高中數(shù)學(xué)蘇教版第二章平面向量單元測(cè)試

第2章平面向量2．1向量的概念及表示情景：如圖，一只老鼠從A處以30km/h的速度向西北方向逃竄，如果貓由B處向正東方向以40km/h的速度追．思考：貓能捉到老鼠嗎？為什么？1．我們把既有________又有________的量叫做向量．如：力、位移、速度、加速度等．答案：大小方向2．向量的表示方法有兩種，即________或________．答案：eq\o(AB,\s\up6(→))a\o(AB,\s\up6(→))的大小，也就是eq\o(AB,\s\up6(→))的長(zhǎng)度(或稱模)，記作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.長(zhǎng)度為零的向量叫做________，記作0.長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量，叫做________．答案：零向量單位向量4．________的非零向量叫做平行向量，規(guī)定0與任一向量平行．答案：方向相同或相反5．________的向量叫相等向量．若a與b相等，記作________．答案：大小相等方向相同a＝b6．由于向量可以平移，所以任一組平行向量都可以移到同一直線上，因此平行向量也叫________．答案：共線向量7．把與向量a________的向量叫做a的相反向量，記作________，a與－a互為_(kāi)_______，零向量的相反向量仍是零向量．對(duì)于任一向量a有－(－a)＝________．答案：長(zhǎng)度相等，方向相反－a相反向量a8．向量與有向線段的區(qū)別是：向量是________，只有________和________兩個(gè)要素，與________無(wú)關(guān)，只要大小和方向相同，則這兩個(gè)向量就是相同向量．有向線段有________、________和________三個(gè)要素，________不同，盡管大小和方向相同也是不同的有向線段．答案：自由向量大小方向起點(diǎn)起點(diǎn)大小方向起點(diǎn)9．共線向量與相等向量的關(guān)系，即共線向量________是相等向量，而相等的向量________是共線向量．答案：不一定一定10．由向量相等的定義可以知道，對(duì)于一個(gè)向量，只要不改變它的大小和方向，是可以平移的，因此，用有向線段表示向量時(shí)，可以任意選取有向線段的起點(diǎn)．由此可知，任意一組平行向量都可以________．答案：移到同一條直線上向量的概念及表示1．既有大小又有方向的量稱為向量．2．向量的兩種表示方法．(1)有向線段表示eq\o(AB,\s\up6(→)).(2)字母表示a，b，c，….零向量和單位向量零向量是一個(gè)特殊的向量，其方向不確定，是任意的，所以零向量不同于任何向量，在今后的學(xué)習(xí)中要注意零向量的特殊性，解答問(wèn)題時(shí)，一定要看清題目所給的是“零向量”還是“非零向量”．單位向量有無(wú)窮多個(gè)，且不同的單位向量確定不同的方向．平行向量、共線向量、相等向量、相反向量平行向量也叫共線向量，故平行向量與共線向量沒(méi)有區(qū)別，而非零的相等向量一定是平行向量，但平行向量不一定是相等向量．相反向量必為共線向量，共線向量未必為相反向量，相反向量中，只有零向量與它的相反向量相等．eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(鞏)eq\x(固)1．下列各量中不是向量的是()A．浮力B．風(fēng)速C．位移D．密度答案：D2．下列說(shuō)法正確的是()A．若a∥b，則a與b方向相同B．所有的單位向量的模都相等C．若|a|<|b|，則a<bD．長(zhǎng)度相等的向量叫做相等向量答案：B3．下列條件中能得到a＝b的是()A．|a|＝|b|B．a(chǎn)與b的方向相同C．a(chǎn)＝0，b為任一向量D．a(chǎn)＝0，且b＝0答案：D4．給出下列六個(gè)命題：①兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同；②若|a|＝|b|，則a＝b；③若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則四邊形ABCD是平行四邊形；④平行四邊形ABCD中，一定有eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))；⑤若m＝n，n＝k，則m＝k；⑥若a∥b，b∥c，則a∥c.其中不正確的命題的序號(hào)是________．答案：①②⑥5．如右圖所示，若四邊形ABCD是矩形，則下列命題中正確的是________(填序號(hào))．①eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線；②eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))相等；③eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))是相反向量；④eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))模相等．答案：①③④6．把平行于某一直線的一切向量平移到同一起點(diǎn)，則這些向量的終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是________．答案：一條直線7．如下圖所示，在△ABC中，DE∥BC，下列向量：eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(ED,\s\up6(→))，eq\o(EC,\s\up6(→))中共線向量有________對(duì)．答案：38．如上圖所示，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，圖中與eq\o(CA,\s\up6(→))共線的向量有________個(gè)．解析：與eq\o(CA,\s\up6(→))共線的向量有：eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))，eq\o(FD,\s\up6(→)).答案：39．如圖，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，EF∥AB，有四組向量：①eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))；②eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))；③eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))；④eq\o(EO,\s\up6(→))與eq\o(OF,\s\up6(→)).其中是相等向量的是________________(填序號(hào))，模相等的向量有________________(填序號(hào))．答案：④①②③④eq\x(能)eq\x(力)eq\x(升)eq\x(級(jí))10．如下圖所示，四邊形ABCD和BCED都是平行四邊形．(1)寫(xiě)出與eq\o(BC,\s\up6(→))相等的向量：________；(2)寫(xiě)出與eq\o(BC,\s\up6(→))共線的向量：________．解析：(1)由于ABCD和BCDE均為平行四邊形，所以AD＝DE＝BC.(2)只要與BC平行的線段都可以成為與eq\o(BC,\s\up6(→))共線的向量，但要注意方向．答案：(1)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))(2)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(ED,\s\up6(→))，eq\o(EA,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))11．如圖所示，△ABC和△A′B′C′是在各邊的eq\f(1,3)處相交的兩個(gè)正三角形，△ABC的邊長(zhǎng)為a，圖中列出了長(zhǎng)度均為eq\f(a,3)的若干個(gè)向量，則(1)與向量eq\o(GH,\s\up6(→))相等的向量是________；(2)與向量eq\o(EA,\s\up6(→))平行的向量是________．解析：寫(xiě)平行向量時(shí)要注意方向相同或相反兩種情形．答案：(1)eq\o(HC,\s\up6(→))，eq\o(LB′,\s\up6(→))(2)eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(FB,\s\up6(→))，eq\o(HA′,\s\up6(→))，eq\o(HK,\s\up6(→))，eq\o(KB′,\s\up6(→))12．如圖所示，已知五邊形ABCDE是邊長(zhǎng)為1的正五邊形，在以A、B、C、D、E五點(diǎn)中任意兩點(diǎn)為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中：模等于2cos36°的向量個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．解析：由正五邊形內(nèi)角公式得：每個(gè)內(nèi)角的角度為α＝eq\f(（5－2）×180°,5)＝108°，∴∠BAC＝36°.過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AC，∴|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2·cos36°.于是模等于2cos36°的向量為eq\o(AC,\s\up6(→))、eq\o(CA,\s\up6(→))、eq\o(BD,\s\up6(→))、eq\o(DB,\s\up6(→))、eq\o(CE,\s\up6(→))、eq\o(EC,\s\up6(→))、eq\o(DA,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))、eq\o(EB,\s\up6(→))、eq\o(BE,\s\up6(→)).共10個(gè)．答案：10個(gè)13．如右圖，扇形OAB中eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\f(4π,5)，∠AOB＝eq\f(π,3)，C是弦AB的中點(diǎn)，這時(shí)|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝________．解析：設(shè)半徑為r，則r＝eq\f(l,|α|)＝eq\f(\f(4,5)π,\f(π,3))＝eq\f(12,5).在Rt△ACO中，∠AOC＝eq\f(π,6)，∴|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝AO·sineq\f(π,6)＝eq\f(12,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(6,5).答案：eq\f(6,5)14．河中水流自西向東流速為10km/h，小船自南岸A點(diǎn)出發(fā)，想要沿直線駛向正北岸的B點(diǎn)，并使它的實(shí)際速度達(dá)到每小時(shí)10eq\r(3)km，該小船行駛的方向?yàn)開(kāi)_______，小船在靜水中的速度為_(kāi)_______．解析：如下圖所示：設(shè)小船的靜水速度為v，則|v|＝eq\r(（10\r(3)）2＋102)＝20(km/h)．sinα＝eq\f(10,20)＝eq\f(1,2)，α＝30°，即小船行駛的速度大小為20km/h，行駛的方向?yàn)楸逼?0°.答案：北偏西30°20km/h15．如圖，四邊形ABCD，BEFC，CFGD都是平行四邊形，分別以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，最多可以寫(xiě)出多少個(gè)互不相等的非零向量？解析：因?yàn)椋篹q\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(GF,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(FG,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(DG,\s\up6(→))，eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(GD,\s\up6(→)).所以圖中互不相等的非零向量共有6個(gè)．16．如圖的方格紙由若干個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形拼在一起組成，方格紙中有兩個(gè)定點(diǎn)A，B.點(diǎn)C為小正方形的頂點(diǎn)，且|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(5).(1)畫(huà)出所有的向量eq\o(AC,\s\up6(→))；(2)求|eq\o(BC,\s\up6(→))|的最大值與最小值．解析：(1)畫(huà)出所有的向量eq\o(AC,\s\up6(→))如圖所示．(2)由(1)所畫(huà)的圖知，①當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)C1或C2時(shí)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|取得最小值eq\r(12＋22)＝eq\r(5)；②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)C5或C6時(shí)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|取得最大值eq\r(42＋52)＝eq\r(41).所以|eq\o(BC,\s\up6(→))|的最大值為eq\r(41)，最小值為eq\r(5).17．已知兩點(diǎn)A(1，2)，B(2sinα，log2β)，α＝kπ＋(－1)keq\f(π,6)，k∈Z，且β＝4.判斷eq\o(AB,\s\up6(→))是否是零向量，是否是單位向量．解析：∵α＝kπ＋(－1)keq\f(π,6)，k∈Z，且β＝4，∴2sinα＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋（－1）k\f(π,6)))＝1.又log2β＝log24＝2，∴B(1，2)．又∵A(1，2)，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（1－1）2＋（2－2）2)＝0.∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|為零向量，不是單位向量．18．一架飛機(jī)從點(diǎn)A向西北方向飛行200km到達(dá)點(diǎn)B，再?gòu)狞c(diǎn)B向東飛行100eq\r(2)km到達(dá)點(diǎn)C，再?gòu)狞c(diǎn)C向東偏南30°飛行50eq\r(2)km到達(dá)點(diǎn)D.問(wèn)點(diǎn)D在點(diǎn)A的什么方向？點(diǎn)D距點(diǎn)A多遠(yuǎn)？解析：由|BC|＝100eq\r(2)，知點(diǎn)C在點(diǎn)A的正北方向，|AC|＝100eq\r(2