高中數(shù)學北師大版2第一章統(tǒng)計案例 第1章1

第一章§1第1課時1.下列兩個變量之間是相關(guān)關(guān)系的是()A．勻速直線運動的距程與時間B．球的體積與半徑C．角度與它的正弦值D．一個考生的數(shù)學成績與物理成績[答案]D[解析]相關(guān)關(guān)系不是確定的函數(shù)關(guān)系，這里A、B、C都是確定的函數(shù)關(guān)系．2．下列兩個變量之間的關(guān)系，不是函數(shù)關(guān)系的是()A．角度和它的余弦值B．正方形的邊長與面積C．正n邊形的邊數(shù)和它的所有內(nèi)角之和D．人的年齡和身高[答案]D[解析]是否為函數(shù)關(guān)系主要取決于任給一個自變量的值是否有唯一確定的因變量的值與其對應，據(jù)此，A、B、C中都存在一個確定的函數(shù)關(guān)系，只有人的年齡與身高之間不存在函數(shù)關(guān)系．3．工人工資依勞動生產(chǎn)率變化的線性回歸方程為y＝50＋80x，下列判斷正確的是()A．勞動生產(chǎn)率為1時，工資為80B．勞動生產(chǎn)率提高1時，工資提高80C．勞動生產(chǎn)率提高1時，工資提高130D．當月工資為250時，勞動生產(chǎn)率為2[答案]B[解析]利用線性回歸方程的意義來解．回歸直線斜率為80，所以x每增加1，y增加80，即勞動生產(chǎn)率提高1時，工資提高80.根據(jù)線性回歸方程，相應于x＝1的估計值y＝130，故A錯，應選B．4．(2023·湖北文，4)已知變量x和y滿足關(guān)系y＝－＋1，變量y與z正相關(guān)．下列結(jié)論中正確的是()A．x與y正相關(guān)，x與z負相關(guān)B．x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)C．x與y負相關(guān)，x與z負相關(guān)D．x與y負相關(guān)，x與z正相關(guān)[答案]C[解析]因為變量x和y滿足關(guān)系y＝－＋1，其中－<0，所以x與y成負相關(guān)；又因為變量y與z正相關(guān)，不妨設(shè)z＝ky＋b(k>0)，則將y＝－＋1代入即可得到：z＝k(－＋1)＋b＝－＋(k＋b)，所以－<0，所以x與z負相關(guān)，綜上可知，應選C．5．設(shè)兩個變量x和y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，它們的相關(guān)系數(shù)是r，y關(guān)于x的回歸直線的斜率是b，縱截距是a，那么必有()A．a(chǎn)與r符號相同 B．a(chǎn)與r符號相反C．b與r符號相同 D．b與r符號相反[答案]C[解析]根據(jù)b與r的計算公式可知，b與r符號相同．6．對于相關(guān)關(guān)系r，下列說法正確的是()A．|r|越大，相關(guān)程度越小B．|r|越小，相關(guān)程度越大C．|r|越大，相關(guān)程度越小，|r|越小，相關(guān)程度越大D．|r|≤1且|r|越接近于1，相關(guān)程度越大，|r|越接近于0，相關(guān)程度越小[答案]D[解析]|r|≤1，當|r|越接近于1，誤差越小，變量之間的線性相關(guān)程度越高；|r|越接近于0，誤差越大，變量之間的線性相關(guān)程度越低，故選D.二、填空題7．回歸分析是處理變量之間________關(guān)系的一種數(shù)量統(tǒng)計方法．[答案]相關(guān)[解析]回歸分析是處理變量之間相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)量統(tǒng)計方法．8．已知x、y的取值如下表：x0134y若x、y具有線性相關(guān)關(guān)系，且回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋a，則a的值為________.[答案][解析]由已知得eq\o(x,\s\up6(－))＝2，eq\o(y,\s\up6(－))＝，而回歸方程過點(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，則＝×2＋a，∴a＝.三、解答題9．某電腦公司有6名產(chǎn)品推銷員，其工作年限與年推銷金額的數(shù)據(jù)如下表：推銷員編號12345工作年限x/年35679推銷金額y/萬元23345(1)以工作年限為自變量，推銷金額為因變量y，作出散點圖；(2)求年推銷金額y關(guān)于工作年限x的線性回歸方程；(3)若第6名推銷員的工作年限為11年，試估計他的年推銷金額．[答案](1)散點圖略(2)eq\o(y,\s\up6(^))＝＋(3)萬元[解析](1)依題意，畫出散點圖如圖所示，(2)從散點圖可以看出，這些點大致在一條直線附近，設(shè)所求的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^)).則eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(10,20)＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝，∴年推銷金額y關(guān)于工作年限x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.(3)由(2)可知，當x＝11時，eq\o(y,\s\up6(^))＝＋＝×11＋＝(萬元)．∴可以估計第6名推銷員的年銷售金額為萬元．10．某研究所研究耕種深度x(單位：cm)與水稻產(chǎn)量y(單位：t)的關(guān)系，所得的數(shù)據(jù)如下表：耕種深度x/cm81012141618每公頃產(chǎn)量y/t試求每公頃水稻產(chǎn)量和耕種深度的線性相關(guān)系數(shù)與線性回歸方程．[答案]相關(guān)系數(shù)回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝＋[解析]將數(shù)據(jù)列成下表：ixiyixeq\o\al(2,i)yeq\o\al(2,i)xiyi1864210100312144414196516256618324∑781084由此可得eq\x\to(x)＝eq\f(78,6)＝13，eq\x\to(y)＝eq\f,6)≈.進而可求得相關(guān)系數(shù)r≈，所以認為每公頃水稻產(chǎn)量y和耕種深度x有較強的線性相關(guān)程度．由計算公式得eq\o(b,\s\up6(^))＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)≈，故y對x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.11.對于回歸分析，下列說法錯誤的是()A．在回歸分析中，變量間的關(guān)系是非確定性關(guān)系，因此因變量不能由自變量唯一確定B．線性相關(guān)系數(shù)可以是正的或負的C．回歸分析中，如果r＝±1，說明x與y之間完全線性相關(guān)D．樣本相關(guān)系數(shù)r∈(－1,1)[答案]D[解析]∵相關(guān)系數(shù)|r|≤1，∴D錯．12．某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表廣告費用x(萬元)4235銷售額y(萬元)49263954根據(jù)上表可得回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))為，據(jù)此模型預報廣告費用為6萬元時銷售額為()A．萬元 B．萬元C．萬元 D．萬元[答案]B[解析]此題必須明確回歸直線方程過定點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))．易求得eq\x\to(x)＝，eq\x\to(y)＝42，則將,42)代入eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中得：42＝×＋eq\o(a,\s\up6(^))，即eq\o(a,\s\up6(^))＝，則eq\x\to(y)＝＋，所以當廣告費用為6萬元時銷售額為×6＋＝萬元．13．設(shè)某大學的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－，則下列結(jié)論中不正確的是()A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B．回歸直線過樣本點的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))C．若該大學某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD．若該大學某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg[答案]D[解析]本題考查線性回歸方程．D項中身高為170cm時，體重“約為”，而不是“確定”，回歸方程只能作出“估計”，而非確定“線性”關(guān)系．14．假設(shè)學生在初一和初二的數(shù)學成績是線性相關(guān)的，若10個學生初一和初二的數(shù)學期末考試分數(shù)如下(分別為x，y)：x74717268767367706574y76757170767965776272則初一和初二數(shù)學考試分數(shù)間的回歸直線方程為()A．y＝2x＋ B．y＝2＋C．y＝2－ D．y＝2x－[答案]D[解析]由表中數(shù)據(jù)可得eq\x\to(x)＝71，eq\x\to(y)＝，因為回歸直線一定經(jīng)過點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，經(jīng)驗證只有D滿足條件．二、填空題15．已知兩個變量x和y之間有線性相關(guān)性，5次試驗的觀測數(shù)據(jù)如下表：x100120140160180y4554627592那么變量y關(guān)于x的回歸方程是________.[答案]eq\o(y,\s\up6(^))＝－[解析]根據(jù)公式計算可得eq\o(b,\s\up6(^))＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝－，所以回歸直線方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝－.16．某市居民2023～2023年家庭年平均收入x(單位：萬元)與年平均支出Y(單位：萬元)的統(tǒng)計資料如下表所示：年份20232023202320232023收入x1315支出Y1012根據(jù)統(tǒng)計資料，居民家庭平均收入的中位數(shù)是__________，家庭年平均收入與年平均支出有__________線性相關(guān)關(guān)系．[答案]13正[解析]中位數(shù)的定義的考查，奇數(shù)個時按大小順序排列后中間一個是中位數(shù)，而偶數(shù)個時須取中間兩數(shù)的平均數(shù)．，r≈，正相關(guān)．三、解答題17．某5名學生的數(shù)學成績和化學成績?nèi)缦卤恚簲?shù)學成績x8876736663化學成績y7865716461(1)畫出散點圖；(2)如果x、y呈線性相關(guān)關(guān)系，求y對x的線性回歸方程．[答案](1)散點圖略(2)eq\o(y,\s\up6(^)),\s\up6(^))＝＋.[解析](1)散點圖如圖：(2)eq\x\to(x)＝，eq\x\to(y)＝，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝27174，eq\i\su(i＝1,5,y)eq\o\al(2,i)＝23167，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝25054，∴eq\o(b,\s\up6(^)),\s\up6(^))＝eq\f(25054－5××,27174－5×≈，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝，所求回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^)),\s\up6(^))＝＋.18．(2023·重慶文，17)隨著我國經(jīng)濟的發(fā)展，居民的儲蓄存款逐年增長．設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲蓄存款(年底余額)如下表：年份20232023202320232023時間代號t12345儲蓄存款y(千億元)567810(1)求y關(guān)于t的回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))t＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)用所求回歸方程預測該地區(qū)2023年(t＝6)的人民幣儲蓄存款．附：回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))t＋eq\o(a,\s\up6(^))中，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,t)iyi－n\x\to(t)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,t)\o\al(2,i)－n\x\to(t)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t).[解析](1)列表計算如下itiyiteq\o\al(2,i)tiyi11515226412337921448163255102550∑153655120這里n＝5，eq\x\to(t)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,t)i＝eq\f(15,5)＝3，eq\x\to(y)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i＝eq\f(36,5)＝.又lnt＝eq\i\su(i＝1,n,t)i－neq\x\to(t)2＝55－5×32＝10，lny