高中數(shù)學 基本不等式 新人教A必修5

3.4基本不等式（一）.

欣賞體會豐富自我2002年國際數(shù)學家大會會標這是在北京召開的第２４屆國際數(shù)學家大會會標．會標根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計。顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。.國際數(shù)學家大會國際數(shù)學家大會（簡稱ICM）是國際數(shù)學界四年一度的大集會.首次會議于1897年在瑞士蘇黎世舉行.每次國際數(shù)學家大會的開幕式上，由國際數(shù)學聯(lián)合會領導人宣布該屆菲爾茲獎獲獎者名單，頒發(fā)金質(zhì)獎章和獎金，并由他人分別在大會上報告獲獎者的工作。

欣賞體會豐富自我.

數(shù)學家的最高榮譽──菲爾茲獎獎章正面是阿基米德頭像,并用拉丁文寫有：“超越人類極限，做宇宙主人”的格言獎章的背面用拉丁文寫著“全世界的數(shù)學家們：為知識作出新的貢獻而自豪”

欣賞體會豐富自我.從1983年召開的國際數(shù)學家大會開始，同時頒發(fā)獎勵信息科學方面的奈望林納獎。

1998年在德國柏林舉行的第23屆國際數(shù)學家大會上，國際數(shù)學家聯(lián)合會決定設置高斯獎這一獎項。

欣賞體會豐富自我.高斯獎獎章

欣賞體會豐富自我.陳省身獎將于2010年在印度舉行的27屆國際數(shù)學家大會上首次頒發(fā)?！瓣愂∩愍劇笔菄H數(shù)學聯(lián)盟第一個以華人命名的數(shù)學大獎。

欣賞體會豐富自我.

數(shù)學是思維的體操

abRt△的面積和是S’=＿＿如圖,正方形ABCD的面積為S=________，趙爽弦圖易知，s≥s’,即等號何時成立？.ADBCEFGHba一般地，對于任意實數(shù)a、b，有當且僅當a=b時，等號成立。ACBE(FGH)abD會得到什么？

數(shù)學是思維的體操

.當且僅當a=b時，等號成立。基本不等式：注意：兩個不等式的適用范圍不同,而等號成立的條件相同.幾何平均數(shù)算術平均數(shù)

數(shù)學是思維的體操

.ABCDE如圖,AB是圓的直徑，C是AB上任一點，AC=a,CB=b,過點C作垂直于AB的弦DE，連AD,BD,則CD=＿＿,半徑為＿＿你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?

數(shù)學是思維的體操

.剖析公式應用兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).⑴a、b是兩個正數(shù).⑵當且僅當a=b時“＝”號成立’2。正用、逆用，注意成立的條件3。變形用1.基本不等式可以敘述為:

深入探究揭示本質(zhì).例1、（1）用籬笆圍一個面積為100m2的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短。最短籬笆是多少？（2）一段長為36m的籬笆圍成一矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大。最大面積是多少？

學以致用.1.兩個正數(shù)的和為定值時，它們的積有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M為定值，則

ab≤

2.兩個

正數(shù)的積為

定值時，它們的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P為定值，則a＋b≥，

等號當且僅當a＝b時成立.

反思探究例1

勤于總結(jié)敢于創(chuàng)新15等號當且僅當a＝b時成立.

13.例2、某工廠要建造一個長方形無蓋貯水池，其容積為4800立方米，深為3米，如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元，怎樣設計水池能使總造價最低？最低總造價是多少？

學以致用.

鞏固練習

跳起來摘下豐收果x＞0,當x取何值時，的值最?。孔钚≈凳嵌嗌?？已知直角三角形的面積等于50，兩條直角邊各為多少時,兩條直角邊的和最小，最小值是多少？用20cm長的鐵絲折成一個面積最大的矩形，應怎樣折？.

小結(jié)評價

你會了嗎？1。本節(jié)課主要學習了基本不等式的證明與初步應用。

巔峰回眸豁然開朗2。注意公式的正用、逆用、變形使用。3。牢記公式特征“正”、“定”、“等”，它在求最值的題型中綻放絢麗的光彩。4。我們積累了知識,于枯燥中見奇,于迷茫之中得豁朗。懂得靈活運用公式樂在成功之中，就能領略到公式平靜的美。.3.4基本不等式（二）.例1.(1)已知并指出等號成立的條件.(2)已知與2的大小關系,并說明理由.(3)已知能得到什么結(jié)論?請說明理由.應用一：利用基本不等式判斷代數(shù)式的大小關系

學以致用.練習2：若，則（）（1）（2）（3）B練習1：設a>0，b>0，給出下列不等式其中成立的是

等號能成立的是

。（1）（2）（3）(4)

學以致用.應用二：解決最大（小）值問題

例2、已知都是正數(shù)，求證（1）如果積是定值P，那么當時，和有最小值（2）如果和是定值S，那么當時，積有最大值（1）一正：各項均為正數(shù)（2）二定：兩個正數(shù)積為定值，和有最小值。兩個正數(shù)和為定值，積有最大值。（3）三相等：求最值時一定要考慮不等式是否能取“＝”，否則會出現(xiàn)錯誤小結(jié)：利用求最值時要注意：

學以致用.2、已知則xy的最大值是

。1、當x>0時，的最小值為

，此時x=

。21

3、若實數(shù)，且，則的最小值是（）A、10B、C、D、D

學以致用.4、在下列函數(shù)中，最小值為2的是（）

A、B、C、D、C

學以致用.例3、求函數(shù)的最小值構造積為定值，利用基本不等式求最值思考：求函數(shù)的最小值

學以致用.例4、

已知：0＜x＜，求函數(shù)y=x（1-3x）的最大值利用二次函數(shù)求某一區(qū)間的最值分析一、原函數(shù)式可化為：y=-3x2+x，分析二、挖掘隱含條件即x=時ymax=∵3x+1-3x=1為定值，且0＜x＜則1-3x＞0；∵0＜x＜，∴1-3x＞0∴y=x（1-3x）=3x（1-3x）≤

當且僅當3x=1-3x

可用均值不等式法構造和為定值，利用基本不等式求最值.變式一：已知：0＜x，求函數(shù)y=x（1-3x）的最大值解：∵0＜x≤∴1-3x＞0∴y=x（1-3x）=3x（1-3x）≤

如此解答行嗎？上題中只將條件改為0<x<1/8,即:

學以致用.(4)

學以致用.錯題糾正：例5、已知正數(shù)x、y滿足2x+y=1，求的最小值錯解:即的最小值為過程中兩次運用了均值不等式中取“=”號過渡，而這兩次取“=”號的條件是不同的，故結(jié)果錯。錯因：

學以致用.已知正數(shù)x、y滿足2x+y=1，求的最小值解:當且僅當即:時取“=”號即此時正確解答是:

學以致用.)(.34,0,0,0,0.2)(),(1.12222224442cbaabccacbbacbaacadbcbdbcaddcbabayxRyxybxaba++3++3++3+++>>>>+3+?=++證明：求證：已知求證：，是正數(shù)，且、已知應用三利用基本不等式證明

學以致用.1、設且a+b=3,求２a＋２b的最小值___。

作業(yè)：（寫出過程）3、若，則函數(shù)的最小值是____。2、求函數(shù)