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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)全集U=R,集合,則()A. B. C. D.2.已知集合,則()A. B.C. D.3.由曲線y=x2與曲線y2=x所圍成的平面圖形的面積為()A.1 B. C. D.4.已知m為實數(shù),直線:,:,則“”是“”的()A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件5.復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位),則的虛部為()A. B. C. D.6.中心在原點,對稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線的兩條漸近線與圓都相切,則雙曲線的離心率是()A.2或 B.2或 C.或 D.或7.已知函數(shù),若方程恰有兩個不同實根,則正數(shù)m的取值范圍為()A. B.C. D.8.將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位長度后,得到函數(shù)的圖象,則“”是“是偶函數(shù)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.函數(shù)的圖象的大致形狀是()A. B. C. D.10.如圖,在矩形中的曲線分別是,的一部分,,,在矩形內(nèi)隨機取一點,若此點取自陰影部分的概率為,取自非陰影部分的概率為,則()A. B. C. D.大小關(guān)系不能確定11.金庸先生的武俠小說《射雕英雄傳》第12回中有這樣一段情節(jié),“……洪七公道:肉只五種,但豬羊混咬是一般滋味,獐牛同嚼又是一般滋味,一共有幾般變化,我可算不出了”.現(xiàn)有五種不同的肉,任何兩種(含兩種)以上的肉混合后的滋味都不一樣,則混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為()A.20 B.24 C.25 D.2612.設(shè)復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.拋物線上到其焦點距離為5的點有_______個.14.曲線在點處的切線方程為__.15.《九章算術(shù)》中記載了“今有共買豕,人出一百,盈一百;人出九十,適足。問人數(shù)、豕價各幾何?”.其意思是“若干個人合買一頭豬,若每人出100,則會剩下100;若每人出90,則不多也不少。問人數(shù)、豬價各多少?”.設(shè)分別為人數(shù)、豬價,則___,___.16.經(jīng)過橢圓中心的直線與橢圓相交于、兩點(點在第一象限),過點作軸的垂線,垂足為點.設(shè)直線與橢圓的另一個交點為.則的值是________________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某客戶準(zhǔn)備在家中安裝一套凈水系統(tǒng),該系統(tǒng)為二級過濾,使用壽命為十年如圖所示兩個二級過濾器采用并聯(lián)安裝,再與一級過濾器串聯(lián)安裝.其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實現(xiàn)在使用過程中,一級濾芯和二級濾芯都需要不定期更換(每個濾芯是否需要更換相互獨立).若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯,則一級濾芯每個160元,二級濾芯每個80元.若客戶在使用過程中單獨購買濾芯則一級濾芯每個400元,二級濾芯每個200元.現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯的數(shù)量,為此參考了根據(jù)100套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內(nèi)更換濾芯的相關(guān)數(shù)據(jù)制成的圖表,其中表1是根據(jù)100個一級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的頻數(shù)分布表,圖2是根據(jù)200個二級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的條形圖.表1:一級濾芯更換頻數(shù)分布表一級濾芯更換的個數(shù)89頻數(shù)6040圖2:二級濾芯更換頻數(shù)條形圖以100個一級過濾器更換濾芯的頻率代替1個一級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率,以200個二級過濾器更換濾芯的頻率代替1個二級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率.(1)求一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16的概率;(2)記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的二級濾芯總數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望;(3)記分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買的一級濾芯和二級濾芯的個數(shù).若,且,以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費用的期望值為決策依據(jù),試確定的值.18.(12分)已知橢圓與x軸負(fù)半軸交于,離心率.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)直線與橢圓C交于兩點,連接AM,AN并延長交直線x=4于兩點,若,直線MN是否恒過定點,如果是,請求出定點坐標(biāo),如果不是,請說明理由.19.(12分)已知函數(shù),曲線在點處的切線方程為.(Ⅰ)求,的值;(Ⅱ)若,求證:對于任意,.20.(12分)己知點,分別是橢圓的上頂點和左焦點,若與圓相切于點,且點是線段靠近點的三等分點.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;直線與橢圓只有一個公共點,且點在第二象限,過坐標(biāo)原點且與垂直的直線與圓相交于,兩點,求面積的取值范圍.21.(12分)如圖,三棱錐中,(1)證明:面面;(2)求二面角的余弦值.22.(10分)已知均為正實數(shù),函數(shù)的最小值為.證明:(1);(2).
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】
求出集合M和集合N,,利用集合交集補集的定義進行計算即可.【詳解】,,則,故選:A.【點睛】本題考查集合的交集和補集的運算,考查指數(shù)不等式和二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.2.B【解析】
先由得或,再計算即可.【詳解】由得或,,,又,.故選:B【點睛】本題主要考查了集合的交集,補集的運算,考查學(xué)生的運算求解能力.3.B【解析】
首先求得兩曲線的交點坐標(biāo),據(jù)此可確定積分區(qū)間,然后利用定積分的幾何意義求解面積值即可.【詳解】聯(lián)立方程:可得:,,結(jié)合定積分的幾何意義可知曲線y=x2與曲線y2=x所圍成的平面圖形的面積為:.本題選擇B選項.【點睛】本題主要考查定積分的概念與計算,屬于中等題.4.A【解析】
根據(jù)直線平行的等價條件,求出m的值,結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.【詳解】當(dāng)m=1時,兩直線方程分別為直線l1:x+y﹣1=0,l2:x+y﹣2=0滿足l1∥l2,即充分性成立,當(dāng)m=0時,兩直線方程分別為y﹣1=0,和﹣2x﹣2=0,不滿足條件.當(dāng)m≠0時,則l1∥l2?,由得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2,由得m≠2,則m=1,即“m=1”是“l(fā)1∥l2”的充要條件,故答案為:A【點睛】(1)本題主要考查充要條件的判斷,考查兩直線平行的等價條件,意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)本題也可以利用下面的結(jié)論解答,直線和直線平行,則且兩直線不重合,求出參數(shù)的值后要代入檢驗看兩直線是否重合.5.C【解析】
,分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由已知,,故的虛部為.故選:C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算,考查學(xué)生的基本運算能力,是一道基礎(chǔ)題.6.A【解析】
根據(jù)題意,由圓的切線求得雙曲線的漸近線的方程,再分焦點在x、y軸上兩種情況討論,進而求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)雙曲線C的漸近線方程為y=kx,是圓的切線得:,得雙曲線的一條漸近線的方程為∴焦點在x、y軸上兩種情況討論:
①當(dāng)焦點在x軸上時有:②當(dāng)焦點在y軸上時有:∴求得雙曲線的離心率2或.
故選:A.【點睛】本小題主要考查直線與圓的位置關(guān)系、雙曲線的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想.解題的關(guān)鍵是:由圓的切線求得直線的方程,再由雙曲線中漸近線的方程的關(guān)系建立等式,從而解出雙曲線的離心率的值.此題易忽視兩解得出錯誤答案.7.D【解析】
當(dāng)時,函數(shù)周期為,畫出函數(shù)圖像,如圖所示,方程兩個不同實根,即函數(shù)和有圖像兩個交點,計算,,根據(jù)圖像得到答案.【詳解】當(dāng)時,,故函數(shù)周期為,畫出函數(shù)圖像,如圖所示:方程,即,即函數(shù)和有兩個交點.,,故,,,,.根據(jù)圖像知:.故選:.【點睛】本題考查了函數(shù)的零點問題,確定函數(shù)周期畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.8.A【解析】
求出函數(shù)的解析式,由函數(shù)為偶函數(shù)得出的表達式,然后利用充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位長度,得到的圖象對應(yīng)函數(shù)的解析式為,若函數(shù)為偶函數(shù),則,解得,當(dāng)時,.因此,“”是“是偶函數(shù)”的充分不必要條件.故選:A.【點睛】本題考查充分不必要條件的判斷,同時也考查了利用圖象變換求三角函數(shù)解析式以及利用三角函數(shù)的奇偶性求參數(shù),考查運算求解能力與推理能力,屬于中等題.9.B【解析】
根據(jù)函數(shù)奇偶性,可排除D;求得及,由導(dǎo)函數(shù)符號可判斷在上單調(diào)遞增,即可排除AC選項.【詳解】函數(shù)易知為奇函數(shù),故排除D.又,易知當(dāng)時,;又當(dāng)時,,故在上單調(diào)遞增,所以,綜上,時,,即單調(diào)遞增.又為奇函數(shù),所以在上單調(diào)遞增,故排除A,C.故選:B【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象,導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)圖象關(guān)系,屬于中檔題.10.B【解析】
先用定積分求得陰影部分一半的面積,再根據(jù)幾何概型概率公式可求得.【詳解】根據(jù)題意,陰影部分的面積的一半為:,于是此點取自陰影部分的概率為.又,故.故選B.【點睛】本題考查了幾何概型,定積分的計算以及幾何意義,屬于中檔題.11.D【解析】
利用組合的意義可得混合后所有不同的滋味種數(shù)為,再利用組合數(shù)的計算公式可得所求的種數(shù).【詳解】混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為(種),故選:D.【點睛】本題考查組合的應(yīng)用,此類問題注意實際問題的合理轉(zhuǎn)化,本題屬于容易題.12.D【解析】
先把變形為,然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,求出,得到其坐標(biāo)可得答案.【詳解】解:由,得,所以,其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為,在第四象限故選:D【點睛】此題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.2【解析】
設(shè)符合條件的點,由拋物線的定義可得,即可求解.【詳解】設(shè)符合條件的點,則,所以符合條件的點有2個.故答案為:2【點睛】本題考查拋物線的定義的應(yīng)用,考查拋物線的焦半徑.14.【解析】
對函數(shù)求導(dǎo)后,代入切點的橫坐標(biāo)得到切線斜率,然后根據(jù)直線方程的點斜式,即可寫出切線方程.【詳解】因為,所以,從而切線的斜率,所以切線方程為,即.故答案為:【點睛】本題主要考查過曲線上一點的切線方程的求法,屬基礎(chǔ)題.15.10900【解析】
由題意列出方程組,求解即可.【詳解】由題意可得,解得.故答案為10900【點睛】本題主要考查二元一次方程組的解法,用消元法來求解即可,屬于基礎(chǔ)題型.16.【解析】
作出圖形,設(shè)點,則、,設(shè)點,利用點差法得出,利用斜率公式得出,進而可得出,可得出,由此可求得的值.【詳解】設(shè)點,則、,設(shè)點,則,兩式相減得,即,即,由斜率公式得,,,故,因此,.故答案為:.【點睛】本題考查橢圓中角的余弦值的求解,涉及了點差法與斜率公式的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中等題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)0.024;(2)分布列見解析,;(3)【解析】
(1)由題意可知,若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16,則該套凈水系統(tǒng)中一個一級過濾器需要更換8個濾芯,兩個二級過濾器均需要更換4個濾芯,而由一級濾芯更換頻數(shù)分布表和二級濾芯更換頻數(shù)條形圖可知,一級過濾器需要更換8個濾芯的概率為0.6,二級過濾器需要更換4個濾芯的概率為0.2,再由乘法原理可求出概率;(2)由二級濾芯更換頻數(shù)條形圖可知,一個二級過濾器需要更換濾芯的個數(shù)為4,5,6的概率分別為0.2,0.4,0.4,而的可能取值為8,9,10,11,12,然后求出概率,可得到的分布列及數(shù)學(xué)期望;(3)由,且,可知若,則,或若,則,再分別計算兩種情況下的所需總費用的期望值比較大小即可.【詳解】(1)由題意知,若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16,則該套凈水系統(tǒng)中一個一級過濾器需要更換8個濾芯,兩個二級過濾器均需要更換4個濾芯,設(shè)“一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16”為事件,因為一個一級過濾器需要更換8個濾芯的概率為0.6,二級過濾器需要更換4個濾芯的概率為0.2,所以.(2)由柱狀圖知,一個二級過濾器需要更換濾芯的個數(shù)為4,5,6的概率分別為0.2,0.4,0.4,由題意的可能取值為8,9,10,11,12,從而,,.所以的分布列為891011120.040.160.320.320.16(個).或用分?jǐn)?shù)表示也可以為89101112(個).(3)解法一:記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費用(單位:元)因為,且,1°若,則,(元);2°若,則,(元).因為,故選擇方案:.解法二:記分別表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買一級濾芯和二級濾芯所需費用(單位:元)1°若,則,的分布列為128016800.60.488010800.840.16該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買的各級濾芯所需總費用為(元);2°若,則,的分布列為800100012000.520.320.16(元).因為所以選擇方案:.【點睛】此題考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用,考查古典概型,考查運算求解能力,屬于中檔題.18.(1)(2)直線恒過定點,詳見解析【解析】
(1)依題意由橢圓的簡單性質(zhì)可求出,即得橢圓C的方程;(2)設(shè)直線的方程為:,聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可求得點的坐標(biāo),同理可求出點的坐標(biāo),根據(jù)的坐標(biāo)可求出直線的方程,將其化簡成點斜式,即可求出定點坐標(biāo).【詳解】(1)由題有,.∴,∴.∴橢圓方程為.(2)設(shè)直線的方程為:,則∴或,∴,同理,當(dāng)時,由有.∴,同理,又∴,當(dāng)時,∴直線的方程為∴直線恒過定點,當(dāng)時,此時也過定點..綜上:直線恒過定點.【點睛】本題主要考查利用橢圓的簡單性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,以及直線與橢圓的位置關(guān)系應(yīng)用,定點問題的求法等,意在考查學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運算能力,屬于難題.19.(Ⅰ),(Ⅱ)見解析【解析】
(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用切線方程求出切線的斜率及切點,利用函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)值為曲線切線的斜率及切點也在曲線上,列出方程組,求出,值;(2)首先將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù),即將不等式右邊式子左移,得,構(gòu)造函數(shù)并判斷其符號,這里應(yīng)注意的取值范圍,從而證明不等式.【詳解】解:(1)由于直線的斜率為,且過點,故即解得,.(2)由(1)知,所以.考慮函數(shù),,則.而,故當(dāng)時,,所以,即.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率,利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、和最值問題,以及不等式證明問題,考查了分析及解決問題的能力,其中,不等式問題中結(jié)合構(gòu)造函數(shù)實現(xiàn)正確轉(zhuǎn)換為最大值和最小值問題是關(guān)鍵.20.;.【解析】
連接,由三角形相似得,,進而得出,,寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;由得,,因為直線與橢圓相切于點,,解得,,因
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