高中數(shù)學(xué)人教B版第三章概率 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)19幾何概型

學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(十九)(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1.下列關(guān)于幾何概型的說法中，錯(cuò)誤的是()A.幾何概型是古典概型的一種，基本事件都具有等可能性B.幾何概型中事件發(fā)生的概率與它的位置或形狀無關(guān)C.幾何概型在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(gè)D.幾何概型中每個(gè)結(jié)果的發(fā)生都具有等可能性【解析】幾何概型和古典概型是兩種不同的概率模型，故選A.【答案】A2.在圓心角為90°的扇形中，以圓心O為起點(diǎn)作射線OC，則使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率為()\f(1,3) \f(2,3)\f(1,4) \f(3,4)【解析】記M＝“射線OC使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”.如圖所示，作射線OD，OE使∠AOD＝30°，∠AOE＝60°.當(dāng)OC在∠DOE內(nèi)時(shí)，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°，此時(shí)的測(cè)度為度數(shù)30，所有基本事件的測(cè)度為直角的度數(shù)90.所以P(M)＝eq\f(30,90)＝eq\f(1,3).【答案】A3.在400毫升自來水中有一個(gè)大腸桿菌，今從中隨機(jī)取出2毫升水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)大腸桿菌的概率為()A.0.008 【解析】設(shè)問題轉(zhuǎn)化為與體積有關(guān)的幾何概型求解，概率為eq\f(2,400)＝.【答案】D4.在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點(diǎn)P，則△PBC的面積大于eq\f(S,4)的概率是()\f(1,4) \f(1,2)\f(3,4) \f(2,3)【解析】如圖所示，在邊AB上任取一點(diǎn)P，因?yàn)椤鰽BC與△PBC是等高的，所以事件“△PBC的面積大于eq\f(S,4)”等價(jià)于事件“eq\f(|BP|,|AB|)＞eq\f(1,4)”.即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(△PBC的面積大于\f(S,4)))＝eq\f(|PA|,|BA|)＝eq\f(3,4).【答案】C5.已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點(diǎn)P，使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為eq\f(1,2)，則eq\f(AD,AB)＝()\f(1,2) \f(1,4)\f(\r(3),2) \f(\r(7),4)【解析】由于滿足條件的點(diǎn)P發(fā)生的概率為eq\f(1,2)，且點(diǎn)P在邊CD上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)圖形的對(duì)稱性當(dāng)點(diǎn)P在靠近點(diǎn)D的CD邊的eq\f(1,4)分點(diǎn)時(shí)，EB＝AB(當(dāng)點(diǎn)P超過點(diǎn)E向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)，PB＞AB).設(shè)AB＝x，過點(diǎn)E作EF⊥AB交AB于點(diǎn)F，則BF＝eq\f(3,4)x.在Rt△FBE中，EF2＝BE2－FB2＝AB2－FB2＝eq\f(7,16)x2，即EF＝eq\f(\r(7),4)x，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(7),4).【答案】D二、填空題6.如圖3-3-3，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT落在60°角的終邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在∠xOT內(nèi)的概率為________.圖3-3-3【解析】記“射線OA落在∠xOT內(nèi)”為事件A.構(gòu)成事件A的區(qū)域最大角度是60°，所有基本事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域最大角度是360°，所以由幾何概型的概率公式得P(A)＝eq\f(60°,360°)＝eq\f(1,6).【答案】eq\f(1,6)7.如圖3-3-4，長方體ABCD-A1B1C1D1中，有一動(dòng)點(diǎn)在此長方體內(nèi)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，則此動(dòng)點(diǎn)在三棱錐A-A1BD圖3-3-4【解析】設(shè)長、寬、高分別為a，b，c，則此點(diǎn)在三棱錐A-A1BD內(nèi)運(yùn)動(dòng)的概率P＝eq\f(\f(1,6)abc,abc)＝eq\f(1,6).【答案】eq\f(1,6)8.小波通過做游戲的方式來確定周末活動(dòng)，他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點(diǎn)，若此點(diǎn)到圓心的距離大于eq\f(1,2)，則周末去看電影；若此點(diǎn)到圓心的距離小于eq\f(1,4)，則去打籃球；否則，在家看書.則小波周末不在家看書的概率為________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：25440056】【解析】記事件A＝“打籃球”，則P(A)＝eq\f(π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2,π×12)＝eq\f(1,16).記事件B＝“在家看書”，則P(B)＝eq\f(π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2,π×12)－P(A)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,16)＝eq\f(3,16).故P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16).【答案】eq\f(13,16)三、解答題9.(1)在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，過點(diǎn)A作一射線交線段BC于點(diǎn)M，求BM≤AB的概率；(2)在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，在線段BC上取一點(diǎn)M，求BM≤AB的概率.【解】(1)記“過點(diǎn)A作一射線交線段BC于點(diǎn)M，使BM≤AB”為事件Ω，由于是過點(diǎn)A作一射線交線段BC于點(diǎn)M，所以射線在∠BAC內(nèi)是等可能出現(xiàn)的，又當(dāng)AB＝BM時(shí)，∠BAM＝°，所以P(Ω)＝eq\f(d的測(cè)度,D的測(cè)度)＝eq\f°,90°)＝eq\f(3,4).(2)設(shè)AB＝AC＝1，則BC＝eq\r(2)，設(shè)“過點(diǎn)A作一射線交線段BC于點(diǎn)M，使BM≤AB”為事件Ω，則P(Ω)＝eq\f(d的測(cè)度,D的測(cè)度)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).10.一海豚在水池中自由游弋，水池為長30m，寬20m的長方形，求此刻海豚嘴尖離岸邊不超過2m的概率.【解】如圖，四邊形ABCD是長30m、寬20m的長方形.圖中的陰影部分表示事件A：“海豚嘴尖離岸邊不超過2m”.問題可化為求海豚嘴尖出現(xiàn)在陰影部分的概率.∵S長方形ABCD＝30×20＝600(m2)，S長方形A′B′C′D′＝(30－4)×(20－4)＝416(m2)，∴S陰影部分＝S長方形ABCD－S長方形A′B′C′D′＝600－416＝184(m2)，根據(jù)幾何概型的概率公式，得P(A)＝eq\f(184,600)＝eq\f(23,75)≈.[能力提升]1.(2023·南昌高一檢測(cè))面積為S的△ABC，D是BC的中點(diǎn)，向△ABC內(nèi)部投一點(diǎn)，那么點(diǎn)落在△ABD內(nèi)的概率為()\f(1,3) \f(1,2)\f(1,4) \f(1,6)【解析】向△ABC內(nèi)部投一點(diǎn)的結(jié)果有無限個(gè)，屬于幾何概型.設(shè)點(diǎn)落在△ABD內(nèi)為事件M，則P(M)＝eq\f(△ABD的面積,△ABC的面積)＝eq\f(1,2).【答案】B2.已知一只螞蟻在邊長為4的正三角形內(nèi)爬行，則此螞蟻到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過1的概率為()－eq\f(\r(3)π,12) －eq\f(\r(3)π,24)\f(\r(3)π,12) \f(\r(3)π,24)【解析】設(shè)正三角形ABC的邊長為4，其面積為4eq\r(3).分別以A，B，C為圓心，1為半徑在△ABC中作扇形，除去三個(gè)扇形剩下的部分即表示螞蟻距三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過1的區(qū)域，其面積為4eq\r(3)－3×eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×1＝4eq\r(3)－eq\f(π,2)，故所求概率P＝eq\f(4\r(3)－\f(π,2),4\r(3))＝1－eq\f(\r(3)π,24).【答案】B3.假設(shè)你在如圖3-3-5所示的圖形上隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分(等腰三角形)的概率是________.圖3-3-5【解析】設(shè)A＝{黃豆落在陰影內(nèi)}，因?yàn)辄S豆落在圖中每一個(gè)位置是等可能的，因此P(A)＝eq\f(S△ABC,S⊙O)，又△ABC為等腰直角三角形，設(shè)⊙O的半徑為r，則AC＝BC＝eq\r(2)r，所以S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝r2，S⊙O＝πr2，所以P(A)＝eq\f(r2,πr2)＝eq\f(1,π).【答案】eq\f(1,π)4.甲、乙兩家商場(chǎng)對(duì)同一種商品開展促銷活動(dòng)，對(duì)購買該商品的顧客兩家商場(chǎng)的獎(jiǎng)勵(lì)方案如下：圖3-3-6甲商場(chǎng)：顧客轉(zhuǎn)動(dòng)如圖3-3-6所示圓盤，當(dāng)指針指向陰影部分(圖中四個(gè)陰影部分均為扇形，且每個(gè)扇形圓心角均為15°，邊界忽略不計(jì))即為中獎(jiǎng).乙商場(chǎng)：從裝有3個(gè)白球3個(gè)紅球的盒子中一次性摸出2球(球除顏色外不加區(qū)分)，如果摸到的是2個(gè)紅球，即為中獎(jiǎng).問：購買該商品的顧客在哪家商場(chǎng)中獎(jiǎng)的可能性大？【解】如果顧客去甲商場(chǎng)，試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閳A盤的面積πR2(R為圓盤的半徑)，陰影區(qū)域的面積為eq\f(4×15πR2,360)＝eq\f(πR2,6).∴在甲商場(chǎng)中獎(jiǎng)的概率為P1＝eq\f(\f(πR2,6),πR2)＝eq\f(1,6).如果顧客去乙商場(chǎng)，記盒子中3個(gè)白球?yàn)閍1，a2，a3,3個(gè)紅球?yàn)閎1，b2，b3，記(x，y)為一次摸球的結(jié)果，則一切可能的結(jié)果有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1