高中數(shù)學(xué)人教B版第三章概率 學(xué)業(yè)分層測評19幾何概型

學(xué)業(yè)分層測評(十九)(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達標(biāo)]一、選擇題1.下列關(guān)于幾何概型的說法中，錯誤的是()A.幾何概型是古典概型的一種，基本事件都具有等可能性B.幾何概型中事件發(fā)生的概率與它的位置或形狀無關(guān)C.幾何概型在一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個D.幾何概型中每個結(jié)果的發(fā)生都具有等可能性【解析】幾何概型和古典概型是兩種不同的概率模型，故選A.【答案】A2.在圓心角為90°的扇形中，以圓心O為起點作射線OC，則使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率為()\f(1,3) \f(2,3)\f(1,4) \f(3,4)【解析】記M＝“射線OC使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”.如圖所示，作射線OD，OE使∠AOD＝30°，∠AOE＝60°.當(dāng)OC在∠DOE內(nèi)時，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°，此時的測度為度數(shù)30，所有基本事件的測度為直角的度數(shù)90.所以P(M)＝eq\f(30,90)＝eq\f(1,3).【答案】A3.在400毫升自來水中有一個大腸桿菌，今從中隨機取出2毫升水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)大腸桿菌的概率為()A.0.008 【解析】設(shè)問題轉(zhuǎn)化為與體積有關(guān)的幾何概型求解，概率為eq\f(2,400)＝.【答案】D4.在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點P，則△PBC的面積大于eq\f(S,4)的概率是()\f(1,4) \f(1,2)\f(3,4) \f(2,3)【解析】如圖所示，在邊AB上任取一點P，因為△ABC與△PBC是等高的，所以事件“△PBC的面積大于eq\f(S,4)”等價于事件“eq\f(|BP|,|AB|)＞eq\f(1,4)”.即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(△PBC的面積大于\f(S,4)))＝eq\f(|PA|,|BA|)＝eq\f(3,4).【答案】C5.已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機取一點P，使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為eq\f(1,2)，則eq\f(AD,AB)＝()\f(1,2) \f(1,4)\f(\r(3),2) \f(\r(7),4)【解析】由于滿足條件的點P發(fā)生的概率為eq\f(1,2)，且點P在邊CD上運動，根據(jù)圖形的對稱性當(dāng)點P在靠近點D的CD邊的eq\f(1,4)分點時，EB＝AB(當(dāng)點P超過點E向點D運動時，PB＞AB).設(shè)AB＝x，過點E作EF⊥AB交AB于點F，則BF＝eq\f(3,4)x.在Rt△FBE中，EF2＝BE2－FB2＝AB2－FB2＝eq\f(7,16)x2，即EF＝eq\f(\r(7),4)x，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(7),4).【答案】D二、填空題6.如圖3-3-3，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT落在60°角的終邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在∠xOT內(nèi)的概率為________.圖3-3-3【解析】記“射線OA落在∠xOT內(nèi)”為事件A.構(gòu)成事件A的區(qū)域最大角度是60°，所有基本事件對應(yīng)的區(qū)域最大角度是360°，所以由幾何概型的概率公式得P(A)＝eq\f(60°,360°)＝eq\f(1,6).【答案】eq\f(1,6)7.如圖3-3-4，長方體ABCD-A1B1C1D1中，有一動點在此長方體內(nèi)隨機運動，則此動點在三棱錐A-A1BD圖3-3-4【解析】設(shè)長、寬、高分別為a，b，c，則此點在三棱錐A-A1BD內(nèi)運動的概率P＝eq\f(\f(1,6)abc,abc)＝eq\f(1,6).【答案】eq\f(1,6)8.小波通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機地往單位圓內(nèi)投擲一點，若此點到圓心的距離大于eq\f(1,2)，則周末去看電影；若此點到圓心的距離小于eq\f(1,4)，則去打籃球；否則，在家看書.則小波周末不在家看書的概率為________.【導(dǎo)學(xué)號：25440056】【解析】記事件A＝“打籃球”，則P(A)＝eq\f(π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2,π×12)＝eq\f(1,16).記事件B＝“在家看書”，則P(B)＝eq\f(π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2,π×12)－P(A)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,16)＝eq\f(3,16).故P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16).【答案】eq\f(13,16)三、解答題9.(1)在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，過點A作一射線交線段BC于點M，求BM≤AB的概率；(2)在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，在線段BC上取一點M，求BM≤AB的概率.【解】(1)記“過點A作一射線交線段BC于點M，使BM≤AB”為事件Ω，由于是過點A作一射線交線段BC于點M，所以射線在∠BAC內(nèi)是等可能出現(xiàn)的，又當(dāng)AB＝BM時，∠BAM＝°，所以P(Ω)＝eq\f(d的測度,D的測度)＝eq\f°,90°)＝eq\f(3,4).(2)設(shè)AB＝AC＝1，則BC＝eq\r(2)，設(shè)“過點A作一射線交線段BC于點M，使BM≤AB”為事件Ω，則P(Ω)＝eq\f(d的測度,D的測度)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).10.一海豚在水池中自由游弋，水池為長30m，寬20m的長方形，求此刻海豚嘴尖離岸邊不超過2m的概率.【解】如圖，四邊形ABCD是長30m、寬20m的長方形.圖中的陰影部分表示事件A：“海豚嘴尖離岸邊不超過2m”.問題可化為求海豚嘴尖出現(xiàn)在陰影部分的概率.∵S長方形ABCD＝30×20＝600(m2)，S長方形A′B′C′D′＝(30－4)×(20－4)＝416(m2)，∴S陰影部分＝S長方形ABCD－S長方形A′B′C′D′＝600－416＝184(m2)，根據(jù)幾何概型的概率公式，得P(A)＝eq\f(184,600)＝eq\f(23,75)≈.[能力提升]1.(2023·南昌高一檢測)面積為S的△ABC，D是BC的中點，向△ABC內(nèi)部投一點，那么點落在△ABD內(nèi)的概率為()\f(1,3) \f(1,2)\f(1,4) \f(1,6)【解析】向△ABC內(nèi)部投一點的結(jié)果有無限個，屬于幾何概型.設(shè)點落在△ABD內(nèi)為事件M，則P(M)＝eq\f(△ABD的面積,△ABC的面積)＝eq\f(1,2).【答案】B2.已知一只螞蟻在邊長為4的正三角形內(nèi)爬行，則此螞蟻到三角形三個頂點的距離均超過1的概率為()－eq\f(\r(3)π,12) －eq\f(\r(3)π,24)\f(\r(3)π,12) \f(\r(3)π,24)【解析】設(shè)正三角形ABC的邊長為4，其面積為4eq\r(3).分別以A，B，C為圓心，1為半徑在△ABC中作扇形，除去三個扇形剩下的部分即表示螞蟻距三角形三個頂點的距離均超過1的區(qū)域，其面積為4eq\r(3)－3×eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×1＝4eq\r(3)－eq\f(π,2)，故所求概率P＝eq\f(4\r(3)－\f(π,2),4\r(3))＝1－eq\f(\r(3)π,24).【答案】B3.假設(shè)你在如圖3-3-5所示的圖形上隨機撒一粒黃豆，則它落到陰影部分(等腰三角形)的概率是________.圖3-3-5【解析】設(shè)A＝{黃豆落在陰影內(nèi)}，因為黃豆落在圖中每一個位置是等可能的，因此P(A)＝eq\f(S△ABC,S⊙O)，又△ABC為等腰直角三角形，設(shè)⊙O的半徑為r，則AC＝BC＝eq\r(2)r，所以S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝r2，S⊙O＝πr2，所以P(A)＝eq\f(r2,πr2)＝eq\f(1,π).【答案】eq\f(1,π)4.甲、乙兩家商場對同一種商品開展促銷活動，對購買該商品的顧客兩家商場的獎勵方案如下：圖3-3-6甲商場：顧客轉(zhuǎn)動如圖3-3-6所示圓盤，當(dāng)指針指向陰影部分(圖中四個陰影部分均為扇形，且每個扇形圓心角均為15°，邊界忽略不計)即為中獎.乙商場：從裝有3個白球3個紅球的盒子中一次性摸出2球(球除顏色外不加區(qū)分)，如果摸到的是2個紅球，即為中獎.問：購買該商品的顧客在哪家商場中獎的可能性大？【解】如果顧客去甲商場，試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為圓盤的面積πR2(R為圓盤的半徑)，陰影區(qū)域的面積為eq\f(4×15πR2,360)＝eq\f(πR2,6).∴在甲商場中獎的概率為P1＝eq\f(\f(πR2,6),πR2)＝eq\f(1,6).如果顧客去乙商場，記盒子中3個白球為a1，a2，a3,3個紅球為b1，b2，b3，記(x，y)為一次摸球的結(jié)果，則一切可能的結(jié)果有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1