2021-2022學(xué)年廣東省江門市圭峰中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷

2021-2022學(xué)年廣東省江門市圭峰中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.一個幾何體的三視圖如右圖所示，這個幾何體的體積是（

）

A．

B．

C． D．參考答案：D2.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A．16 B．20 C．52 D．60參考答案：B【考點】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖得到幾何體為三棱柱與三棱錐的組合體，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，計算體積即可．【解答】解：由題意，幾何體為三棱柱與三棱錐的組合體，如圖體積為=20；故選B．【點評】本題考查了由幾何體的三視圖求幾何體的體積；關(guān)鍵是正確還原幾何體，利用三視圖的數(shù)據(jù)求體積．3.cos70°sin50°﹣cos200°sin40°的值為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】GQ：兩角和與差的正弦函數(shù)．【分析】由誘導(dǎo)公式，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡所求，利用特殊角的三角函數(shù)值即可計算得解．【解答】解：cos70°sin50°﹣cos200°sin40°=cos70°sin50°+cos20°sin40°=cos70°sin50°+sin70°cos50°=sin（50°+70°）=sin120°=．故選：D．4.過雙曲線x2﹣=1的右支上一點P，分別向圓C1：（x+4）2+y2=4和圓C2：（x﹣4）2+y2=4作切線，切點分別為M，N，則|PM|2﹣|PN|2的最小值為（）A．10 B．13 C．16 D．19參考答案：B【考點】直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】求得兩圓的圓心和半徑，設(shè)雙曲線的左右焦點為F1（﹣4，0），F(xiàn)2（4，0），連接PF1，PF2，F(xiàn)1M，F(xiàn)2N，運用勾股定理和雙曲線的定義，結(jié)合三點共線時，距離之和取得最小值，計算即可得到所求值．【解答】解：圓C1：（x+4）2+y2=4的圓心為（﹣4，0），半徑為r1=2；圓C2：（x﹣4）2+y2=1的圓心為（4，0），半徑為r2=1，設(shè)雙曲線x2﹣=1的左右焦點為F1（﹣4，0），F(xiàn)2（4，0），連接PF1，PF2，F(xiàn)1M，F(xiàn)2N，可得|PM|2﹣|PN|2=（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22）=（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）=|PF1|2﹣|PF2|2﹣3=（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3=2a（|PF1|+|PF2|﹣3=2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2?2c﹣3=2?8﹣3=13．當(dāng)且僅當(dāng)P為右頂點時，取得等號，即最小值13．故選：B．5.如圖，已知在ΔABC中,BC=2，以BC為直徑的圓分別交AB，AC于點M，N，MC與NB交于點G，若，則，的度數(shù)為A.135

B.120°

C.

150

D.

105°參考答案：D6.在一個△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，那么B等于(

) A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°參考答案：B考點：正弦定理．專題：解三角形．分析：將已知代入正弦定理即可直接求值．解答： 解：由正弦定理可得：sinB===．∵0＜B＜180°，∴B=60°或120°，故選：B．點評：本題主要考查了正弦定理的簡單應(yīng)用，屬于基本知識的考查．7.下列式子中與相等的是

（

）

（1）；

（2）；

（3）

（4）。

A．（1）（2）

B．（1）（3）

C．（2）（3）

D．（1）（2）（3）（4）參考答案：B8.若實數(shù)x，y滿足，則（x﹣3）2+y2的最小值是（）A． B．8 C．20 D．2參考答案：A【考點】簡單線性規(guī)劃．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】先畫出滿足條件的平面區(qū)域，根據(jù)（x﹣3）2+y2的幾何意義求出其最小值即可．【解答】解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：，由圖象得P（3，0）到平面區(qū)域的最短距離dmin=，∴（x﹣3）2+y2的最小值是：．故選：A．【點評】本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，是一道基礎(chǔ)題．9.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表達(dá)式為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：答案：A10.函數(shù)（其中）的圖象如所示，為了得到的圖象，則只需將的圖象(

)A.向右平移個長度單位

B.向右平移個長度單位C.向左平移個長度單位

D.向左平移個長度單位

參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：①當(dāng)x∈[1，3）時，；②f（3x）=3f（x）．（i）f（6）=；（ii）若函數(shù)F（x）=f（x）﹣a的零點從小到大依次記為x1，x2，…，xn，…，則當(dāng)a∈（1，3）時，x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=．參考答案：3,6（3n﹣1）.【考點】數(shù)列的求和；函數(shù)的值；函數(shù)的零點．【分析】（i）由于f（3x）=3f（x），可得f（6）=3f（2），又當(dāng)x=2時，f（2）=2﹣1=1，即可得到f（6）．（ii）如圖所示，由題意當(dāng)x∈[0，1）時，不必考慮．利用已知可得：當(dāng)x∈[3，6]時，由，可得，f（x）∈[0，3]；同理，當(dāng)x∈（6，9）時，f（x）∈[0，3]；此時f（x）∈[0，3]．分別作出y=f（x），y=a，則F（x）=f（x）﹣a在區(qū)間（3，6）和（6，9）上各有一個零點，分別為x1，x2，且滿足x1+x2=2×6，依此類推：x3+x4=2×18，…，x2n﹣1+x2n=2×2×3n．利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．【解答】解：當(dāng)1≤x≤2時，0≤f（x）≤1；當(dāng)2＜x＜3時，0＜f（x）＜1，可得當(dāng)x∈[1，3）時，f（x）∈[0，1]．（i）∵f（3x）=3f（x），∴f（6）=3f（2），又當(dāng)x=2時，f（2）=2﹣1=1，∴f（6）=3×1=3．（ii）當(dāng)時，則1≤3x＜3，由可知：．同理，當(dāng)時，0≤f（x）＜1，因此不必要考慮．當(dāng)x∈[3，6]時，由，可得，f（x）∈[0，3]；同理，當(dāng)x∈（6，9）時，由，可得，f（x）∈[0，3]；此時f（x）∈[0，3]．作出直線y=a，a∈（1，3）．則F（x）=f（x）﹣a在區(qū)間（3，6）和（6，9）上各有一個零點，分別為x1，x2，且滿足x1+x2=2×6，依此類推：x3+x4=2×18，…，x2n﹣1+x2n=2×2×3n．∴當(dāng)a∈（1，3）時，x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=4×（3+32+…+3n）==6×（3n﹣1）．12.已知圓C：x2＋y2＝12，直線l：4x＋3y＝25.(1)圓C的圓心到直線l的距離為________；(2)圓C上任意一點A到直線l的距離小于2的概率為________．參考答案：(1)5(2)13.設(shè)函數(shù)則____；函數(shù)的極小值是____.參考答案：,試題分析：，當(dāng)時，，由得，（負(fù)值舍去），因此當(dāng)時，；當(dāng)時，；從而函數(shù)在取極小值為2；當(dāng)時，，因此當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；從而函數(shù)在取極大值為4；從而函數(shù)的極小值是2考點：分段函數(shù)求值，函數(shù)極值14.對于下列命題：①函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點的充分不必要條件是；②已知是空間四點，命題甲：四點不共面，命題乙：直線和不相交，則甲是乙成立的充分不必要條件；③“”是“對任意的實數(shù)，恒成立”的充要條件；④“”是“方程表示雙曲線”的充分必要條件．其中所有真命題的序號是

.參考答案：①②④略15.已知雙曲線C：的一條漸近線l的傾斜角為，且C的一個焦點到l的距離為，則C的方程為_______．參考答案：2，【知識點】雙曲線【試題解析】由題知：所以，所以

因為雙曲線的焦點到漸近線的距離為b，所以b=2，所以

所以的方程為：

故答案為：2，16.把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分別寫在10張形狀大小一樣的卡片上，隨機(jī)抽取一張卡片，則抽到寫著偶數(shù)或大于6的數(shù)的卡片的概率為

．（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）參考答案：【考點】CC：列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【分析】先求出基本事件總數(shù)，再求出抽到寫著偶數(shù)或大于6的數(shù)的卡片包含的基本事件個數(shù)，由此能求出抽到寫著偶數(shù)或大于6的數(shù)的卡片的概率．【解答】解：把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分別寫在10張形狀大小一樣的卡片上，隨機(jī)抽取一張卡片，基本事件總數(shù)n=10，抽到寫著偶數(shù)或大于6的數(shù)的卡片包含的基本事件個數(shù)為7，則抽到寫著偶數(shù)或大于6的數(shù)的卡片的概率為故答案為：．【點評】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運用．17.正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都相等，D是CC1中點，則二面角的正切值為_______．參考答案：【分析】設(shè)正三棱柱的所有棱長2,取的中點,這樣可以證明出，通過側(cè)面與底面垂直，利用面面垂直的性質(zhì)定理可以證明出側(cè)面,也就證明出，這樣過作,利用線面垂直的判定定理，可以證明出所以平面,也就證出，這樣就可以找到二面角的平面角的補角,通過計算可以求出二面角的平面角的補角的正切值，也就求出二面角的平面角的正切值.【詳解】設(shè)正三棱柱的所有棱長2,取的中點,連接,由題意可知,,所以,利用勾股定理可以求得,過作,垂足為,連接,如下圖所示:在正三棱柱中,側(cè)面底面,而側(cè)面底面,所以側(cè)面,平面,所以有,,平面,所以平面,而平面,所以,因此是二面角的平面角的補角,在正方形中,由面積可得,求出,在中,,所以二面角的正切值為.【點睛】本題考查了求二面角的正切值問題，解決本題的關(guān)鍵是找到二面角的平面角的補角.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)f（x）=lnx﹣﹣bx（Ⅰ）當(dāng)a=b=時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）令F（x）=f（x）+＜x≤3），其圖象上任意一點P（x0，y0）處切線的斜率k≤恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）當(dāng)a=0，b=﹣1時，方程f（x）=mx在區(qū)間[1，e2]內(nèi)有唯一實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；根的存在性及根的個數(shù)判斷；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【專題】計算題；壓軸題．【分析】（I）先求導(dǎo)數(shù)fˊ（x）然后在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間，fˊ（x）＜0的區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間．（II）先構(gòu)造函數(shù)F（x）再由以其圖象上任意一點P（x0，y0）為切點的切線的斜率k≤恒成立，知導(dǎo)函數(shù)≤恒成立，再轉(zhuǎn)化為所以a≥（﹣，x02+x0）max求解．（III）先把程f（x）=mx有唯一實數(shù)解，轉(zhuǎn)化為有唯一實數(shù)解，再利用單調(diào)函數(shù)求解．【解答】解：（Ⅰ）依題意，知f（x）的定義域為（0，+∞）．當(dāng)a=b=時，f（x）=lnx﹣x2﹣x，f′（x）=﹣x﹣=．令f′（x）=0，解得x=1．當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＞0，此時f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＞1時，f′（x）＜0，此時f（x）單調(diào)遞減．所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間（0，1），函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間（1，+∞）．（Ⅱ）F（x）=lnx+，x∈（0，3]，所以k=F′（x0）=≤，在x0∈（0，3]上恒成立，所以a≥（﹣x02+x0）max，x0∈（0，3]當(dāng)x0=1時，﹣x02+x0取得最大值．所以a≥．（Ⅲ）當(dāng)a=0，b=﹣1時，f（x）=lnx+x，因為方程f（x）=mx在區(qū)間[1，e2]內(nèi)有唯一實數(shù)解，所以lnx+x=mx有唯一實數(shù)解．∴，設(shè)g（x）=，則g′（x）=．令g′（x）＞0，得0＜x＜e；g′（x）＜0，得x＞e，∴g（x）在區(qū)間[1，e]上是增函數(shù)，在區(qū)間[e，e2]上是減函數(shù)，g（1）=1，g（e2）=1+=1+，g（e）=1+，所以m=1+，或1≤m＜1+．【點評】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、不等式、方程的解等基本知識，同時考查運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，分類與整合及化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想．19.如圖1，在矩形ABCD中，AB=8，AD=3，點E、F分別為AB、CD的中點，將四邊形AEFD沿EF折到A1EFD1的位置，使∠A1EB=120°，如圖2所示，點G，H分別在A1B，D1C上，A1G=D1H=，過點G，H的平面α與幾何體A1EB﹣D1FC的面相交，交線圍成一個正方形．（1）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法和理由）；（2）求直線EH與平面α所成角的余弦值．參考答案：【考點】直線與平面所成的角．【分析】（1）在BE或A1?E上取一點M，使得GM=GH=3，求出M點的位置即可作出截面圖形；（2）過E作出截面α的垂線，作出要求角，在直角三角形中計算余弦值．【解答】解：（1）由題意可知A1E=BE=4，GH=A1D1=3，在△A1BE中，由余弦定理得A1B==4，設(shè)平面α與幾何體的截面正方形為GHNM，則GM=3，若M在棱BE上，設(shè)BM=x，則由余弦定理得cos30°==，解得x=3，若M在棱A1E上，設(shè)A1M=x，則由余弦定理得cos30°==，解得x=9（舍）．過M作MN∥EF交CF于N，連接GH，MN，GM，HN，則正方形GHNM即為要作的正方形．（2）過E作EP⊥GM，垂足為P，連接HP，∵EF⊥A1E，EF⊥BE，A1E∩BE=E，∴EF⊥平面A1BE，∵A1G=D1H，∴GH∥EF，∴GH⊥平面A1BE，又EP?平面A1BE，∴EP⊥GH，又GH∩GM=G，GH?平面GHNM，GM?平面GHNM，∴EP⊥平面GHNM，∴∠EHP為直線EH與平面α所成的角，由（1）可知GM∥A1E，EM=1，∴∠PEM=30°，∴PM=，PE=，∴GP=，PH==，EH==4，∴cos∠EHP==．∴直線EH與平面α所成角的余弦值為．20.如圖，在四棱錐S—ABCD中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，，E是SA的中點．（1）求證：平面BED平面SAB；（2）求直線SA與平面BED所成角的大?。畢⒖即鸢福航猓海?）∵SD⊥平面ABCD，∴平面SAD⊥平面ABCD，∵AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，∴DE⊥AB．…………3分∵SD＝AD，E是SA的中點，∴DE⊥SA，∵AB∩SA＝A，∴DE⊥平面SAB∴平面BED⊥平面SAB．(若用向量法請參照給分)……6分（2）法一：作AF⊥BE，垂足為F．由（Ⅰ），平面BED⊥平面SAB，則AF⊥平面BED，則∠AEF是直線SA與平面BED所成的角．……………8分設(shè)AD＝2A，則AB＝A，SA＝2A，AE＝A，△ABE是等腰直角三角形，則AF＝A．在Rt△AFE中，sin∠AEF＝＝，故直線SA與平面BED所成角的大小45°．…………12分（2）法二：分別以DA,DC,DS為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系D—xyz，不妨設(shè)AD＝2，則D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，，0)，C(0，，0)，S(0，0，2)，E(1，0，1)．＝(2，，0)，＝(1，0，1)，＝(2，0，0)，＝(0，－，2)．設(shè)m＝(x1，y1，z1)是面BED的一個法向量，則，因此可取m＝(－1，，1)．…8分

……12分21.設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+，k∈R．（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（e，f（e））處的切線與直線x﹣2=0垂直，求k值；（Ⅱ）若對任意x1＞x2＞0，f（x1）﹣f（x2）＜x1﹣x2恒成立，求k的取值范圍；（Ⅲ）已知函數(shù)f（x）在x=e處取得極小值，不等式f（x）＜的解集為P，若M={x|e≤x≤3}，且M∩P≠?，求實數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點】導(dǎo)數(shù)在最大