是等腰三角形.參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.（2）由題設(shè)知的坐標(biāo)分別為.因此直線的斜率為.設(shè)直線的方程為：.由得：，當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，于是，，分別設(shè)直線的斜率為，則，則要證直線與軸圍成的三角形是等腰三角形，只需證，而，所以直線與軸圍成的三角形是等腰三角形.考點(diǎn)：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線與橢圓的位置關(guān)系.21.（本題滿分14分）本題共有2小題，第（1）小題滿分7分，第（2）小題滿分7分．為了保護(hù)環(huán)境，某工廠在國家的號召下，把廢棄物回收轉(zhuǎn)化為某種產(chǎn)品，經(jīng)測算，處理成本（萬元）與處理量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為：，且每處理一噸廢棄物可得價(jià)值為萬元的某種產(chǎn)品，同時(shí)獲得國家補(bǔ)貼萬元．（1）當(dāng)時(shí)，判斷該項(xiàng)舉措能否獲利？如果能獲利，求出最大利潤；如果不能獲利，請求出國家最少補(bǔ)貼多少萬元，該工廠才不會虧損？（2）當(dāng)處理量為多少噸時(shí)，每噸的平均處理成本最少？

參考答案：（1）根據(jù)題意得，利潤和處理量之間的關(guān)系：

…………2分，.∵，在上為增函數(shù)，可求得.

………………5分∴國家只需要補(bǔ)貼萬元，該工廠就不會虧損．

………………7分（2）設(shè)平均處理成本為

………………9分，

……………11分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，由得．因此，當(dāng)處理量為噸時(shí)，每噸的處理成本最少為萬元．

…………14分22.如圖，在四棱錐B-ACDE中，正方形ACDE所在平面與正△ABC所在平面垂直，M，N分別為BC，AE的中點(diǎn)，F(xiàn)在棱CD上．(1)證明：MN∥平面BDE．(2)已知，點(diǎn)M到AF的距離為，求三棱錐的體積．參考答案：(1)證明見解析；(2)【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，；根據(jù)線面平行的判定定理可分別證得平面和平面；根據(jù)面面平行判定定理得平面平面，利用面面平行性質(zhì)可證得結(jié)論；（2）根據(jù)面面垂直性質(zhì)可知平面，由線面垂直性質(zhì)可得；根據(jù)等邊三角形三線合一可知；根據(jù)線面垂直判定定理知平面，從而得到；設(shè)，表示出三邊，利用面積橋構(gòu)造方程可求得；利用體積橋，可知，利用三棱錐體積公式求得結(jié)果.【詳解】（1）取