高中數(shù)學人教A版1第三章導數(shù)及其應用單元測試 優(yōu)秀

選修1-1第三章3.一、選擇題1．設y＝e3，則y′等于eq\x(導學號92600589)()A．3e2 B．e2C．0 D．以上都不是[答案]C[解析]∵y＝e3是一個常數(shù)，∴y′＝0.2．(2023·廣西南寧高二檢測)若函數(shù)f(x)＝x2，則f(x)在x＝1處的導數(shù)為eq\x(導學號92600590)()A．2x B．2C．3 D．4[答案]B[解析]f′(x)＝2x，∴f(x)在x＝1處的導數(shù)為f′(1)＝2.3．已知函數(shù)f(x)＝x3的切線的斜率等于3，則切線有eq\x(導學號92600591)()A．1條 B．2條C．3條 D．不確定[答案]B[解析]∵f′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1.切點有兩個，即可得切線有兩條．4．給出下列結(jié)論：①若y＝eq\f(1,x3)，則y′＝－eq\f(3,x4)；②若y＝eq\r(3,x)，則y′＝eq\f(1,3)eq\r(3,x)；③若y＝eq\f(1,x2)，則y′＝－2x3；④若f(x)＝3x，則f′(1)＝3，其中正確的個數(shù)是eq\x(導學號92600592)()A．1 B．2C．3 D．4[答案]B[解析]②y′＝eq\f(1,3\r(3,x2))；③y′＝－2x－3，所以只有①④是正確的．5．下列結(jié)論正確的是eq\x(導學號92600593)()A．若y＝sinx，則y′＝cosxB．若y＝cosx，則y′＝sinxC．若y＝eq\f(1,x)，則y′＝eq\f(1,x2)D．若y＝eq\r(x)，則y′＝eq\f(1,2)eq\r(x)[答案]A[解析]∵B項中，y′＝－sinx；C項中，y′＝－eq\f(1,x2)；D項中，y′＝eq\f(1,2\r(x))，∴選A．6．f(x)＝eq\f(1,x\r(3,x2))，則f′(－1)＝eq\x(導學號92600594)()A．eq\f(5,2) B．－eq\f(5,2)C．eq\f(5,3) D．－eq\f(5,3)[答案]D[解析]∵f(x)＝x－eq\f(5,3)，∴f′(x)＝－eq\f(5,3)x－eq\f(8,3)，∴f′(－1)＝－eq\f(5,3)(－1)－eq\f(8,3)＝－eq\f(5,3).二、填空題7．曲線y＝xn在x＝2處的導數(shù)為12，則n等于\x(導學號92600595)[答案]3[解析]y′＝nxn－1，∴y′|x＝2＝n·2n－1＝12，∴n＝3.8．函數(shù)y＝sinπ，則y′＝\x(導學號92600596)[答案]0[解析]y＝sinπ＝0，∴y′＝0.9．在曲線y＝eq\f(4,x2)上求一點P，使得曲線在該點處的切線的傾斜角為135°，則P點坐標為\x(導學號92600597)[答案](2,1)[解析]設P(x0，y0)，∵y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,x2)))′＝(4x－2)′＝－8x－3，tan135°＝－1，∴－8xeq\o\al(－3,0)＝－1.∴x0＝2，y0＝1.三、解答題10．(2023·浙江寧波高二月考)求曲線y＝cosx在x＝eq\f(π,6)處的切線方程.eq\x(導學號92600598)[解析]∵y＝cosx，∴y′＝－sinx.∴曲線y＝cosx在x＝eq\f(π,6)處的切線的斜率k＝－sineq\f(π,6)＝－eq\f(1,2).又當x＝eq\f(π,6)時，y＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)，故曲線在x＝eq\f(π,6)處的切線方程為y－eq\f(\r(3),2)＝－eq\f(1,2)(x－eq\f(π,6))，即y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(\r(3),2)＋eq\f(π,12).一、選擇題1．曲線y＝eq\f(1,3)x3在x＝1處切線的傾斜角為eq\x(導學號92600599)()A．1 B．－eq\f(π,4)C．eq\f(π,4) D．eq\f(5π,4)[答案]C[解析]∵y＝eq\f(1,3)x3，∴y′|x＝1＝1，∴切線的傾斜角α滿足tanα＝1，∵0≤α<π，∴α＝eq\f(π,4).2．已知直線y＝kx是y＝lnx的切線，則k的值為eq\x(導學號92600600)()A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,e) D．－eq\f(1,e)[答案]C[解析]y′＝eq\f(1,x)＝k，∴x＝eq\f(1,k)，切點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)，1))，又切點在曲線y＝lnx上，∴l(xiāng)neq\f(1,k)＝1，∴eq\f(1,k)＝e，k＝eq\f(1,e).3．正弦曲線y＝sinx上切線的斜率等于eq\f(1,2)的點為eq\x(導學號92600601)()A．(eq\f(π,3)，eq\f(\r(3),2))B．(－eq\f(π,3)，－eq\f(\r(3),2))或(eq\f(π,3)，eq\f(\r(3),2))C．(2kπ＋eq\f(π,3)，eq\f(\r(3),2))D．(2kπ＋eq\f(π,3)，eq\f(\r(3),2))或(2kπ－eq\f(π,3)，－eq\f(\r(3),2))[答案]D[解析]設斜率等于eq\f(1,2)的切線與曲線的切點為P(x0，y0)，∵y′|x＝x0＝cosx0＝eq\f(1,2)，∴x0＝2kπ＋eq\f(π,3)或2kπ－eq\f(π,3)，∴y0＝eq\f(\r(3),2)或－eq\f(\r(3),2).4．函數(shù)y＝ex在點(2，e2)處的切線與坐標軸圍成三角形的面積為eq\x(導學號92600602)()A．eq\f(9,4)e2 B．2e2C．e2 D．eq\f(e2,2)[答案]D[解析]∵y′|x＝2＝e2，∴切線方程為y－e2＝e2(x－2)．當x＝0時，y＝－e2，當y＝0時，x＝1.故切線與坐標軸圍成三角形面積為eq\f(1,2)×|－e2|×1＝eq\f(e2,2)，故選D．二、填空題5．(2023·陜西理)設曲線y＝ex在點(0,1)處的切線與曲線y＝eq\f(1,x)(x>0)上點P處的切線垂直，則P的坐標為________．eq\x(導學號92600603)[答案](1,1)[解析]由于(ex)′＝ex，(eq\f(1,x))′＝－eq\f(1,x2)，故曲線y＝ex在點(0,1)處的切線斜率k＝e0＝1，設P(x0，eq\f(1,x0))，曲線y＝eq\f(1,x)(x>0)上點P處的切線斜率－eq\f(1,x\o\al(2,0))，若兩直線垂直則有1×(－eq\f(1,x\o\al(2,0)))＝－1，解得x0＝1，故P(1,1)．6．若曲線y＝x2的一條切線平行于直線y＝4x－3，則這條切線的方程為\x(導學號92600604)[答案]4x－y－4＝0[解析]y′＝2x，設切點為(x0，y0)，則由題意可知，y′|x＝x0＝4，即2x0＝4，所以x0＝2，代入曲線方程得y0＝4，故該切線過點(2,4)且斜率為4，所以這條切線方程為y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.三、解答題7．已知曲線C：y＝\x(導學號92600605)(1)求曲線C上點(1,1)處的切線方程；(2)在(1)中的切線與曲線C是否還有其他公共點？[解析](1)∵y′＝3x2，∴切線斜率k＝3，∴切線方程y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－2＝0,y＝x3))消去y得，3x－x3－2＝0，∴(x－1)2(x＋2)＝0，∴x1＝1，x2＝－2.∴其他公共點為(－2，－8)．8．已知函數(shù)y＝asinx＋b的圖象過點A(0,0)、B(eq\f(3π,2)，－1)，試求函數(shù)在原點處的切線方程.eq\x(導學號92600606)[解析]∵