2021-2022學(xué)年河南省安陽市育才私立學(xué)校高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析

2021-2022學(xué)年河南省安陽市育才私立學(xué)校高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知實數(shù)a,b滿足,則函數(shù)存在極值的概率為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若函數(shù)無極值，則恒成立，即，即，作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示：則陰影部分的面積為，則由幾何概型的概率公式，可得函數(shù)無極值的概率為，所以函數(shù)有極值的概率為，故選A.

2.設(shè)函數(shù)且，則（

）A．1

B．2

C．3

D．6參考答案：C3.已知集合則（

）參考答案：A4.設(shè)，函數(shù)，則使的取值范圍是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A因為，所以要使，即.則，即，，所以，又，函數(shù)單調(diào)遞減，所以不等式的解為，選A.5.已知集合，集合（是自然對數(shù)的底數(shù)），則=

（

）A． B．

C． D．參考答案：A略6.已知函數(shù)是定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)，且當時成立（其中的導(dǎo)函數(shù)），若，，則的大小關(guān)系是

A．

B．

C．

D．參考答案：A7.設(shè)滿足約束條件，則的取值范圍是（）A．

B．

C．

D．參考答案：D8.如圖所示，正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長為1，E，F(xiàn)分別是棱AA′，CC′的中點，過直線E，F(xiàn)的平面分別與棱BB′、DD′交于M，N，設(shè)BM=x，x∈[0，1]，給出以下四個命題：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②當且僅當x=時，四邊形MENF的面積最??；③四邊形MENF周長L=f（x），x∈[0，1]是單調(diào)函數(shù)；④四棱錐C′﹣MENF的體積V=h（x）為常函數(shù)；以上命題中假命題的序號為（）A．①④ B．② C．③ D．③④參考答案：C【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】①利用面面垂直的判定定理去證明EF⊥平面BDD'B'．②四邊形MENF的對角線EF是固定的，所以要使面積最小，則只需MN的長度最小即可．③判斷周長的變化情況．④求出四棱錐的體積，進行判斷．【解答】解：①連結(jié)BD，B'D'，則由正方體的性質(zhì)可知，EF⊥平面BDD'B'，所以平面MENF⊥平面BDD'B'，所以①正確．②連結(jié)MN，因為EF⊥平面BDD'B'，所以EF⊥MN，四邊形MENF的對角線EF是固定的，所以要使面積最小，則只需MN的長度最小即可，此時當M為棱的中點時，即x=時，此時MN長度最小，對應(yīng)四邊形MENF的面積最?。寓谡_．③因為EF⊥MN，所以四邊形MENF是菱形．當x∈[0，]時，EM的長度由大變小．當x∈[，1]時，EM的長度由小變大．所以函數(shù)L=f（x）不單調(diào)．所以③錯誤．④連結(jié)C'E，C'M，C'N，則四棱錐則分割為兩個小三棱錐，它們以C'EF為底，以M，N分別為頂點的兩個小棱錐．因為三角形C'EF的面積是個常數(shù)．M，N到平面C'EF的距離是個常數(shù)，所以四棱錐C'﹣MENF的體積V=h（x）為常函數(shù)，所以④正確．所以四個命題中③假命題．所以選C．9.如圖所示，在邊長為1的正方形中任取一點，則點恰好取自陰影部分的概率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C10.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱,且當成立.若,,,則a,b,c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，在邊長為e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）的正方形中隨機撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為

．參考答案：【考點】幾何概型．【專題】綜合題；概率與統(tǒng)計．【分析】利用定積分計算陰影部分的面積，利用幾何概型的概率公式求出概率．【解答】解：由題意，y=lnx與y=ex關(guān)于y=x對稱，∴陰影部分的面積為2（e﹣ex）dx=2（ex﹣ex）=2，∵邊長為e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）的正方形的面積為e2，∴落到陰影部分的概率為．故答案為：．【點評】本題考查幾何概型，幾何概型的概率的值是通過長度、面積、和體積的比值得到．12.已知函數(shù)f（x）=，若函數(shù)g（x）=f（x）+k有三個零點，則k的取值范圍是．參考答案：（，0）考點：函數(shù)零點的判定定理．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：利用數(shù)形結(jié)合的思想，若函數(shù)g（x）=f（x）+k有三個零點，也就是f（x）=g（x）﹣k，即y=﹣k與f（x）有三個交點，只要求出f（x）的最小值即可．解答：解：如圖所示，∵f（x）=（x≥0）∴令f′（x）=0，則x=1，當0≤x＜1時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，當x＞1時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，∴當x=1時，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為f（1）=，∴﹣k=即k=，∴k的取值范圍是（，0）點評：本題考查了函數(shù)零點的問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．13.在平行四邊形中，，若將其沿折成直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為

參考答案：

14.若(為虛數(shù)單位)為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為

．參考答案：15.若對恒成立，且存在，使得成立，則m的取值范圍為

．參考答案：(－∞,6)以代入得，消去得，若，則單調(diào)遞增，，則.

16.已知，則_______.參考答案：因為，所以?！敬鸢浮俊窘馕觥?7.連續(xù)2次拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子（六個面上分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6的正方體），觀察向上的點數(shù)，則事件“點數(shù)之積是3的倍數(shù)”的概率為

．參考答案：總事件數(shù)為，目標事件：當?shù)谝活w骰子為1,2,4,6，具體事件有，共8種；當?shù)谝活w骰子為3,6，則第二顆骰子隨便都可以，則有種；所以目標事件共20中，所以。

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，CD1的中點，AA1=AD=1，AB=2．．（1）求證：EF∥平面BCC1B1；（2）求證：平面CD1E⊥平面D1DE；（3）在線段CD1上是否存在一點Q，使得二面角Q﹣DE﹣D1為45°，若存在，求的值，不存在，說明理由．

參考答案：【考點】平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．【分析】（1）過F作FM∥C1D1交CC1于M，連結(jié)BM，推導(dǎo)出EBMF是平行四邊形，從而EF∥BM，由此能證明EF∥平面BCC1B1．（2）推導(dǎo)出D1D⊥CE，CE⊥DE，從而CE⊥平面D1DE，由此能證明平面CD1E⊥平面D1DE．（3）以D為原點，DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立坐標系，利用向量法能求出線段CD1上存在一點Q，使得二面角Q﹣DE﹣D1為45°，且=．【解答】證明：（1）過F作FM∥C1D1交CC1于M，連結(jié)BM，∵F是CD1的中點，∴FM∥C1D1，F(xiàn)M=C1D1，（2分）又∵E是AB中點，∴BE∥C1D1，BE=C1D1，∴BE∥FM，BE=FM，EBMF是平行四邊形，∴EF∥BM又BM在平面BCC1B1內(nèi)，∴EF∥平面BCC1B1．（4分）（2）∵D1D⊥平面ABCD，CE在平面ABCD內(nèi)，∴D1D⊥CE在矩形ABCD中，DE2=CE2=2，∴DE2+CE2=4=CD2，（6分）∴△CED是直角三角形，∴CE⊥DE，∴CE⊥平面D1DE，∵CE在平面CD1E內(nèi)，∴平面CD1E⊥平面D1DE．（8分）解：（3）以D為原點，DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立坐標系，則C（0，2，0），E（1，1，0），D1（0，0，1）平面D1DE的法向量為=（﹣1，1，0），設(shè)=（0，2λ，﹣λ），（0＜λ＜1），則Q（0，2λ，1﹣λ），設(shè)平面DEQ的法向量為=（x，y，z），則，令y=1，則=（﹣1，1，），（10分）∵二面角Q﹣DE﹣D1為45°，∴cos45°===，由于0＜λ＜1，∴﹣1，∴線段CD1上存在一點Q，使得二面角Q﹣DE﹣D1為45°，且=．（12分）【點評】本題考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)和向量法的合理運用．19.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，.（1）求cosB；（2）若，求△ABC的面積.參考答案：（1）（2）【分析】（1）由正弦定理化簡可得，利用余弦定理即可得到的值。（2）結(jié)合（1）可得以及邊的長，利用面積公式即可得到答案?！驹斀狻拷猓海?）因為，所以，即.

又因為，所以.

（2）因為，所以.因為，在中，，所以

所以.【點睛】本題主要考查正弦定理的邊角互化以及余弦定理與面積公式，考查學(xué)生基本的計算能力，屬于基礎(chǔ)題。20.已知函數(shù)，曲線y=f（x）在點（e2，f（e2））處的切線與直線2x+y=0垂直（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．（Ⅰ）求f（x）的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）是否存在常數(shù)k，使得對于定義域內(nèi)的任意x，恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】（I）令f′（e2）=解出m，得出f（x）的解析式，令f′（x）＜0解出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；（II）分離參數(shù)得出k＞2x﹣2lnx（0＜x＜1）或k＜2x﹣2lnx（x＞1），分情況討論求出右側(cè)函數(shù)的最大值或最小值，從而得出k的范圍．【解答】解：（Ⅰ），∵曲線y=f（x）在點（e2，f（e2））處的切線與直線2x+y=0垂直，∴f′（e2）==，解得m=2，∴，∴，令f'（x）＜0解得：0＜x＜1或1＜x＜e，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1）和（1，e）．

（Ⅱ）∵恒成立，即，①當x∈（0，1）時，lnx＜0，則恒成立，令，則g′（x）=，再令，則h′（x）=＜0，所以h（x）在（0，1）內(nèi)遞減，所以當x∈（0，1）時，h（x）＞h（1）=0，故，所以g（x）在（0，1）內(nèi)遞增，g（x）＜g（1）=2∴k≥2．②當x∈（1，+∞）時，lnx＞0，則恒成立，由①可知，當x∈（1，+∞）時，h'（x）＞0，所以h（x）在（1，+∞）內(nèi)遞增，所以當x∈（1，+∞）時，h（x）＞h（1）=0，故，所以g（x）在（1，+∞）內(nèi)遞增，g（x）＞g（1）=2?k≤2；

綜合①②可得：k=2．【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題．21.已知數(shù)列{an}，其中a1=1，a2=2，an+2=pan（P≠0），請寫出數(shù)列{an}的偶數(shù)項的通項公式．參考答案：【考點】數(shù)列遞推式．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由已知得數(shù)列{an}的偶數(shù)項是首項為2，公比為p的等比數(shù)列，由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵數(shù)列{an}，其中a1=1，a2=