高中數學人教A版本冊總復習總復習 2023版第1章分段函數及映射

第2課時分段函數及映射1．通過具體實例，了解簡單的分段函數，并能簡單應用．(重點、難點)2．了解映射的概念．(易混點)[基礎·初探]教材整理1分段函數閱讀教材P21例5、例6～P22第一段，完成下列問題．如果函數y＝f(x)，x∈A，根據自變量x在A中不同的取值范圍，有著不同的對應關系，則稱這樣的函數為分段函數．函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3，x<－1，,x2，－1≤x≤1，,x，x>1，))則f(f(f(－2)))＝________.【解析】因為－2<－1，所以f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，又－1≤－1≤1，所以f(f(－2))＝f(－1)＝(－1)2＝1，又因為－1≤1≤1，所以f(f(f(－2)))＝f(1)＝12＝1.【答案】1教材整理2映射閱讀教材P22第二段～P23“思考”，完成下列問題．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數都是映射，映射不一定都是函數．()(2)在映射的定義中，對于集合B中的任意一個元素在集合A中都有一個元素與之對應．()(3)從集合A到集合B的映射與從集合B到集合A的映射是同一個映射．()【解析】(1)√.當映射中的集合是數集時，該映射就是函數，否則不是函數．(2)×.映射可以是“多對一”，但不可以是“一對多”．(3)×.從集合A到集合B的映射與從集合B到集合A的映射不是同一個映射．【答案】(1)√(2)×(3)×[小組合作型]映射的概念及應用(1)下列對應關系：①A＝{1,4,9}，B＝{－3，－2，－1,1,2,3}，f：x→eq\r(x)；②A＝R，B＝R，f：x→eq\f(1,x)；③A＝R，B＝R，f：x→x2－2；④A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的數平方．其中是A到B的映射的是()A．①③ B．②④C．③④ D．②③(2)設集合A＝{(0,1)，(1,0)}，集合B＝{0,1,2}，則從A到B的映射共有()A．3個 B．6個C．8個 D．9個【精彩點撥】(1)緊扣映射概念中的“任意一個”“唯一”即可判斷．(2)根據映射的定義計算．【自主解答】(1)對于①，集合A中的1,4,9在集合B中都有兩個元素與它對應，故不是映射；對于②，集合A中的元素0在集合B中沒有元素對應，故不是映射；對于③，集合A中的元素x∈R在集合B中都有唯一的元素x2－2與它對應，故是映射；對于④，集合A中的－1,0,1在集合B中都有唯一的元素與它對應，故是映射；其中是A到B的映射的是③④.故選C.(2)∵集合A＝{(0,1)，(1,0)}有2個元素，集合B＝{0,1,2}有3個元素，所以A中的元素都對應B中的0,1,2的映射分別各有一個，共3個；A中的元素和B中的元素一一對應的映射共有6個，∴從A到B的映射共有9個．故選D.【答案】(1)C(2)D判斷一個對應是否是映射，關鍵看兩點1．對于集合A中的任意一個元素，在B中是否有元素對應．2．B中的對應元素是否唯一．注意：映射可以是“一對一”或“多對一”的對應，但不能是“一對多”．[再練一題]1．若集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，則下列對應法則中不能從P到Q建立映射的是() 【導學號：97030038】A．y＝eq\f(2,3)x B．y＝eq\f(1,8)xC．y＝eq\f(1,3)x D．y＝eq\f(1,2)x【解析】在y＝eq\f(2,3)x中，在P中取x＝4，在Q中沒有y＝eq\f(8,3)與之相對應，∴在y＝eq\f(2,3)x這個對應法則中不能從P到Q建立映射．故選A.【答案】A分段函數的求值問題(1)函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤1,－x＋3，x>1，))則f(f(4))＝________.(2)已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4，0≤x≤2,2x，x>2，))若f(x0)＝8，則x0＝________.【導學號：97030039】【精彩點撥】(1)先求出f(4)，然后根據f(4)的大小關系判斷對應法則，即可求解；(2)分兩種情況把x0代入，解方程可得x0的值．【自主解答】(1)∵4＞1，∴f(4)＝－4＋3＝－1，∵－1≤1，∴f(－1)＝0，即f(f(4))＝0.(2)∵函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4，0≤x≤2,2x，x>2，))f(x0)＝8，當0≤x0≤2時，由xeq\o\al(2,0)－4＝8，求得x0無解．當x0＞2時，由2x0＝8，求得x0＝4.綜上，x0＝4.【答案】(1)0(2)41．已知自變量求函數值(1)先看自變量的取值范圍；(2)代入相應的解析式求值．2．已知函數值求自變量(1)先對取值范圍分類討論，然后代入不同的解析式中；(2)通過解方程求出相應的值，并檢驗所求值是否在所討論的區(qū)間內．[再練一題]2．函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3，x≥10,ffx＋5，x<10，))則f(7)＝________.【解析】∵函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3，x≥10,ffx＋5，x<10，))∴f(7)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(14))＝f(11)＝8.【答案】8[探究共研型]分段函數的圖象及應用探究1函數f(x)＝|x－2|能用分段函數的形式表示嗎？【提示】能．如f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2，x≥2,2－x，x<2.))探究2畫出函數f(x)＝|x－2|的圖象．【提示】由探究1可知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2，x≥2,2－x，x<2.))分段畫出函數f(x)的圖象如圖所示．已知函數f(x)＝1＋eq\f(|x|－x,2)(－2<x≤2)．(1)用分段函數的形式表示f(x)；(2)畫出f(x)的圖象；(3)寫出函數f(x)的值域．【精彩點撥】(1)分－2<x<0和0≤x≤2兩種情況討論去掉絕對值可把f(x)寫成分段函數的形式；(2)利用(1)的結論可畫出圖象；(3)由(2)中得到的圖象，找到圖象最高點和最低點的縱坐標，可得值域．【自主解答】(1)當0≤x≤2時，f(x)＝1＋eq\f(x－x,2)＝1，當－2<x<0時，f(x)＝1＋eq\f(－x－x,2)＝1－x.∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，0≤x≤2,1－x，－2<x<0.))(2)函數f(x)的圖象如圖所示．(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域為[1,3)．分段函數圖象的畫法作分段函數的圖象時，分別作出各段的圖象，在作每一段圖象時，先不管定義域的限制，作出其圖象，再保留定義域內的一段圖象即可，作圖時要特別注意接點處點的虛實，保證不重不漏．[再練一題]3．已知函數y＝f(x)的圖象由圖1-2-4中的兩條射線和拋物線的一部分組成，求函數的解析式.【導學號：97030040】圖1-2-4【解】根據圖象，設左側的射線對應的函數解析式為y＝kx＋b(x<1)．∵點(1,1)，(0,2)在射線上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＋b＝1,b＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－1,b＝2，))∴左側射線對應的函數的解析式為y＝－x＋2(x<1)．同理，x>3時，函數的解析式為y＝x－2(x>3)．再設拋物線對應的二次函數解析式為y＝a(x－2)2＋2(1≤x≤3，a<0)．∵點(1,1)在拋物線上，∴a＋2＝1，a＝－1.∴1≤x≤3時，函數的解析式為y＝－x2＋4x－2(1≤x≤3)．綜上可知，函數的解析式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋2，x<1,－x2＋4x－2，1≤x≤3,x－2，x>3.))1．設f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≥0,1，x<0，))則f(f(－1))＝()A．3 B．1C．0 D．－1【解析】∵f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≥0,1，x<0，))∴f(f(－1))＝f(1)＝1＋2＝3.故選A.【答案】A2．設集合A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|0≤y≤2}，從A到B的對應法則f不是映射的是()A．f：x→y＝eq\f(1,2)x B．f：x→y＝eq\f(1,3)xC．f：x→y＝eq\f(1,4)x D．f：x→y＝eq\f(1,6)x【解析】由f：x→y＝eq\f(1,2)x中x＝6時，y＝3.不在集合B中．【答案】A3．已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1x≤0,－2xx>0，))使函數值為5的x的值是()【導學號：97030041】A．－2 B．2或－eq\f(5,2)C．2或－2 D．2或－2或－eq\f(5,2)【解析】當x≤0時，f(x)＝x2＋1＝5，得x＝－2，或x＝2(舍去)．當x＞0時，f(x)＝－2x＝5，得x＝－eq\f(5,2)(舍去)．綜上可知，x＝－2.故選A.【答案】A4．設f：x→ax－1為從集合A到B的映射，若f(2)＝3，則f(3)＝________.【解析】由f(2)＝3，可知2a－1＝3，∴a＝2，∴f(3)＝3a－1＝3